9.5: Dividir Raíces Cuadradas

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrás:

• Dividir raíces cuadradas
• Racionalizar un denominador de un término
• Racionalizar un denominador de dos términos

Nota

Antes de comenzar, toma este cuestionario de preparación.

1. Encuentra una fracción equivalente a$\frac{5}{8}$ con denominador 48.
   Si te perdiste este problema, revisa el Ejercicio 1.6.1.
2. Simplificar:$(\sqrt{5})^2$.
   Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 9.4.13.
3. Multiplicar: (7+3x) (7−3x).
   Si te perdiste este problema, revisa el Ejercicio 6.4.22.

Dividir raíces cuadradas

Sabemos que simplificamos las fracciones eliminando factores comunes al numerador y al denominador. Cuando tenemos una fracción con una raíz cuadrada en el numerador, primero simplificamos la raíz cuadrada. Entonces podemos buscar factores comunes.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Simplificar:$\frac{\sqrt{54}}{6}$

Responder

	$\frac{\sqrt{54}}{6}$
Simplifica lo radical.	$\frac{\sqrt{9}·\sqrt{6}}{6}$
Simplificar.	$\frac{3\sqrt{6}}{6}$
Eliminar los factores comunes.	$\frac{3\sqrt{6}}{3·2}$
Simplificar.	$\frac{\sqrt{6}}{2}$

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Simplificar:$\frac{\sqrt{32}}{8}$.

Responder

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Ejemplo$\PageIndex{3}$

Simplificar:$\frac{\sqrt{75}}{15}$.

Responder

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Ejemplo$\PageIndex{4}$

Simplificar:$\frac{6−\sqrt{24}}{12}$.

Responder

	$\frac{6−\sqrt{24}}{12}$
Simplifica lo radical.	$\frac{6−\sqrt{4}·\sqrt{6}}{12}$
Simplificar.	$\frac{6−2\sqrt{6}}{12}$
Factorice el factor común del numerador.	$\frac{2(3−\sqrt{6})}{12}$
Eliminar los factores comunes.	$\frac{2(3−\sqrt{6})}{2·6}$
Simplificar.	$\frac{3−\sqrt{6}}{6}$

Ejemplo$\PageIndex{5}$

Simplificar:$\frac{8−\sqrt{40}}{10}$.

Responder

$\frac{4−\sqrt{10}}{5}$

Ejemplo$\PageIndex{6}$

Simplificar:$\frac{10−\sqrt{75}}{20}$.

Responder

$\frac{5−\sqrt{3}}{4}$

Hemos utilizado la Propiedad Cociente de Raíces Cuadradas para simplificar las raíces cuadradas de fracciones. El cociente Propiedad de Raíces Cuadradas dice

$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$,$b \ne 0$.

En ocasiones necesitaremos usar la Propiedad Cociente de Raíces Cuadradas 'a la reversa' para simplificar una fracción con raíces cuadradas.

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$,$b \ne 0$.

Vamos a reescribir el Cociente Propiedad de Raíces Cuadradas para que veamos ambos caminos juntos. Recuerda: suponemos que todas las variables son mayores o iguales a cero para que sus raíces cuadradas sean números reales.

Definición: PROPIEDAD COCIENTE DE RAÍCES CUADRADAS

Si a, b son números reales no negativos y$b \ne 0$, entonces

$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$y$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$

Utilizaremos la Propiedad Cociente de Raíces Cuadradas 'a la reversa' cuando la fracción con la que empezamos sea el cociente de dos raíces cuadradas, y ninguno de los radicados es un cuadrado perfecto. Cuando escribimos la fracción en una sola raíz cuadrada, podemos encontrar factores comunes en el numerador y denominador.

Ejemplo$\PageIndex{7}$

Simplificar:$\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{75}}$

Responder

	$\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{75}}$
Ninguno de los radicados es un cuadrado perfecto, así que reescribe usando la propiedad cociente de raíz cuadrada.	$\sqrt{\frac{27}{75}}$
Eliminar factores comunes en el numerador y denominador.	$\sqrt{\frac{9}{25}}$
Simplificar.	$\frac{3}{5}$

Ejemplo$\PageIndex{8}$

Simplificar:$\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{108}}$

Responder

$\frac{2}{3}$

Ejemplo$\PageIndex{9}$

Simplificar:$\frac{\sqrt{96}}{\sqrt{54}}$

Responder

$\frac{4}{3}$

Utilizaremos la Propiedad de Cociente para Exponentes$\frac{a^m}{a^n}=a^{m−n}$,, cuando tengamos variables con exponentes en los radicandos.

