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5.1: Raíces y Radicales

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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Objetivos de aprendizaje

  • Identificar y evaluar las raíces cuadradas y cúbicas.
  • Determinar el dominio de las funciones que involucran raíces cuadradas y cúbicas.
  • nEvaluar las raíces.
  • Simplifique los radicales usando las reglas de producto y cociente para radicales.

Raíces cuadradas y cubitas

Recordemos que una raíz cuadrada 1 de un número es un número que al multiplicarse por sí mismo produce el número original. Por ejemplo,5 es una raíz cuadrada de25, porque52=25. Ya que(5)2=25, podemos decir que5 es una raíz cuadrada de25 también. Cada número real positivo tiene dos raíces cuadradas, una positiva y otra negativa. Por esta razón, utilizamos el signo radical para denotar la raíz cuadrada principal (no negativa) 2 y un signo negativo frente al radical para denotar la raíz cuadrada negativa.

25=5Positivesquarerootof2525=5Negativesquarerootof25

Cero es el único número real con una raíz cuadrada.

0=0 because 02=0

Ejemplo5.1.1:

Evaluar.

  1. 121
  2. 81

Solución

  1. 121=112=11
  2. 81=92=9

Si el radicando 3, el número dentro del signo radical, se puede factorizar como el cuadrado de otro número, entonces la raíz cuadrada del número es aparente. En este caso, tenemos la siguiente propiedad:

a2=a if a0

O más generalmente,

a2=|a| if aR

El valor absoluto es importante porquea puede ser un número negativo y el signo radical denota la raíz cuadrada principal. Por ejemplo,

(8)2=|8|=8

Hacer uso del valor absoluto para asegurar un resultado positivo.

Ejemplo5.1.2:

Simplificar:(x2)2.

Solución

Aquí la expresión de la variablex2 podría ser negativa, cero o positiva. Dado que el signo depende de la cantidad desconocidax, debemos asegurarnos de obtener la raíz cuadrada principal haciendo uso del valor absoluto.

(x2)2=|x2|

Respuesta:

|x2|

La importancia del uso del valor absoluto en el ejemplo anterior es evidente cuando evaluamos utilizando valores que hacen que el radical sea negativo. Por ejemplo, cuandox=1,

(x2)2=|x2|=|12|=|1|=1

A continuación, considere la raíz cuadrada de un número negativo. Para determinar la raíz cuadrada de25, debe encontrar un número que al cuadrado resulte en25:

25=? or (?)2=25

Sin embargo, cualquier número real al cuadrado siempre resulta en un número positivo. La raíz cuadrada de un número negativo se deja indefinida actualmente. Por ahora, vamos a decir que no25 es un número real. Por lo tanto, la función de raíz cuadrada 4 dada por nof(x)=x se define como un número real si losx valores -son negativos. El valor más pequeño en el dominio es cero. Por ejemplo,f(0)=0=0 yf(4)=4=2. Recordemos la gráfica de la función de raíz cuadrada.

Figura5.1.1

Tanto el dominio como el rango consisten en números reales mayores o iguales a cero:[0,). Para determinar el dominio de una función que involucra una raíz cuadrada observamos el radicando y encontramos los valores que producen resultados no negativos.

Ejemplo5.1.3:

Determinar el dominio de la función definida porf(x)=2x+3.

Solución

Aquí está el radicando2x+3. Esta expresión debe ser cero o positiva. En otras palabras,

2x+30

Resolver parax.

2x+302x3x32

Respuesta:

Dominio:[32,)

Una raíz cubo 5 de un número es un número que cuando se multiplica por sí mismo tres veces produce el número original. Además, denotamos una raíz cubo usando el símbolo3, donde3 se llama el índice 6. Por ejemplo,

364=4, because 43=64

El producto de tres factores iguales será positivo si el factor es positivo y negativo si el factor es negativo. Por esta razón, cualquier número real tendrá sólo una raíz cúbica real. De ahí que no se apliquen los tecnicismos asociados a la raíz principal. Por ejemplo,

364=4, because (4)3=64

En general, dado cualquier número reala, tenemos la siguiente propiedad:

3a3=a if aR

Al simplificar las raíces cúbicas, busca factores que sean cubos perfectos.

