8.3: Completando la Plaza

Última actualización

30 oct 2022
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- 8.2: Simplificar expresiones radicales
- 8.4: La fórmula cuadrática

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En Introducción a la notación radical, mostramos cómo resolver ecuaciones tales como $x^2 = 9$ tanto algebraica como gráficamente.

$\begin{aligned} x^{2} &=9 \\ x &=\pm 3 \end{aligned} \nonumber$

Tenga en cuenta que cuando tomamos la raíz cuadrada de ambos lados de esta ecuación, hay dos respuestas, una negativa y otra positiva.

Un cuadrado perfecto es bonito, pero no requerido. De hecho, es posible que incluso tengamos que factorizar un cuadrado perfecto para poner nuestra respuesta final en forma simple.

$\begin{aligned} x^{2} &=8 \\ x &=\pm \sqrt{8} \\ x &=\pm \sqrt{4} \sqrt{2} \\ x &=\pm 2 \sqrt{2} \end{aligned} \nonumber$

Los lectores deben usar sus calculadoras para verificar eso $-2 \sqrt{2} \approx -2.8284$ y $2 \sqrt{2} \approx 2.8284$ .

Ahora, vamos a extender esta técnica de solución a una clase más amplia de ecuaciones.

Ejemplo $\PageIndex{1}$

Resolver para $x : (x-4)^{2}=9$

Solución

Al igual que las soluciones de $x^2 = 9$ son $x = ±3$ , utilizamos un enfoque similar $(x−4)^2 = 9$ para obtener:

$\begin{array}{rlrl}{(x-4)^{2}} & {=9} & {} & \color {Red} {\text { Original equation. }} \\ {x-4} & {=\pm 3} & {} & \color {Red} {\text { There are two square roots. }}\end{array} \nonumber$

Para completar la solución, agregue $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x=4 \pm 3 \quad \color {Red} \text { Add } 3 \text { to both sides. } \nonumber$

Tenga en cuenta que esto significa que hay dos respuestas, a saber:

$\begin{array}{l}{x=4-3} \\ {x=1}\end{array} \nonumber$

$\begin{array}{l}{x=4+3} \\ {x=7}\end{array} \nonumber$

Comprobar: Verifique cada solución sustituyéndola en la ecuación original.

Sustituto $1$ de $x$ :

$\begin{aligned}(x-4)^{2} &=9 \\(1-4)^{2} &=9 \\(-3)^{2} &=9 \end{aligned} \nonumber$

Sustituto $7$ de $x$ :

$\begin{aligned}(x-4)^{2} &=9 \\(7-4)^{2} &=9 \\(3)^{2} &=9 \end{aligned} \nonumber$

Debido a que la última declaración en cada cheque es una declaración verdadera, ambas $x = 1$ y $x = 7$ son soluciones válidas de $(x−4)^2 = 9$ .

Ejercicio $\PageIndex{1}$

Resolver para $x :(x+6)^{2}=10$

Contestar: $-2$ , $-10$

En Ejemplo $\PageIndex{1}$ , el lado derecho de la ecuación $(x−4)^2 = 9$ era un cuadrado perfecto. Sin embargo, esto no es obligatorio, como mostrará el siguiente ejemplo.

Ejemplo $\PageIndex{2}$

Resolver para $x :(x+5)^{2}=7$

Solución

Usando la misma técnica que en Ejemplo $\PageIndex{1}$ , obtenemos:

$\begin{array}{rlrl}{(x+5)^{2}} & {=7} & {} & \color {Red} {\text { Original equation. }} \\ {x+5} & {=\pm \sqrt{7}} & {} & \color {Red} {\text { There are two square roots. }}\end{array} \nonumber$

Para completar la solución, restar 5 de ambos lados de la ecuación.

$x=-5 \pm \sqrt{7} \quad \color {Red} \text { Subtract } 5 \text { from both sides.} \nonumber$

Tenga en cuenta que esto significa que hay dos respuestas, a saber:

$x=-5-\sqrt{7} \quad \text { or } \quad x=-5+\sqrt{7} \nonumber$

Comprobar: Verifique cada solución sustituyéndola en la ecuación original.

