6.1: Extraer raíces cuadradas y completar el cuadrado

Objetivos de aprendizaje

• Resolver ciertas ecuaciones cuadráticas extrayendo raíces cuadradas.
• Resuelve cualquier ecuación cuadrática completando el cuadrado.

Extracción de raíces cuadradas

Recordemos que una ecuación cuadrática está en forma estándar ¹ si es igual a\(0\):

\(a x ^ { 2 } + b x + c = 0\)

donde\(a, b\), y\(c\) son números reales y\(a ≠ 0\). Una solución a tal ecuación es una raíz de la función cuadrática definida por\(f (x) = ax^{2} + bx + c\). Las ecuaciones cuadráticas pueden tener dos soluciones reales, una solución real o ninguna solución real, en cuyo caso habrá dos soluciones complejas. Si los factores de expresión cuadrática, entonces podemos resolver la ecuación factorizando. Por ejemplo, podemos resolver\(4x^{2} − 9 = 0\) factorizando de la siguiente manera:

\(\begin{aligned} 4 x ^ { 2 } - 9 & = 0 \\ ( 2 x + 3 ) ( 2 x - 3 ) & = 0 \end{aligned}\)

\(\begin{array} { c } { 2 x + 3 = 0 \quad \text { or }\quad 2 x - 3 = 0 } \\ { 2 x = - 3 \quad \quad\:\:\:2 x = 3 } \\ { x = - \frac { 3 } { 2 } \quad\quad\:\:\:\: x = \frac { 3 } { 2 } } \end{array}\)

Las dos soluciones son\(± \frac{3}{2}\). Aquí usamos\(±\) para escribir las dos soluciones en una forma más compacta. El objetivo en esta sección es desarrollar un método alternativo que pueda ser utilizado para resolver fácilmente ecuaciones donde\(b = 0\), dando la forma

\(a x ^ { 2 } + c = 0\)

La ecuación\(4x^{2} − 9 = 0\) está en esta forma y puede resolverse aislando primero\(x^{2}\).

\(\begin{aligned} 4 x ^ { 2 } - 9 & = 0 \\ 4 x ^ { 2 } & = 9 \\ x ^ { 2 } & = \frac { 9 } { 4 } \end{aligned}\)

Si tomamos la raíz cuadrada de ambos lados de esta ecuación, obtenemos lo siguiente:

\(\begin{aligned} \sqrt { x ^ { 2 } } & = \sqrt { \frac { 9 } { 4 } } \\ | x | & = \frac { 3 } { 2 } \end{aligned}\)

Aquí vemos que\(x = ± \frac{3}{2}\) son soluciones a la ecuación resultante. En general, esto describe la propiedad de raíz cuadrada ²; para cualquier número real\(k\),

\(\text{If}\quad x ^ { 2 } = k , \quad \text { then } \quad x = \pm \sqrt { k }\)

Aplicar la propiedad raíz cuadrada como medio para resolver una ecuación cuadrática se llama extraer la raíz ³. Este método nos permite resolver ecuaciones que no factorizan.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\):

Resolver:\(9 x ^ { 2 } - 8 = 0\).

Solución

Observe que la expresión cuadrática de la izquierda no factoriza. No obstante, está en la forma\(ax^{2} + c = 0\) y así podemos resolverlo extrayendo las raíces. Empezar por aislar\(x^{2}\).

\(\begin{aligned} 9 x ^ { 2 } - 8 & = 0 \\ 9 x ^ { 2 } & = 8 \\ x ^ { 2 } & = \frac { 8 } { 9 } \end{aligned}\)

A continuación, aplicar la propiedad de raíz cuadrada. Recuerda incluir el\(±\) y simplificar.

\(\begin{aligned} x & = \pm \sqrt { \frac { 8 } { 9 } } \\ & = \pm \frac { 2 \sqrt { 2 } } { 3 } \end{aligned}\)

Para completar, comprobar que estas dos soluciones reales resuelven la ecuación cuadrática original.

Mesa\(\PageIndex{1}\)

Cheque\(x = - \frac { 2 \sqrt { 2 } } { 3 }\)	Cheque\(x = \frac { 2 \sqrt { 2 } } { 3 }\)
\(\begin{aligned} 9 x ^ { 2 } - 8 & = 0 \\ 9 \left(\color{Cerulean}{ - \frac { 2 \sqrt { 2 } } { 3 }} \right) ^ { \color{black}{2} } - 8 & = 0 \\ 9 \left( \frac { 4.2 } { 9 } \right) - 8 & = 0 \\ 8 - 8 & = 0 \\ 0 & = 0\:\:\color{Cerulean}{✓} \end{aligned}\)	\(\begin{aligned} 9 x ^ { 2 } - 8 & = 0 \\ 9 \left(\color{Cerulean}{ \frac { 2 \sqrt { 2 } } { 3 }} \right) ^ { \color{black}{2} } - 8 & = 0 \\ 9 \left( \frac { 4.2 } { 9 } \right) - 8 & = 0 \\ 8 - 8 & = 0 \\ 0 & = 0\:\:\color{Cerulean}{✓} \end{aligned}\)

Respuesta:

Dos soluciones reales,\(\pm \frac { 2 \sqrt { 2 } } { 3 }\)

A veces las ecuaciones cuadráticas no tienen una solución real. En este caso, las soluciones serán números complejos.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\):

Resolver:\(x^{2}+25=0\).

Solución

Comience aislando\(x^{2}\) y luego aplique la propiedad de raíz cuadrada.