Ejemplo5.1.4:

Evaluar.

  1. 38
  2. 30
  3. 3127
  4. 31
  5. 3125

Solución

  1. 38=323=2
  2. 30=303=0
  3. 3127=3(13)3=13
  4. 31=3(1)3=1
  5. 3125=3(5)3=5

Puede darse el caso de que el radicando no sea un cuadrado o cubo perfecto. Si un entero no es una potencia perfecta del índice, entonces su raíz será irracional. Por ejemplo,32 es un número irracional que se puede aproximar en la mayoría de las calculadoras usando el botónx raíz. Dependiendo de la calculadora, normalmente escribimos el índice antes de presionar el botón y luego el radicando de la siguiente manera:

3xy2=

Por lo tanto, tenemos

321.260, because 1.26032

Dado que las raíces cúbicas pueden ser negativas, cero o positivas, no hacemos uso de ningún valor absoluto.

Ejemplo5.1.5:

Simplificar:3(y7)3.

Solución

La raíz cúbica de una cantidad en cubos es esa cantidad.

3(y7)3=y7

Respuesta:

y7

Ejercicio5.1.1

Evaluar:31000.

Responder

=10

www.youtube.com/V/B06NIS-3GIG

A continuación, considere la función de raíz cubo 7:

f(x)=3xCuberootfunction.

Dado que la raíz cubo podría ser negativa o positiva, concluimos que el dominio consiste en todos los números reales. Esboce la gráfica trazando puntos. Elija algunos valores positivos y negativos parax, así como cero, y luego calcule losy valores -correspondientes.

x f(x) f(x)=3x OrderedPairs
\ (x\) ">8 \ (f (x)\) ">2 \ (f (x) =\ sqrt [3] {x}\) ">f(8)=38=2 \ (\ color {cerúleo} {Pedido\ :Pares}\) ">(8,2)
\ (x\) ">1 \ (f (x)\) ">1 \ (f (x) =\ sqrt [3] {x}\) ">f(1)=31=1 \ (\ color {cerúleo} {Pedido\ :Pares}\) ">(1,1)
\ (x\) ">0 \ (f (x)\) ">0 \ (f (x) =\ sqrt [3] {x}\) ">f(0)=30=0 \ (\ color {cerúleo} {Pedido\ :Pares}\) ">(0,0)
\ (x\) ">1 \ (f (x)\) ">1 \ (f (x) =\ sqrt [3] {x}\) ">f(1)=31=1 \ (\ color {cerúleo} {Pedido\ :Pares}\) ">(1,1)
\ (x\) ">8 \ (f (x)\) ">2 \ (f (x) =\ sqrt [3] {x}\) ">f(8)=38=2 \ (\ color {cerúleo} {Pedido\ :Pares}\) ">(8,2)
Mesa5.1.1

Trace los puntos y dibuje la gráfica de la función de raíz cúbica.

Figura5.1.2

El gráfico pasa la prueba de línea vertical y de hecho es una función. Además, el rango consta de todos los números reales.

Ejemplo5.1.6:

Dadog(x)=3x+1+2, encontrarg(9),g(2),g(1), yg(0). Esbozar la gráfica deg.