Sustituto $-5-\sqrt{7}$ de $x$ :

$\begin{aligned}(x+5)^{2} &=7 \\((-5-\sqrt{7})+5)^{2} &=7 \\(-\sqrt{7})^{2} &=7 \end{aligned} \nonumber$

Sustituto $-5+\sqrt{7}$ de $x$ :

$\begin{aligned}(x+5)^{2} &=7 \\((-5+\sqrt{7})+5)^{2} &=7 \\(\sqrt{7})^{2} &=7 \end{aligned} \nonumber$

Debido a que la última declaración en cada cheque es una declaración verdadera, ambas $x=-5-\sqrt{7}$ y $x=-5+\sqrt{7}$ son soluciones válidas de $(x+5)^{2}=7$ .

Ejercicio $\PageIndex{2}$

Resolver para $x :(x-4)^{2}=5$

Contestar: $4+\sqrt{5}, 4-\sqrt{5}$

A veces tendrás que factorizar un cuadrado perfecto para poner tu respuesta en forma sencilla.

Ejemplo $\PageIndex{3}$

Resolver para $x :(x+4)^{2}=20$

Solución

Usando la misma técnica que en Ejemplo $\PageIndex{1}$ , obtenemos:

$\begin{array}{rlrl}{(x+4)^{2}} & {=20} & {} & \color {Red} {\text { Original equation. }} \\ {x+4} & {=\pm \sqrt{20}} & {} & \color {Red} {\text { There are two square roots. }} \\ {x+4} & {=\pm \sqrt{4} \sqrt{5}} & {} & \color {Red} {\text { Factor out a perfect square. }} \\ {x+4} & {=\pm 2 \sqrt{5}} & {} & \color {Red} {\text { Simplify: } \sqrt{4}=2}\end{array} \nonumber$

Para completar la solución, restar $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x=-4 \pm 2 \sqrt{5} \quad \color {Red} \text { Subtract } 4 \text { from both sides. } \nonumber$

Tenga en cuenta que esto significa que hay dos respuestas, a saber:

$x=-4-2 \sqrt{5} \quad \text { or } \quad x=-4+2 \sqrt{5} \nonumber$

Consulta: Aunque es posible verificar las respuestas exactas, usemos nuestra calculadora en su lugar. Primero, almacene $-4-2 \sqrt{5}$ en $\mathbf{X}$ . A continuación, ingrese el lado izquierdo de la ecuación $(x + 4)^2 = 20$ (vea la imagen a la izquierda en la Figura $\PageIndex{3}$ ). Tenga en cuenta que (x+4) 2 simplifica a 20, mostrando que $-4-2 \sqrt{5}$ es una solución de $(x+4)^2 = 20$ .

De manera similar, la solución $-4+2 \sqrt{5}$ también se registra $(x + 4)^2 = 20$ (ver imagen a la derecha en la Figura $\PageIndex{3}$ ).

higo 8.3.3.png — Figura $\PageIndex{3}$ : Comprobación $-4-2 \sqrt{5}$ y $-4+2 \sqrt{5}$ en la ecuación $(x+4)^2 = 20$ .

Ejercicio $\PageIndex{3}$

Resolver para $x :(x+7)^{2}=18$

Contestar: $-7+3 \sqrt{2},-7-3 \sqrt{2}$

Trinomios cuadrados perfectos revisitados

Recordemos la cuadratura de un atajo binomial.

Al cuadrado de un binomio

Si $a$ y $b$ son números reales, entonces: Es $(a±b)^2 = a^2 ±2ab + b^2 \nonumber$ decir, cuadras el primer término, tomas el producto del primer y segundo términos y duplica el resultado, luego cuadras el tercer término.

Ejemplos de recordatorio:

$\begin{aligned}(x+3)^{2} &=x^{2}+2(x)(3)+3^{2} \\ &=x^{2}+6 x+9 \end{aligned} \nonumber$

$\begin{aligned}(x-8)^{2} &=x^{2}-2(x)(8)+8^{2} \\ &=x^{2}-16 x+64 \end{aligned} \nonumber$

Debido a que la factorización es “no multiplicar”, es una cuestión sencilla revertir el proceso de multiplicación y factorizar estos trinomios cuadrados perfectos.

$x^{2}+6 x+9=(x+3)^{2} \nonumber$

$x^{2}-16 x+64=(x-8)^{2} \nonumber$

Observe cómo en cada caso simplemente tomamos la raíz cuadrada del primer y último término.

Ejemplo $\PageIndex{4}$

Factorial cada uno de los siguientes trinomios:

$x^{2}-12 x+36$
$x^{2}+10 x+25$
$x^{2}-34 x+289$

Solución

Siempre que el primer y último término de un trinomio sean cuadrados perfectos, debemos sospechar que tenemos un trinomio cuadrado perfecto.