\(\begin{aligned} x ^ { 2 } + 25 & = 0 \\ x ^ { 2 } & = - 25 \\ x & = \pm \sqrt { - 25 } \end{aligned}\)

Después de aplicar la propiedad de raíz cuadrada, nos quedamos con la raíz cuadrada de un número negativo. Por lo tanto, no hay una solución real a esta ecuación; las soluciones son complejas. Podemos escribir estas soluciones en términos de la unidad imaginaria\(i = \sqrt { - 1 }\).

\(\begin{aligned} x & = \pm \sqrt { - 25 } \\ & = \pm \sqrt { - 1 \cdot 25 } \\ & = \pm i \cdot 5 \\ & = \pm 5 i \end{aligned}\)

Mesa\(\PageIndex{2}\)

Cheque\(x=-5i\)	Cheque\(x=5i\)
\(\begin{aligned} x ^ { 2 } + 25 & = 0 \\ ( \color{Cerulean}{- 5 i}\color{black}{ )} ^ { 2 } + 25 & = 0 \\ 25 i ^ { 2 } + 25 & = 0 \\ 25 ( - 1 ) + 25 & = 0 \\ - 25 + 25 & = 0 \\ 0 & = 0\:\:\color{Cerulean}{✓} \end{aligned}\)	\(\begin{aligned} x ^ { 2 } + 25 & = 0 \\ ( \color{Cerulean}{- 5 i}\color{black}{ )} ^ { 2 } + 25 & = 0 \\ 25 i ^ { 2 } + 25 & = 0 \\ 25 ( - 1 ) + 25 & = 0 \\ - 25 + 25 & = 0 \\ 0 & = 0\:\:\color{Cerulean}{✓} \end{aligned}\)

Respuesta:

Dos soluciones complejas,\(\pm 5 i\).

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Resolver:\(2x^{2}-3=0\).

Contestar

Las soluciones son\(\pm \frac { \sqrt { 6 } } { 2 }\).

www.youtube.com/v/9ff7qgHfytq

Considera resolver la siguiente ecuación:

\(( x + 5 ) ^ { 2 } = 9\)

Para resolver esta ecuación factorizando, primero cuadrar\(x + 5\) y luego poner la ecuación en forma estándar, igual a cero, restando\(9\) de ambos lados.

\(\begin{aligned} ( x + 5 ) ^ { 2 } & = 9 \\ x ^ { 2 } + 10 x + 25 & = 9 \\ x ^ { 2 } + 10 x + 16 & = 0 \end{aligned}\)

Factorizar y luego aplicar la propiedad de cero producto.

\(\begin{aligned} x ^ { 2 } + 10 x + 16 & = 0 \\ ( x + 8 ) ( x + 2 ) & = 0 \\ x + 8 & = 0 \quad \quad\text { or }\quad x + 2 = 0 \\ x & = - 8 \quad \quad \quad\quad\quad\: x = - 2 \end{aligned}\)

Las dos soluciones son\(−8\) y\(−2\). Cuando una ecuación está en esta forma, podemos obtener las soluciones en menos pasos extrayendo las raíces.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\):

Resuelve extrayendo raíces:\(( x + 5 ) ^ { 2 } = 9\).

Solución

El término con el factor cuadrado está aislado por lo que comenzamos aplicando la propiedad de raíz cuadrada.

\(\begin{aligned} ( x + 5 ) ^ { 2 } & = 9 \quad\quad\quad\color{Cerulean}{}Apply\:the\:square\:root\:property. \\ x + 5 & = \pm \sqrt { 9 } \quad\:\:\color{Cerulean}{Simplify.}\\ x + 5 & = \pm \sqrt { 9 } \\ x & = - 5 \pm 3 \end{aligned}\)

En este punto, separe el “más o menos” en dos ecuaciones y resuelva cada una individualmente.

\(\begin{array} { l } { x = - 5 + 3 \quad\text { or } \quad x = - 5 - 3 } \\ { x = - 2 \quad\quad\quad \quad\quad x = - 8 } \end{array}\)

Respuesta:

Las soluciones son\(-2\) y\(-8\).

Además de menos pasos, este método nos permite resolver ecuaciones que no factorizan.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\):

Resolver:\(2 ( x - 2 ) ^ { 2 } - 5 = 0\).

Solución

Comience aislando el término con el factor cuadrado.

\(\begin{aligned} 2 ( x - 2 ) ^ { 2 } - 5 & = 0 \\ 2 ( x - 2 ) ^ { 2 } & = 5 \\ ( x - 2 ) ^ { 2 } & = \frac { 5 } { 2 } \end{aligned}\)

A continuación, extraer las raíces, resolver para\(x\), y luego simplificar.

\(\begin{aligned} x - 2 & = \pm \sqrt { \frac { 5 } { 2 } }\quad\quad\quad\quad\color{Cerulean}{Rationalize\:the\:denominator.} \\ x & = 2 \pm \frac { \sqrt { 5 } } { \sqrt { 2 } } \cdot \color{Cerulean}{ \frac { \sqrt { 2 } } { \sqrt { 2 } } }\\ x & = 2 \pm \frac { \sqrt { 10 } } { 2 } \\ x & = \frac { 4 \pm \sqrt { 10 } } { 2 } \end{aligned}\)

Respuesta:

Las soluciones son\(\frac { 4 - \sqrt { 10 } } { 2 }\) y\(\frac { 4 + \sqrt { 10 } } { 2 }\).

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Resolver:\(2 ( 3 x - 1 ) ^ { 2 } + 9 = 0\).