Solución

Reemplazarx con los valores dados.

x g(x) g(x)=3x+1+2 OrderedPairs
\ (x\) ">9 \ (g (x)\) ">0 \ (g (x) =\ sqrt [3] {x + 1} + 2\) ">g(9)=39+1+2=38+2=2+2=0 \ (\ color {cerúleo} {Pedido\ :Pares}\) ">(9,0)
\ (x\) ">2 \ (g (x)\) ">1 \ (g (x) =\ sqrt [3] {x + 1} + 2\) ">g(2)=32+1+2=31+2=1+2=1 \ (\ color {cerúleo} {Pedido\ :Pares}\) ">(2,1)
\ (x\) ">1 \ (g (x)\) ">2 \ (g (x) =\ sqrt [3] {x + 1} + 2\) ">g(1)=31+1+2=30+2=0+2=2 \ (\ color {cerúleo} {Pedido\ :Pares}\) ">(1,2)
\ (x\) ">0 \ (g (x)\) ">3 \ (g (x) =\ sqrt [3] {x + 1} + 2\) ">g(0)=30+1+2=31+2=1+2=3 \ (\ color {cerúleo} {Pedido\ :Pares}\) ">(0,3)
Mesa5.1.2

También podemos bosquejar la gráfica utilizando las siguientes traducciones:

y=3xBasiccuberootfunctiony=3x+1Horizontalshiftleft1unity=3x+1+2Verticalshiftup2units

Respuesta:

Figura5.1.3

nth Raíces

Para cualquier enteron2, definimos una raízn th 8 de un número real positivo como un número que cuando se eleva a la potencian th produce el número original. Dado cualquier número real no negativoa, tenemos la siguiente propiedad:

nan=a, if a0

Aquí n se llama el índice yan se llama el radicando. Además, podemos referirnos a toda la expresiónnA como un radical 9. Cuando el índice es un número entero mayor o igual a4, decimos “cuarta raíz”, “quinta raíz”, y así sucesivamente. La raízn th de cualquier número es aparente si podemos escribir el radicando con un exponente igual al índice.

Ejemplo5.1.7:

Simplificar:

  1. 481
  2. 532
  3. 71
  4. 4116

Solución

  1. 481=434=3
  2. 532=525=2
  3. 71=717=1
  4. 4116=4(12)4=12

Nota

Si el índice esn=2, entonces el radical indica una raíz cuadrada y se acostumbra escribir el radical sin el índice;2a=a.

Ya nos hemos ocupado de definir la raíz cuadrada principal de un número real. En este punto, extendemos esta idea a enésima raíces cuando n es parejo. Por ejemplo,3 es una cuarta raíz de81, porque34=81. Y ya que(3)4=81, podemos decir que3 es una cuarta raíz de81 también. De ahí que usamos el signo radicaln para denotar la raíz principal (no negativa)n th 10 cuandon es par. En este caso, para cualquier número reala, utilizamos la siguiente propiedad:

nan=|a|Whenniseven

Por ejemplo,

481=434=|3|=3481=4(3)4=|3|=3

La raízn th negativa, cuandon es par, se denotará usando un signo negativo frente al radicaln.

481=434=3

Hemos visto que la raíz cuadrada de un número negativo no es real porque cualquier número real que sea cuadrado dará como resultado un número positivo. De hecho, surge un problema similar para cualquier índice par:

481=? or (?)4=81

Podemos ver que una cuarta raíz de no81 es un número real porque la cuarta potencia de cualquier número real siempre es positiva.

4481664}Theseradicalsarenotrealnumbers.

Se le anima a probar todos estos en una calculadora. ¿Qué dice?

Ejemplo5.1.8:

Simplificar.

  1. 4(10)4
  2. 4104
  3. 6(2y+1)6

Solución

Dado que los índices son pares, utilice valores absolutos para asegurar resultados no negativos.

  1. 4(10)4=|10|=10
  2. 4104=410,000no es un número real.
  3. 6(2y+1)6=|2y+1|

Cuando el índicen es impar, no ocurren los mismos problemas. El producto de un número impar de factores positivos es positivo y el producto de un número impar de factores negativos es negativo. De ahí que cuando el índicen es impar, solo hay una raízn th real para cualquier número reala. Y tenemos la siguiente propiedad:

nan=aWhennisodd

Ejemplo5.1.9:

Simplificar.