El primer y tercer término de $x^{2}-12 x+36$ son cuadrados perfectos. De ahí que tomemos sus raíces cuadradas e intentemos: $x^{2}-12 x+36=(x-6)^{2} \nonumber$ Tenga en cuenta eso $2(x)(6)=12 x$ , que es el término medio a la izquierda. La solución comprueba.
El primer y tercer término de $x^{2}+10 x+25$ son cuadrados perfectos. De ahí que tomemos sus raíces cuadradas e intentemos: $x^{2}+10 x+25=(x+5)^{2} \nonumber$ Tenga en cuenta eso $2(x)(5)=10 x$ , que es el término medio a la izquierda. La solución comprueba.
El primer y tercer término de $x^{2}-34 x+289$ son cuadrados perfectos. De ahí que tomemos sus raíces cuadradas e intentemos: $x^{2}-34 x+289=(x-17)^{2} \nonumber$ Tenga en cuenta eso $2(x)(17)=34 x$ , que es el término medio a la izquierda. La solución comprueba.

Ejercicio $\PageIndex{4}$

Factor: $x^2 + 30x + 225$

Contestar: $(x+15)^{2}$

Completando la Plaza

En esta sección comenzamos con el binomio $x^2 +bx$ y hacemos la pregunta “¿A qué valor constante debemos sumar para $x^2 + bx$ que el trinomio resultante sea un trinomio cuadrado perfecto?” La respuesta está en este procedimiento.

Completando la plaza

Para calcular la constante requerida para hacer $x^2 +bx$ un trinomio cuadrado perfecto:

Tome la mitad del coecient de $x : \dfrac{b}{2}$
Cuadrando el resultado del paso uno: $\left(\dfrac{b}{2}\right)^{2}=\dfrac{b^{2}}{4}$
Agregue el resultado del paso dos a $x^{2}+b x : x^{2}+b x+\dfrac{b^{2}}{4}$

Si sigues este proceso, el resultado será un trinomio cuadrado perfecto que se factorizará de la siguiente manera:

$x^{2}+b x+\dfrac{b^{2}}{4}=\left(x+\dfrac{b}{2}\right)^{2} \nonumber$

Ejemplo $\PageIndex{5}$

Dado $x^2 + 12 x$ , completar el cuadrado para crear un trinomio cuadrado perfecto.

Solución

$x^2 + 12x$ Compárelo $x^2 + bx$ y fíjelo $b = 12$ .

Tome la mitad de $12: 6$
Cuadrando el resultado del paso uno: $6^2 = 36$
Agregue el resultado del paso dos a $x^2 + 12x: x^2 + 12x + 36$

Comprobar: Tenga en cuenta que el primer y último término de $x^2 +12x+36$ son cuadrados perfectos. Tomar las raíces cuadradas del primer y último término y factorizar de la siguiente manera:

$x^{2}+12 x+36=(x+6)^{2} \nonumber$

Tenga en cuenta que $2(x)(6) = 12x$ , por lo que los cheques de mediano plazo.

Ejercicio $\PageIndex{5}$

Dado $x^2 + 16x$ , completar el cuadrado para crear un trinomio cuadrado perfecto.

Contestar: $x^{2}+16 x+64=(x+8)^{2}$

Ejemplo $\PageIndex{6}$

Dado $x^2−3x$ , completar el cuadrado para crear un trinomio cuadrado perfecto.

Solución

$x^2 −3x$ Compárelo $x^2 + bx$ y fíjelo $b =−3$ .

Tome la mitad de $-3 : -\dfrac{3}{2}$
Cuadrando el resultado del paso uno: $\left(-\dfrac{3}{2}\right)^{2}=\dfrac{9}{4}$
Agregue el resultado del paso dos a $x^{2}-3 x : x^{2}-3 x+\dfrac{9}{4}$

Comprobar: Tenga en cuenta que el primer y último término de $x^{2}-3 x+\dfrac {9}{4}$ son cuadrados perfectos. Tomar las raíces cuadradas del primer y último término y factorizar de la siguiente manera:

$x^{2}-3 x+\dfrac{9}{4}=\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^{2} \nonumber$

Tenga en cuenta que $2(x)\left (\dfrac {3}{2} \right)=3 x$ , por lo que los cheques de mediano plazo.