Contestar

Las soluciones son\(\frac { 1 } { 3 } \pm \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } i\).

www.youtube.com/v/rqrrtff3rw0

Completando la Plaza

En esta sección, idearemos un método para reescribir cualquier ecuación cuadrática de la forma

\(a x ^ { 2 } + b x + c = 0\)

como una ecuación de la forma

\(( x - p ) ^ { 2 } = q\)

Este proceso se llama completar el cuadrado ⁴. Como hemos visto, las ecuaciones cuadráticas en esta forma se pueden resolver fácilmente extrayendo raíces. Comenzamos por examinar trinomios cuadrados perfectos:

\(\begin{aligned} ( x + 3 ) ^ { 2 } = x ^ { 2 } +\quad &6 x \quad\quad\quad+& 9 \\ &\color{Cerulean}{\downarrow}&\color{Cerulean}{\uparrow} \\ & \left( \frac { 6 } { 2 } \right) ^ { 2 } = ( 3 ) ^ { 2 } = &9 \end{aligned}\)

El último término,\(9\), es el cuadrado de la mitad del coeficiente de\(x\). En general, esto es cierto para cualquier trinomio cuadrado perfecto de la forma\(x^{2} + bx + c\).

\(\begin{aligned} \left( x + \frac { b } { 2 } \right) ^ { 2 } & = x ^ { 2 } + 2 \cdot \frac { b } { 2 } x + \left( \frac { b } { 2 } \right) ^ { 2 } \\ & = x ^ { 2 } + b x + \left( \frac { b } { 2 } \right) ^ { 2 } \end{aligned}\)

En otras palabras, cualquier trinomio de la forma\(x^{2} + bx + c\) será un trinomio cuadrado perfecto si

\(c = \left( \frac { b } { 2 } \right) ^ { 2 }\)

Nota

Es importante señalar que el coeficiente principal debe ser igual a\(1\) para que esto sea cierto.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\):

Completa el cuadrado:\(x ^ { 2 } - 6 x + \color{Cerulean}{?}\color{black}{ =} ( x + \color{Cerulean}{?}\color{black}{ )} ^ { 2 }\).

Solución

En este ejemplo, el coeficiente\(b\) del término medio es\(−6\). Encuentra el valor que completa el cuadrado de la siguiente manera:

\(\left( \frac { b } { 2 } \right) ^ { 2 } = \left( \frac { - 6 } { 2 } \right) ^ { 2 } = ( - 3 ) ^ { 2 } = \color{Cerulean}{9}\)

El valor que completa el cuadrado es\(9\).

\(\begin{aligned} x ^ { 2 } - 6 x \color{Cerulean}{+ 9} & \color{black}{=} ( x - 3 ) ( x - 3 ) \\ & = ( x - 3 ) ^ { 2 } \end{aligned}\)

Respuesta:

\(x ^ { 2 } - 6 x + 9 = ( x - 3 ) ^ { 2 }\)

Ejemplo\(\PageIndex{6}\):

Completa el cuadrado:\(x ^ { 2 } + x + \color{Cerulean}{?}\color{black}{ =} ( x + \color{Cerulean}{?}\color{black}{ )} ^ { 2 }\).

Solución

Aquí\(b=1\). Encuentra el valor que completará el cuadrado de la siguiente manera:

\(\left( \frac { b } { 2 } \right) ^ { 2 } = \left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } = \color{Cerulean}{\frac { 1 } { 4 }}\)

El valor\(\frac{1}{4}\) completa el cuadrado:

\(\begin{aligned} x ^ { 2 } + x \color{Cerulean}{+ \frac { 1 } { 4 }} & \color{black}{=} \left( x + \frac { 1 } { 2 } \right) \left( x + \frac { 1 } { 2 } \right) \\ & = \left( x + \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } \end{aligned}\)

Respuesta:

\(x ^ { 2 } + x + \frac { 1 } { 4 } = \left( x + \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 }\)

Podemos utilizar esta técnica para resolver ecuaciones cuadráticas. La idea es tomar cualquier ecuación cuadrática en forma estándar y completar el cuadrado para que podamos resolverlo extrayendo raíces. Los siguientes son pasos generales para resolver una ecuación cuadrática con coeficiente inicial 1 en forma estándar completando el cuadrado.

Ejemplo\(\PageIndex{7}\):

Resuelve completando la plaza:\(x ^ { 2 } - 8 x - 2 = 0\).

Solución

Es importante notar que el coeficiente principal es\(1\).

Paso 1: Suma o resta el término constante para obtener una ecuación de la forma\(x^{2} + bx = c\). Aquí agregamos\(2\) a ambos lados de la ecuación.

\(\begin{aligned} x ^ { 2 } - 8 x - 2 &= 0 \\ x ^ { 2 } - 8 x &= 2 \end{aligned}\)

Paso 2: Utilícelo\(\left( \frac { b } { 2 } \right) ^ { 2 }\) para determinar el valor que completa el cuadrado. En este caso,\(b = - 8\).

\(\left( \frac { b } { 2 } \right) ^ { 2 } = \left( \frac { - 8 } { 2 } \right) ^ { 2 } = ( - 4 ) ^ { 2 } = \color{Cerulean}{16}\)

Paso 3: Agregar\(\left( \frac { b } { 2 } \right) ^ { 2 }\) a ambos lados de la ecuación y completar el cuadrado.