  1. 5(10)5
  2. 532
  3. 7(2y+1)7

Solución

Dado que los índices son impares, no se utiliza el valor absoluto.

  1. 5(10)5=10
  2. 532=5(2)5=2
  3. 7(2y+1)7=2y+1

En resumen, para cualquier número reala tenemos,

nan=|a|Whennisevennan=aWhennisodd

Cuandon es impar, la raízn th es positiva o negativa dependiendo del signo del radicando.

327=333=3327=3(3)3=3

Cuandon es par, la raízn th es positiva o no real dependiendo del signo del radicando.

416=424=2416=4(2)4=|2|=2416Notarealnumber

Ejercicio5.1.2

Simplificar:8532.

Responder

16

www.youtube.com/V/IK1xxGQ18F0

Simplificando los radicales

No siempre va a darse el caso de que el radicando sea una potencia perfecta del índice dado. Si no lo es, entonces usamos la regla del producto para los radicales 11 y la regla del cociente para los radicales 12 para simplificarlos. Dados los números realesnA ynB,

Regla del Producto para Radicales: nAB=nAnB
Regla de cociente para radicales: nAB=nAnB
Mesa5.1.3

Un radical se simplifica 13 si no contiene ningún factor que pueda escribirse como potencias perfectas del índice.

Ejemplo5.1.10:

Simplificar:150.

Solución

Aquí150 se puede escribir como2352.

150=2352Applytheproductruleforradicals.=2352Simplify.=65=56

Podemos verificar nuestra respuesta en una calculadora:

15012.25 and 5612.25

Además, cabe señalar que

12.252150

Respuesta:

56

Nota

56es la respuesta exacta y12.25 es una respuesta aproximada. Presentamos respuestas exactas a menos que se indique lo contrario.

Ejemplo5.1.11:

Simplificar:3160.

Solución

Utilice la factorización principal de160 para encontrar el factor de cubo perfecto más grande:

160=255=23225

Reemplazar el radicando con esta factorización y luego aplicar la regla del producto para los radicales.

3160=323225Applytheproductruleforradicals.=3233225Simplify.=2320

Podemos verificar nuestra respuesta en una calculadora.

31605.43 and 23205.43

Respuesta:

2320

Ejemplo5.1.12:

Simplificar:5320.

Solución

Aquí observamos que el índice es impar y el radicando es negativo; de ahí que el resultado sea negativo. Podemos facturar el radicando de la siguiente manera:

320=13210=(1)5(2)510

Luego simplifique:

5320=5(1)5(2)510Applytheproductruleforradicals.=5(1)55(2)5510Simplify.=12510=2510

Respuesta:

2510

Ejemplo5.1.13:

Simplificar:3864.

Solución

En este caso, considerar la fracción equivalente con8=(2)3 en el numerador y64=43 en el denominador y luego simplificar.

3864=3864Applythequotientruleforradicals.=3(2)3343Simplify.=24=12

Respuesta:

12

Ejercicio5.1.3

Simplificar:48081

Responder

2453

www.youtube.com/v/8cwbdbfo2fq

Claves para llevar

  • Para simplificar una raíz cuadrada, busque el factor cuadrado perfecto más grande del radicando y luego aplique la regla del producto o cociente para los radicales.
  • Para simplificar una raíz cubo, busque el factor cubo perfecto más grande del radicando y luego aplique la regla del producto o cociente para los radicales.
  • Al trabajar con enésima raíz,n determina la definición que aplica. Usamosnan=a1 cuandon es impar ynan=|a| cuandon es par.
  • Para simplificarn las raíces, busque los factores que tengan un poder que sea igual al índicen y luego aplique la regla del producto o cociente para los radicales. Por lo general, el proceso se simplifica si se trabaja con la factorización principal del radicando.

Ejercicio5.1.4

Simplificar.