Ejercicio $\PageIndex{6}$

Dado $x^2 −5x$ , completar el cuadrado para crear un trinomio cuadrado perfecto.

Contestar: $x^{2}-5 x+\dfrac {10}{4}=\left(x-\dfrac {5}{2} \right)^{2}$

Resolver ecuaciones completando el cuadrado

Considera la siguiente ecuación no lineal.

$x^2 =2x +2 \nonumber$

El enfoque estándar es hacer un lado cero y factor. $x^2 −2x−2=0 \nonumber$ Sin embargo, uno rápidamente se da cuenta de que no hay un par entero cuyo producto es $ac = −2$ y cuya suma es $b = −2$ . Entonces, ¿qué hace uno en esta situación? La respuesta es “Completa el cuadrado”.

Ejemplo $\PageIndex{7}$

Usa completar el cuadrado para ayudar a resolver $x^2 =2x + 2$ .

Solución

Primero, muévase $2x$ hacia el lado izquierdo de la ecuación, manteniendo la constante $2$ en el lado derecho de la ecuación. $x^2 −2x =2 \nonumber$ A la izquierda, tomar la mitad del coecient de $x: \left (\dfrac{1}{2} \right)(-2)=-1$ . Cuadrando el resultado: $(-1)^{2}=1$ . Agrega este resultado a ambos lados de la ecuación.

$\begin{array}{l}{x^{2}-2 x+1=2+1} \\ {x^{2}-2 x+1=3}\end{array} \nonumber$

Ahora podemos factorizar el lado izquierdo como un trinomio cuadrado perfecto.

$(x-1)^{2}=3 \nonumber$

Ahora, como en Ejemplos $\PageIndex{1}$ , $\PageIndex{2}$ , y $\PageIndex{3}$ , podemos tomar la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación. Recuerden, hay dos raíces cuadradas.

$x-1=\pm \sqrt{3} \nonumber$

Por último, $1$ sumar a ambos lados de la ecuación.

$x=1 \pm \sqrt{3} \nonumber$

Así, la ecuación $x^2 =2x+ 2$ tiene dos respuestas, $x=1-\sqrt{3}$ y $x=1+\sqrt{3}$ .

Consulta: Vamos a usar la calculadora para verificar las soluciones. Primero, almacene $1-\sqrt{3}$ en $\mathbf{X}$ (vea la imagen de la izquierda en la Figura $\PageIndex{4}$ ). Luego ingrese los lados izquierdo y derecho de la ecuación $x^2 =2 x + 2$ y compare los resultados (vea la imagen a la izquierda en la Figura $\PageIndex{4}$ ). De manera similar, comprueba la segunda respuesta $1+\sqrt{3}$ (ver la imagen de la derecha en la Figura $\PageIndex{4}$ ).

higo 8.3.4.png — Figura $\PageIndex{4}$ : Comprobación $1-\sqrt{3}$ y $1+\sqrt{3}$ en la ecuación $x^2 =2x + 2$ .

En ambos casos, tenga en cuenta que los lados izquierdo y derecho de $x^2 =2x+2$ producen el mismo resultado. De ahí que ambos $1-\sqrt{3}$ y $1+\sqrt{3}$ sean soluciones válidas de $x^2 =2x+2$ .

Ejercicio $\PageIndex{7}$

Usa completar el cuadrado para ayudar a resolver $x^2 =3−6x$ .

Contestar: $-3+2 \sqrt{3},-3-2 \sqrt{3}$

Ejemplo $\PageIndex{8}$

Resolver la ecuación $x^2 −8x−12 = 0$ , tanto algebraica como gráficamente. Compara tu respuesta de cada método.

Solución

Primero, mueve la constante $12$ hacia el lado derecho de la ecuación.

$\begin{aligned} x^{2}-8 x-12=0 & \quad \color {Red} \text { Original equation. } \\ x^{2}-8 x=12 & \quad \color {Red} \text { Add } 12 \text { to both sides. } \end{aligned} \nonumber$

Toma la mitad del coecient de $x :(1 / 2)(-8)=-4$ . Cuadrado: $(-4)^{2}=16$ . Ahora agregue $16$ a ambos lados de la ecuación.

$\begin{aligned} x^{2}-8 x+16 & =12+16 \quad \color {Red} \text { Add } 16 \text { to both sides. } \\ (x-4)^{2} & =28 \quad \color {Red} \text { Factor left-hand side. } \\ x-4 &=\pm \sqrt{28} \quad \color {Red} \text { There are two square roots. }\end{aligned} \nonumber$
Tenga en cuenta que la respuesta no está en forma simple radical.