\(\begin{aligned} x ^ { 2 } - 8 x & = 2 \\ x ^ { 2 } - 8 x \color{Cerulean}{+ 16} & \color{black}{=} 2 \color{Cerulean}{+ 16} \\ ( x - 4 ) ( x - 4 ) &= 18 \\ ( x - 4 ) ^ { 2 } & = 18 \end{aligned}\)

Paso 4: Resuelve extrayendo raíces.

\(\begin{aligned} ( x - 4 ) ^ { 2 } & = 18 \\ x - 4 & = \pm \sqrt { 18 } \\ x & = 4 \pm \sqrt { 9 \cdot 2 } \\ x & = 4 \pm 3 \sqrt { 2 } \end{aligned}\)

Respuesta:

Las soluciones son\(4 - 3 \sqrt { 2 }\) y\(4 + 3 \sqrt { 2 }\). El cheque se deja al lector.

Ejemplo\(\PageIndex{8}\):

Resuelve completando la plaza:\(x ^ { 2 } + 2 x - 48 = 0\).

Solución

Comience por agregar\(48\) a ambos lados

\(\begin{aligned} x ^ { 2 } + 2 x - 48 &= 0 \\ x ^ { 2 } + 2 x &= 48 \end{aligned}\)

A continuación, encuentra el valor que completa el cuadrado usando\(b = 2\).

\(\left( \frac { b } { 2 } \right) ^ { 2 } = \left( \frac { 2 } { 2 } \right) ^ { 2 } = ( 1 ) ^ { 2 } = \color{Cerulean}{1}\)

Para completar el cuadrado, agregue\(1\) a ambos lados, complete el cuadrado y luego resuelva extrayendo las raíces.

\(\begin{aligned} x ^ { 2 } + 2 x &= 48\quad\quad\quad\color{Cerulean}{Complete\:the\:square.} \\ x ^ { 2 } + 2 x \color{Cerulean}{+ 1} &\color{black}{=} 48 \color{Cerulean}{+ 1} \\ ( x + 1 ) ( x + 1 ) &= 49 \\ ( x + 1 ) ^ { 2 } &= 49 \quad\quad\quad\color{Cerulean}{Extract\:the\:roots.} \\ x + 1 &= \pm \sqrt { 49 } \\ x + 1 &= \pm 7 \\ x &= - 1 \pm 7 \end{aligned}\)

En este punto, separe el “más o menos” en dos ecuaciones y resuelva cada una individualmente.

\(\begin{array} { l } { x = - 1 - 7 \text { or } x = - 1 + 7 } \\ { x = - 8 \quad\quad\quad x = 6 } \end{array}\)

Respuesta:

Las soluciones son\(-8\) y\(6\).

Nota

En el ejemplo anterior las soluciones son números enteros. Si este es el caso, entonces la ecuación original se factorizará.

\(\begin{array} { c } { x ^ { 2 } + 2 x - 48 = 0 } \\ { ( x - 6 ) ( x + 8 ) = 0 } \end{array}\)

Si una ecuación factoriza, podemos resolverla factorizando. Sin embargo, no todas las ecuaciones cuadráticas serán factorizadas. Además, las ecuaciones a menudo tienen soluciones complejas.

Ejemplo\(\PageIndex{9}\):

Resuelve completando la plaza:\(x ^ { 2 } - 10 x + 26 = 0\).

Solución

Comience restando\(26\) de ambos lados de la ecuación.

\(\begin{aligned} x ^ { 2 } - 10 x + 26 & = 0 \\ x ^ { 2 } - 10 x & = - 26 \end{aligned}\)

Aquí\(b=-10\), y determinamos el valor que completa el cuadrado de la siguiente manera:

\(\left( \frac { b } { 2 } \right) ^ { 2 } = \left( \frac { - 10 } { 2 } \right) ^ { 2 } = ( - 5 ) ^ { 2 } = \color{Cerulean}{25}\)

Para completar el cuadrado, agregue\(25\) a ambos lados de la ecuación.

\(\begin{aligned} x ^ { 2 } - 10 x & = - 26 \\ x ^ { 2 } - 10 x \color{Cerulean}{+ 25} & \color{black}{=} - 26 + \color{Cerulean}{25} \\ x ^ { 2 } - 10 x \color{Cerulean}{+ 25} & \color{black}{=} - 1 \end{aligned}\)

Factorizar y luego resolver extrayendo raíces.

\(\begin{aligned} x ^ { 2 } - 10 x + 25 & = - 1 \\ ( x - 5 ) ( x - 5 ) & = - 1 \\ ( x - 5 ) ^ { 2 } & = - 1 \\ x - 5 & = \pm \sqrt { - 1 } \\ x - 5 & = \pm i \\ x & = 5 \pm i \end{aligned}\)

Respuesta:

Las soluciones son\(5 \pm i\).

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Resuelve completando la plaza:\(x ^ { 2 } - 2 x - 17 = 0\).

Contestar

Las soluciones son\(x = 1 \pm 3 \sqrt { 2 }\).

www.youtube.com/v/i8WvWPE-CT0

El coeficiente de no siempre\(x\) es divisible por\(2\).

Ejemplo\(\PageIndex{10}\):

Resuelve completando la plaza:\(x^{2} + 3x+4=0\).

Solución

Comienza restando\(4\) de ambos lados.

\(\begin{aligned} x ^ { 2 } + 3 x + 4 &= 0 \\ x ^ { 2 } + 3 x &= - 4 \end{aligned}\)

\(b=3\)Utilícelo para encontrar el valor que completa el cuadrado:

\(\left( \frac { b } { 2 } \right) ^ { 2 } = \left( \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { 2 } = \color{Cerulean}{\frac { 9 } { 4 }}\)

Para completar el cuadrado, agregue\(\frac{9}{4}\) a ambos lados de la ecuación.