  1. 36
  2. 100
  3. 49
  4. 164
  5. 16
  6. 1
  7. (5)2
  8. (1)2
  9. 4
  10. 52
  11. (3)2
  12. (4)2
  13. x2
  14. (x)2
  15. (x5)2
  16. (2x1)2
  17. 364
  18. 3216
  19. 3216
  20. 364
  21. 38
  22. 31
  23. 3(2)3
  24. 3(7)3
  25. 318
  26. 3827
  27. 3(y)3
  28. 3y3
  29. 3(y8)3
  30. 3(2x3)3
Responder

1. 6

3. 23

5. 4

7. 5

9. No es un número real

11. 3

13. |x|

15. |x5|

17. 4

19. 6

21. 2

23. 2

25. 12

27. y

29. y8

Ejercicio5.1.5

Determinar el dominio de la función dada.

  1. g(x)=x+5
  2. g(x)=x2
  3. f(x)=5x+1
  4. f(x)=3x+4
  5. g(x)=x+1
  6. g(x)=x3
  7. h(x)=5x
  8. h(x)=23x
  9. g(x)=3x+4
  10. g(x)=3x3
Responder

1. [5,)

3. [15,)

5. (,1]

7. (,5]

9. (,)

Ejercicio5.1.6

Evaluar dada la definición de función.

  1. Dadof(x)=x1, encontrarf(1),f(2), yf(5)
  2. Dadof(x)=x+5, encontrarf(5),f(1), yf(20)
  3. Dadof(x)=x+3, encontrarf(0),f(1), yf(16)
  4. Dadof(x)=x5, encontrarf(0),f(1), yf(25)
  5. Dadog(x)=3x, encontrarg(1),g(0), yg(1)
  6. Dadog(x)=3x2 hallazgog(1),g(0), yg(8)
  7. Dadog(x)=3x+7, encontrarg(15),g(7), yg(20)
  8. Dadog(x)=3x1+2, encontrarg(0),g(2), yg(9)
Responder

1. f(1)=0;f(2)=1;f(5)=2

3. f(0)=3;f(1)=4;f(16)=7

5. g(1)=1;g(0)=0;g(1)=1

7. g(15)=2;g(7)=0;g(20)=3

Ejercicio5.1.7

Esbozar la gráfica de la función dada y dar su dominio y rango.

  1. f(x)=x+9
  2. f(x)=x3
  3. f(x)=x1+2
  4. f(x)=x+1+3
  5. g(x)=3x1
  6. g(x)=3x+1
  7. g(x)=3x4
  8. g(x)=3x+5
  9. g(x)=3x+21
  10. g(x)=3x2+3
  11. f(x)=3x
  12. f(x)=3x1
Responder

1. Dominio:[9,); rango:[0,)

Figura5.1.4

3. Dominio:[1,); rango:[2,)

Figura5.1.5

5. Dominio:R; rango;R

Figura5.1.6

7. Dominio:R; rango;R

Figura5.1.7

9. Dominio:R; rango;R

Figura5.1.8

11. Dominio:R; rango;R

Figura5.1.9

Ejercicio5.1.8

Simplificar.

  1. 464
  2. 416
  3. 4625
  4. 41
  5. 4256
  6. 410,000
  7. 5243
  8. 5100,000
  9. 5132
  10. 51243
  11. 416
  12. 61
  13. 532
  14. 51
  15. 1
  16. 416
  17. 6327
  18. 538
  19. 231,000
  20. 75243
  21. 6416
  22. 12664
  23. 32516
  24. 6169
  25. 5327125
  26. 753275
  27. 53827
  28. 8462516
  29. 25100,000
  30. 27128
Responder

1. 4

3. 5

5. 4

7. 3

9. 12

11. 2

13. 2

15. No es un número real

17. 18

19. 20

21. No es un número real

23. 154

25. 3

27. 103

29. 20

Ejercicio5.1.9

Simplificar.