$\begin{array}{rlrl}{x-4} & {=\pm \sqrt{4} \sqrt{7}} & {} & \color {Red} {\text { Factor out a perfect square. }} \\ {x-4} & {=\pm 2 \sqrt{7}} & {} & \color {Red} {\text { Simplify: } \sqrt{4}=2} \\ {x} & {=4 \pm 2 \sqrt{7}} & {} & \color {Red} {\text { Add } 4 \text { to both sides. }}\end{array} \nonumber$

Solución gráfica: Ingrese la ecuación $y = x^2 − 8x − 12$ en $\mathbf{Y1}$ el menú Y= (vea la primera imagen en la Figura $\PageIndex{5}$ ). Después de alguna experimentación, nos fijamos en los parámetros VENTANA mostrados en la imagen media de la Figura $\PageIndex{5}$ . Una vez que haya ingresado estos parámetros WINDOW, presione el botón GRAPAR para producir la imagen más a la derecha en la Figura $\PageIndex{5}$ .

higo 8.3.5.png — Figura $\PageIndex{5}$ : Dibujando la gráfica de $y = x^2 −8x−12$ .

Estamos buscando soluciones de $x^2 −8x−12 = 0$ , por lo que necesitamos ubicar donde la gráfica de $y = x^2 −8x−12$ intercepta el $x$ eje -eje. Es decir, tenemos que encontrar los ceros de $y = x^2 −8x−12$ . Seleccione 2:cero en el menú CALC, mueva el cursor ligeramente hacia la izquierda de la primera $x$ intercepción y presione ENTRAR en respuesta a “Límite izquierdo”. Mueva el cursor ligeramente a la derecha de la primera $x$ intercepción y presione ENTRAR en respuesta a “Límite a la derecha”. Deje el cursor donde se sienta y presione ENTRAR en respuesta a “Guess”. La calculadora responde determinando la $x$ coordenada de la $x$ -intercepción, como se muestra en la primera imagen de la Figura $\PageIndex{6}$ .

Repita el proceso para encontrar la segunda $x$ -intercepción de que $y = x^2−8x−12$ se muestra en la segunda imagen de la Figura $\PageIndex{6}$ .

higo 8.3.6.png — Figura $\PageIndex{6}$ : Cálculo de los ceros de $y = x^2 −8x−12$ .

Reportando la solución en tu tarea: Duplica la imagen en la ventana de visualización de tu calculadora en tu página de tareas. Usa una regla para dibujar todas las líneas, pero a mano alzada cualquier curva.

Etiquete los ejes horizontal y vertical con $x$ y $y$ , respectivamente (ver Figura $\PageIndex{7}$ ).
Coloca tus parámetros WINDOW al final de cada eje (ver Figura $\PageIndex{7}$ ).
Etiquete la gráfica con su ecuación (ver Figura $\PageIndex{7}$ ).
Deja caer líneas verticales discontinuas a través $x$ de cada intercepción. Sombra y etiquete los $x$ valores -de los puntos donde la línea vertical discontinua cruza el $x$ eje -eje. Estas son las soluciones de la ecuación $x^2−8x−12 = 0$ (ver Figura $\PageIndex{7}$ ).

higo 8.3.7.png — Figura $\PageIndex{7}$ : Reportando tu solución gráfica en tu tarea.

Así, la calculadora gráfica informa que las soluciones de $x^2 −8x−12 = 0$ son $x \approx-1.291503$ y $x \approx 9.2915026$ .

Comparando aproximaciones exactas y calculadoras: ¿Qué tan bien se comparan las soluciones de calculadora gráfica con las soluciones exactas $x=4-2 \sqrt{7}$ y $x=4+2 \sqrt{7}$ ? Después de ingresar cada uno en la calculadora (ver Figura $\PageIndex{8}$ ), ¡la comparación es excelente!

higo 8.3.8.png — Figura $\PageIndex{8}$ : Aproximación de soluciones exactas $x=4-2 \sqrt{7}$ y $x=4+2 \sqrt{7}$ .

Ejercicio $\PageIndex{8}$

Resuelve la ecuación $x^2 +6x + 3 = 0$ tanto algebraica como gráficamente, luego compara tus respuestas.

Contestar

$-3-\sqrt{6},-3+\sqrt{6}$

$Ejercicio 8.3.8.png$

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