\(\begin{aligned} x ^ { 2 } + 3 x & = - 4 \\ x ^ { 2 } + 3 x \color{Cerulean}{+ \frac { 9 } { 4 }} & \color{black}{=} - 4 + \color{Cerulean}{\frac { 9 } { 4 }} \\ \left( x + \frac { 3 } { 2 } \right) \left( x + \frac { 3 } { 2 } \right) & = \frac { - 16 } { 4 } + \frac { 9 } { 4 } \\ \left( x + \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { 2 } & = \frac { - 7 } { 4 } \end{aligned}\)

Resuelve extrayendo raíces.

\(\begin{aligned} \left( x + \frac { 3 } { 2 } \right) ^ { 2 } & = - \frac { 7 } { 4 } \\ x + \frac { 3 } { 2 } & = \pm \sqrt { \frac { - 1 \cdot 7 } { 4 } } \\ x + \frac { 3 } { 2 } & = \pm \frac { i \sqrt { 7 } } { 2 } \\ x & = - \frac { 3 } { 2 } \pm \frac { \sqrt { 7 } } { 2 } i \end{aligned}\)

Respuesta:

Las soluciones son\(- \frac { 3 } { 2 } \pm \frac { \sqrt { 7 } } { 2 } i\).

Hasta el momento, todos los ejemplos han tenido un coeficiente principal de\(1\). La fórmula\(\left( \frac { b } { 2 } \right) ^ { 2 }\) determina el valor que completa el cuadrado sólo si el coeficiente inicial es\(1\). Si este no es el caso, entonces simplemente divida ambos lados por el coeficiente inicial antes de comenzar los pasos delineados para completar el cuadrado.

Ejemplo\(\PageIndex{11}\):

Resuelve completando la plaza:\(2 x ^ { 2 } + 5 x - 1 = 0\).

Solución

Observe que el coeficiente principal es\(2\). Por lo tanto, divida ambos lados por\(2\) antes de comenzar los pasos requeridos para resolver completando el cuadrado.

\(\begin{array} { c } { \frac { 2 x ^ { 2 } + 5 x - 1 } {\color{Cerulean}{ 2} } \color{black}{=} \frac { 0 } { \color{Cerulean}{2} } } \\ { \frac { 2 x ^ { 2 } } { 2 } + \frac { 5 x } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } = 0 } \\ { x ^ { 2 } + \frac { 5 } { 2 } x - \frac { 1 } { 2 } = 0 } \end{array}\)

\(\frac{1}{2}\)Sumar a ambos lados de la ecuación.

\(\begin{array} { r } { x ^ { 2 } + \frac { 5 } { 2 } x - \frac { 1 } { 2 } = 0 } \\ { x ^ { 2 } + \frac { 5 } { 2 } x = \frac { 1 } { 2 } } \end{array}\)

Aquí\(b=\frac{5}{2}\), y podemos encontrar el valor que completa el cuadrado de la siguiente manera:

\(\left( \frac { b } { 2 } \right) ^ { 2 } = \left( \frac {\color{OliveGreen}{ 5 / 2} } {\color{black}{ }2 } \right) ^ { 2 } = \left( \frac { 5 } { 2 } \cdot \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } = \left( \frac { 5 } { 4 } \right) ^ { 2 } = \color{Cerulean}{\frac { 25 } { 16 }}\)

Para completar el cuadrado, agregue\(\frac{25}{16}\) a ambos lados de la ecuación.

\(\begin{aligned} x ^ { 2 } + \frac { 5 } { 2 } x &= \frac { 1 } { 2 } \\ x ^ { 2 } + \frac { 5 } { 2 } x \color{Cerulean}{+ \frac { 25 } { 16 }} &\color{black}{=} \frac { 1 } { 2 } \color{Cerulean}{+ \frac { 25 } { 16 }} \\ \left( x + \frac { 5 } { 4 } \right) \left( x + \frac { 5 } { 4 } \right) &= \frac { 8 } { 16 } + \frac { 25 } { 16 } \\ \left( x + \frac { 5 } { 4 } \right) ^ { 2 } &= \frac { 33 } { 16 } \end{aligned}\)

A continuación, resolver extrayendo raíces.

\(\begin{aligned} \left( x + \frac { 5 } { 4 } \right) ^ { 2 } & = \frac { 33 } { 16 } \\ x + \frac { 5 } { 4 } & = \pm \sqrt { \frac { 33 } { 16 } } \\ x + \frac { 5 } { 4 } & = \pm \frac { \sqrt { 33 } } { 4 } \\ x & = - \frac { 5 } { 4 } \pm \frac { \sqrt { 33 } } { 4 } \\ x & = \frac { - 5 \pm \sqrt { 33 } } { 4 } \end{aligned}\)

Respuesta:

Las soluciones son\(\frac { - 5 \pm \sqrt { 33 } } { 4 }\).

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Resuelve completando la plaza:\(3 x ^ { 2 } - 2 x + 1 = 0\).