  1. 96
  2. 500
  3. 480
  4. 450
  5. 320
  6. 216
  7. 5112
  8. 10135
  9. 2240
  10. 3162
  11. 15049
  12. 2009
  13. 675121
  14. 19281
  15. 354
  16. 324
  17. 348
  18. 381
  19. 340
  20. 3120
  21. 3162
  22. 3500
  23. 354125
  24. 340343
  25. 5348
  26. 23108
  27. 8496
  28. 74162
  29. 5160
  30. 5486
  31. 5224243
  32. 5532
  33. 5132
  34. 6164
Responder

1. 46

3. 430

5. 85

7. 207

9. 815

11. 567

13. 15311

15. 332

17. 236

19. 235

21. 336

23. 3325

25. 1036

27. 1646

29. 255

31. 2573

33. 12

Ejercicio5.1.10

Simplificar. Dar la respuesta exacta y la respuesta aproximada redondeada a la centésima más cercana.

  1. 60
  2. 600
  3. 9649
  4. 19225
  5. 3240
  6. 3320
  7. 3288125
  8. 36258
  9. 4486
  10. 5288
Responder

1. 215;7.75

3. 467;1.40

5. 2330;6.21

7. 23365;1.32

9. 346;4.70

Ejercicio5.1.11

Reescribir lo siguiente como una expresión radical con coeffecient1.

  1. 215
  2. 37
  3. 510
  4. 103
  5. 237
  6. 336
  7. 245
  8. 342
  9. Cada lado de un cuadrado tiene una longitud que es igual a la raíz cuadrada del área del cuadrado. Si el área de un cuadrado es unidades72 cuadradas, encuentra la longitud de cada uno de sus lados.
  10. Cada borde de un cubo tiene una longitud que es igual a la raíz cúbica del volumen del cubo. Si el volumen de un cubo es de unidades375 cúbicas, encuentra la longitud de cada uno de sus bordes.
  11. La corrienteI medida en amperios viene dada por la fórmulaI=PR dondeP se mide el consumo de energía en vatios yR es la resistencia medida en ohmios. Si una bombilla de100 vatio tiene160 ohmios de resistencia, encuentre la corriente necesaria. (Redondear a la centésima más cercana de un amperio.)
  12. El tiempo en segundos que un objeto está en caída libre viene dado por la fórmulat=s4 dondes representa la distancia en pies que ha caído el objeto. ¿Cuánto tiempo tardará un objeto en caer al suelo desde lo alto8 de una escalera de mano? (Redondear a la décima de segundo más cercana.)
Responder

1. 60

3. 250

5. 356

7. 480

9. 62unidades

11. 0.79amperio

Ejercicio5.1.12

  1. Explica por qué hay dos raíces cuadradas reales para cualquier número real positivo y una raíz cubo real para cualquier número real.
  2. ¿De qué es la raíz cuadrada1 y de qué es la raíz cúbica1? Explique por qué.
  3. 1Explique por qué no es un número real y por qué31 es un número real.
  4. Investigar y discutir los métodos utilizados para calcular raíces cuadradas antes del uso común de las calculadoras electrónicas.
Responder

1. La respuesta puede variar

3. La respuesta puede variar

Notas al pie

1 Un número que al multiplicarse por sí mismo produce el número original.

2 La raíz cuadrada positiva de un número real positivo, denotada con el símbolo.

3 La expresiónA dentro de un signo radical,nA.

4 La función definida porf(x)=x.

5 Un número que cuando se usa como factor consigo mismo tres veces produce el número original, denotado con el símbolo3.

6 El entero positivon en la notaciónn que se utiliza para indicar una raíz enésima.

7 La función definida porf(x)=3x.

8 Un número que cuando se eleva a la potencian th(n2) produce el número original.

9 Se utiliza cuando se refiere a una expresión de la formanA.

10 La raízn th positiva cuandon es par.

11 Dados los números realesnA ynB,nAB=nAnB.

12 Dados números realesnA ynB,nAB=nAnB dóndeB0.

13 Un radical donde el radicando no consiste en ningún factor que pueda escribirse como poderes perfectos del índice.


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