Contestar

Las soluciones son\(x = \frac { 1 } { 3 } \pm \frac { \sqrt { 2 } } { 3 } i\)

www.youtube.com/v/a-i6lkqnmty

Claves para llevar

• Resolver ecuaciones de la forma\(ax^{2} + c = 0\) extrayendo las raíces.
• Extraer raíces implica aislar el cuadrado y luego aplicar la propiedad de raíz cuadrada. Recuerda incluir “\(±\)” al tomar la raíz cuadrada de ambos lados.
• Después de aplicar la propiedad de raíz cuadrada, resuelva cada una de las ecuaciones resultantes. Asegúrese de simplificar todas las expresiones radicales y racionalizar el denominador si es necesario.
• Resuelve cualquier ecuación cuadrática completando el cuadrado.
• Puede aplicar la propiedad raíz cuadrada para resolver una ecuación si primero puede convertir la ecuación a la forma\((x − p)^{2} = q\).
• Para completar el cuadrado, primero asegúrate de que la ecuación esté en la forma\(x^{2} + bx = c\). El coeficiente principal debe ser\(1\). Después agregue el valor\(\left( \frac { b } { 2 } \right) ^ { 2 }\) a ambos lados y factorizar.
• El proceso para completar el cuadrado siempre funciona, pero puede llevar a algunos cálculos tediosos con fracciones. Este es el caso cuando el término medio,\(b\), no es divisible por\(2\).

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Resuelve factorizando y luego resolviendo extrayendo raíces. Consulta las respuestas.

1. \(x ^ { 2 } - 16 = 0\)
2. \(x ^ { 2 } - 36 = 0\)
3. \(9 y ^ { 2 } - 1 = 0\)
4. \(4 y ^ { 2 } - 25 = 0\)
5. \(( x - 2 ) ^ { 2 } - 1 = 0\)
6. \(( x + 1 ) ^ { 2 } - 4 = 0\)
7. \(4 ( y - 2 ) ^ { 2 } - 9 = 0\)
8. \(9 ( y + 1 ) ^ { 2 } - 4 = 0\)
9. \(( u - 5 ) ^ { 2 } - 25 = 0\)
10. \(( u + 2 ) ^ { 2 } - 4 = 0\)

Contestar

1. \(-4,4\)

3. \(- \frac { 1 } { 3 } , \frac { 1 } { 3 }\)

5. \(1, 3\)

7. \(\frac { 1 } { 2 } , \frac { 7 } { 2 }\)

9.\ (0,10)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Resuelve extrayendo las raíces.

1. \(x ^ { 2 } = 81\)
2. \(x ^ { 2 } = 1\)
3. \(y ^ { 2 } = \frac { 1 } { 9 }\)
4. \(y ^ { 2 } = \frac { 1 } { 16 }\)
5. \(x ^ { 2 } = 12\)
6. \(x ^ { 2 } = 18\)
7. \(16 x ^ { 2 } = 9\)
8. \(4 x ^ { 2 } = 25\)
9. \(2 t ^ { 2 } = 1\)
10. \(3 t ^ { 2 } = 2\)
11. \(x ^ { 2 } - 40 = 0\)
12. \(x ^ { 2 } - 24 = 0\)
13. \(x ^ { 2 } + 1 = 0\)
14. \(x ^ { 2 } + 100 = 0\)
15. \(5 x ^ { 2 } - 1 = 0\)
16. \(6 x ^ { 2 } - 5 = 0\)
17. \(8 x ^ { 2 } + 1 = 0\)
18. \(12 x ^ { 2 } + 5 = 0\)
19. \(y ^ { 2 } + 4 = 0\)
20. \(y ^ { 2 } + 1 = 0\)
21. \(x ^ { 2 } - \frac { 4 } { 9 } = 0\)
22. \(x ^ { 2 } - \frac { 9 } { 25 } = 0\)
23. \(x ^ { 2 } - 8 = 0\)
24. \(t ^ { 2 } - 18 = 0\)
25. \(x ^ { 2 } + 8 = 0\)
26. \(x ^ { 2 } + 125 = 0\)
27. \(5 y ^ { 2 } - 2 = 0\)
28. \(3 x ^ { 2 } - 1 = 0\)
29. \(( x + 7 ) ^ { 2 } - 4 = 0\)
30. \(( x + 9 ) ^ { 2 } - 36 = 0\)
31. \(( x - 5 ) ^ { 2 } - 20 = 0\)
32. \(( x + 1 ) ^ { 2 } - 28 = 0\)
33. \(( 3 t + 2 ) ^ { 2 } + 6 = 0\)
34. \(( 3 t - 5 ) ^ { 2 } + 10 = 0\)
35. \(4 ( 3 x + 1 ) ^ { 2 } - 27 = 0\)
36. \(9 ( 2 x - 3 ) ^ { 2 } - 8 = 0\)
37. \(2 ( 3 x - 1 ) ^ { 2 } + 3 = 0\)
38. \(5 ( 2 x - 1 ) ^ { 2 } + 2 = 0\)
39. \(3 \left( y - \frac { 2 } { 3 } \right) ^ { 2 } - \frac { 3 } { 2 } = 0\)
40. \(2 \left( 3 y - \frac { 1 } { 3 } \right) ^ { 2 } - \frac { 5 } { 2 } = 0\)
41. \(- 3 ( t - 1 ) ^ { 2 } + 12 = 0\)
42. \(- 2 ( t + 1 ) ^ { 2 } + 8 = 0\)
43. Resolver para\(x : p x ^ { 2 } - q = 0 , p , q > 0\)
44. Resolver para\(x ( x - p ) ^ { 2 } - q = 0 , p , q > 0\)
45. La diagonal de un cuadrado mide\(3\) centímetros. Encuentra la longitud de cada lado.
46. La longitud de un rectángulo es el doble de su ancho. Si la diagonal del rectángulo mide\(10\) metros, entonces encuentra las dimensiones del rectángulo.
47. Si un círculo tiene un área de centímetros\(50π\) cuadrados, entonces encuentra su radio.
48. Si un cuadrado tiene un área de centímetros\(27\) cuadrados, entonces encuentra la longitud de cada lado.
49. La altura en pies de un objeto caído de una\(18\) escalera -foot viene dada por\(h ( t ) = - 16 t ^ { 2 } + 18\), donde\(t\) representa el tiempo en segundos después de que el objeto es caído. ¿Cuánto tiempo tarda el objeto en golpear el suelo? (Pista: La altura es\(0\) cuando el objeto golpea el suelo. Redondear a la centésima de segundo más cercana.)
50. La altura en pies de un objeto caído desde una plataforma de\(50\) -pie viene dada por\(h(t) = −16t^{2} + 50\), donde\(t\) representa el tiempo en segundos después de que el objeto es caído. ¿Cuánto tiempo tarda el objeto en golpear el suelo? (Redondear a la centésima de segundo más cercana.)
51. ¿Qué tan alto alcanza una escalera de\(22\) pie si su base está a\(6\) pies del edificio sobre el que se apoya? Redondear a la décima de pie más cercana.
52. La altura de un triángulo es\(\frac{1}{2}\) la longitud de su base. Si el área del triángulo es de metros\(72\) cuadrados, encuentra la longitud exacta de la base del triángulo.

Contestar

1. \(\pm 9\)

3. \(\pm \frac{1}{3}\)

5. \(\pm 2 \sqrt { 3 }\)

7. \(\pm \frac { 3 } { 4 }\)

9. \(\pm \frac { \sqrt { 2 } } { 2 }\)

11. \(\pm 2 \sqrt { 10 }\)

13. \(\pm i\)

15. \(\pm \frac { \sqrt { 5 } } { 5 }\)

17. \(\pm \frac { \sqrt { 2 } } { 4 } i\)

19. \(\pm 2 i\)

21. \(\pm \frac { 2 } { 3 }\)

23. \(\pm 2 \sqrt { 2 }\)

25. \(\pm 2 i \sqrt { 2 }\)

27. \(\pm \frac { \sqrt { 10 } } { 5 }\)

29. \(-9,-5\)

31. \(5 \pm 2 \sqrt { 5 }\)

33. \(- \frac { 2 } { 3 } \pm \frac { \sqrt { 6 } } { 3 } i\)

35. \(\frac { - 2 \pm 3 \sqrt { 3 } } { 6 }\)

37. \(\frac { 1 } { 3 } \pm \frac { \sqrt { 6 } } { 6 } i\)

39. \(\frac { 4\pm 3 \sqrt { 2 } } { 6 }\)

41. \(-1,-3\)

43. \(x = \pm \frac { \sqrt { p q } } { p }\)

45. \(\frac { 3 \sqrt { 2 } } { 2 }\)centímetros

47. \(5 \sqrt { 2 }\)centímetros

49. \(1.06\)segundos

51. \(21.2\)pies

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Completa el cuadrado.

1. \(x ^ { 2 } - 2 x + ? = ( x - ? ) ^ { 2 }\)
2. \(x ^ { 2 } - 4 x + ? = ( x - ? ) ^ { 2 }\)
3. \(x ^ { 2 } + 10 x + ? = ( x + ? ) ^ { 2 }\)
4. \(x ^ { 2 } + 12 x + ? = ( x + ? ) ^ { 2 }\)
5. \(x ^ { 2 } + 7 x + ? = ( x + ? ) ^ { 2 }\)
6. \(x ^ { 2 } + 5 x + ? = ( x + ? ) ^ { 2 }\)
7. \(x ^ { 2 } - x + ? = ( x - ? ) ^ { 2 }\)
8. \(x ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } x + ? = ( x - ? ) ^ { 2 }\)
9. \(x ^ { 2 } + \frac { 2 } { 3 } x + ? = ( x + ? ) ^ { 2 }\)
10. \(x ^ { 2 } + \frac { 4 } { 5 } x + ? = ( x + ? ) ^ { 2 }\)

Contestar

1. \(x ^ { 2 } - 2 x + 1 = ( x - 1 ) ^ { 2 }\)

3. \(x ^ { 2 } + 10 x + 25 = ( x + 5 ) ^ { 2 }\)

5. \(x ^ { 2 } + 7 x + \frac { 49 } { 4 } = \left( x + \frac { 7 } { 2 } \right) ^ { 2 }\)

7. \(x ^ { 2 } - x + \frac { 1 } { 4 } = \left( x - \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 }\)

9. \(x ^ { 2 } + \frac { 2 } { 3 } x + \frac { 1 } { 9 } = \left( x + \frac { 1 } { 3 } \right) ^ { 2 }\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Resuelve factorizando y luego resuelve completando el cuadrado. Consulta las respuestas.

1. \(x ^ { 2 } + 2 x - 8 = 0\)
2. \(x ^ { 2 } - 8 x + 15 = 0\)
3. \(y ^ { 2 } + 2 y - 24 = 0\)
4. \(y ^ { 2 } - 12 y + 11 = 0\)
5. \(t ^ { 2 } + 3 t - 28 = 0\)
6. \(t ^ { 2 } - 7 t + 10 = 0\)
7. \(2 x ^ { 2 } + 3 x - 2 = 0\)
8. \(3 x ^ { 2 } - x - 2 = 0\)
9. \(2 y ^ { 2 } - y - 1 = 0\)
10. \(2 y ^ { 2 } + 7 y - 4 = 0\)

Contestar

1. \(-4,2\)

3. \(-6,4\)

5. \(-7,4\)

7. \(-2,\frac{1}{2}\)

9. \(- \frac { 1 } { 2 } , 1\)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Resuelve completando la plaza.

1. \(x^{2}+6 x-1=0\)
2. \(x^{2}+8 x+10=0\)
3. \(x^{2}-2 x-7=0\)
4. \(x^{2}-6 x-3=0\)
5. \(y^{2}-2 y+4=0\)
6. \(y^{2}-4 y+9=0\)
7. \(t^{2}+10 t-75=0\)
8. \(t^{2}+12 t-108=0\)
9. \(u^{2}-\frac{2}{3} u-\frac{1}{3}=0\)
10. \(u^{2}-\frac{4}{5} u-\frac{1}{5}=0\)
11. \(x^{2}+x-1=0\)
12. \(x^{2}+x-3=0\)
13. \(y^{2}+3 y-2=0\)
14. \(y^{2}+5 y-3=0\)
15. \(x^{2}+3 x+5=0\)
16. \(x^{2}+x+1=0\)
17. \(x^{2}-7 x+\frac{11}{2}=0\)
18. \(x^{2}-9 x+\frac{3}{2}=0\)
19. \(t^{2}-\frac{1}{2} t-1=0\)
20. \(t^{2}-\frac{1}{3} t-2=0\)
21. \(4 x^{2}-8 x-1=0\)
22. \(2 x^{2}-4 x-3=0\)
23. \(3 x^{2}+6 x+1=0\)
24. \(5 x^{2}+10 x+2=0\)
25. \(3 x^{2}+2 x-3=0\)
26. \(5 x^{2}+2 x-5=0\)
27. \(4 x^{2}-12 x-15=0\)
28. \(2 x^{2}+4 x-43=0\)
29. \(2 x^{2}-4 x+10=0\)
30. \(6 x^{2}-24 x+42=0\)
31. \(2 x^{2}-x-2=0\)
32. \(2 x^{2}+3 x-1=0\)
33. \(3 u^{2}+2 u-2=0\)
34. \(3 u^{2}-u-1=0\)
35. \(x^{2}-4 x-1=15\)
36. \(x^{2}-12 x+8=-10\)
37. \(x(x+1)-11(x-2)=0\)
38. \((x+1)(x+7)-4(3 x+2)=0\)
39. \(y^{2}=(2 y+3)(y-1)-2(y-1)\)
40. \((2 y+5)(y-5)-y(y-8)=-24\)
41. \((t+2)^{2}=3(3 t+1)\)
42. \((3 t+2)(t-4)-(t-8)=1-10 t\)

Contestar

1. \(-3 \pm \sqrt{10}\)

3. 1\(\pm 2 \sqrt{2}\)

5. 1\(\pm i \sqrt{3}\)

7. \(-15,5\)

9. \(-\frac{1}{3}, 1\)

11. \(\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}\)

13. \(\frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}\)

15. \(-\frac{3}{2} \pm \frac{\sqrt{11}}{2} i\)

17. \(\frac{7 \pm 3 \sqrt{3}}{2}\)

19. \(\frac{1 \pm \sqrt{17}}{4}\)

21. \(\frac{2 \pm \sqrt{5}}{2}\)

23. \(\frac{-3 \pm \sqrt{6}}{3}\)

25. \(\frac{-1 \pm \sqrt{10}}{3}\)

27. \(\frac{3 \pm 2 \sqrt{6}}{2}\)

29. 1\(\pm 2 i\)

31. \(\frac{1 \pm \sqrt{17}}{4}\)

33. \(\frac{-1 \pm \sqrt{7}}{3}\)

35. 2\(\pm 2 \sqrt{5}\)

37. 5\(\pm \sqrt{3}\)

39. \(\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\)

41. \(\frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Resuelve completando el cuadrado y redondeando las soluciones a la centésima más cercana.

1. \((2 x-1)^{2}=2 x\)
2. \((3 x-2)^{2}=5-15 x\)
3. \((2 x+1)(3 x+1)=9 x+4\)
4. \((3 x+1)(4 x-1)=17 x-4\)
5. \(9 x(x-1)-2(2 x-1)=-4 x\)
6. \((6 x+1)^{2}-6(6 x+1)=0\)

Contestar

1. \(0.19,1.31\)

3. \(-0.45,1.12\)

5. \(0.33,0.67\)

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

1. Crea una ecuación propia que pueda resolverse extrayendo las raíces. Compártelo, junto con la solución, en el panel de discusión.
2. Explicar por qué la técnica de extracción de raíces expande enormemente nuestra capacidad para resolver ecuaciones cuadráticas.
3. Explique por qué la técnica para completar el cuadrado descrita en esta sección requiere que el coeficiente inicial sea igual a\(1\).
4. Derivar una fórmula para la diagonal de un cuadrado en términos de sus lados.

Contestar

1. La respuesta puede variar

3. La respuesta puede variar

Notas al pie

¹ Cualquier ecuación cuadrática en la forma\(ax^{2} + bx + c = 0\), dónde\(a, b\), y\(c\) son números reales y\(a ≠ 0\).

² Para cualquier número real\(k\), si\(x^{2}=k\), entonces\(x = \pm \sqrt { k }\).

³ Aplicar la propiedad de raíz cuadrada como medio para resolver una ecuación cuadrática.

⁴ El proceso de reescribir una ecuación cuadrática para estar en la forma\((x − p)^{2} = q\).