Ejemplo$\PageIndex{10}$

Simplificar:$\frac{\sqrt{6y^5}}{\sqrt{2y}}$

Responder

	$\frac{\sqrt{6y^5}}{\sqrt{2y}}$
Ninguno de los radicados es un cuadrado perfecto, así que reescribe usando la propiedad cociente de raíz cuadrada.	$\sqrt{\frac{6y^5}{2y}}$
Eliminar factores comunes en el numerador y denominador.	$\sqrt{3y^4}$
Simplificar.	$y^2\sqrt{3}$

Ejemplo$\PageIndex{11}$

Simplificar:$\frac{\sqrt{12r^3}}{\sqrt{6r}}$.

Responder

$r\sqrt{2}$

Ejemplo$\PageIndex{12}$

Simplificar:$\frac{\sqrt{14p^9}}{\sqrt{2p^5}}$

Responder

$p^2\sqrt{7}$

Ejemplo$\PageIndex{13}$

Simplificar:$\frac{\sqrt{72x^3}}{\sqrt{162x}}$

Responder

	$\frac{\sqrt{72x^3}}{\sqrt{162x}}$
Reescribir usando la propiedad de cociente de raíces cuadradas.	$\sqrt{\frac{72x^3}{162x}}$
Eliminar factores comunes.	$\sqrt{\frac{18·4·x^2·x}{18·9·x}}$
Simplificar.	$\sqrt{\frac{4x^2}{9}}$
Simplifica lo radical.	$\frac{2x}{3}$

Ejemplo$\PageIndex{14}$

Simplificar:$\frac{\sqrt{50s^3}}{\sqrt{128s}}$.

Responder

$\frac{5s}{8}$

Ejemplo$\PageIndex{15}$

Simplificar:$\frac{\sqrt{75q^5}}{\sqrt{108q}}$.

Responder

$\frac{5q^2}{6}$

Ejemplo$\PageIndex{16}$

Simplificar:$\frac{\sqrt{147ab^8}}{\sqrt{3a^3b^4}}$.

Responder

	$\frac{\sqrt{147ab^8}}{\sqrt{3a^{3}b^{4}}}$
Reescribir usando la propiedad de cociente de raíces cuadradas.	$\sqrt{\frac{147ab^8}{3a^{3}b^{4}}}$
Eliminar factores comunes.	\ (\ sqrt {\ frac {49b^4} {a^2}}\
Simplifica lo radical.	$\frac{7b^2}{a}$

Ejemplo$\PageIndex{17}$

Simplificar:$\frac{\sqrt{162x^{10}y^{2}}}{\sqrt{2x^6y^6}}$.

Contestar

$\frac{9x^2}{y^2}$

Ejemplo$\PageIndex{18}$

Simplificar:$\frac{\sqrt{300m^{3}n^{7}}}{\sqrt{3m^{5}n}}$.

Contestar

$\frac{10n^3}{m}$

Racionalizar un denominador de un término

Antes de que la calculadora se convirtiera en una herramienta de la vida cotidiana, se utilizaron tablas de raíces cuadradas para encontrar valores aproximados de raíces cuadradas. La figura muestra una porción de una tabla de cuadrados y raíces cuadradas. Las raíces cuadradas se aproximan a cinco decimales en esta tabla.

Se utilizó una tabla de raíces cuadradas para encontrar valores aproximados de raíces cuadradas antes de que existieran calculadoras.

Si alguien necesitaba aproximar una fracción con una raíz cuadrada en el denominador, significaba hacer división larga con un divisor de cinco decimales. Este fue un proceso muy engorroso.

Por ello, se desarrolló un proceso llamado racionalización del denominador. Una fracción con un radical en el denominador se convierte en una fracción equivalente cuyo denominador es un entero. Este proceso todavía se usa hoy en día y también es útil en otras áreas de las matemáticas.

Definición: Racionalizar el denominador

El proceso de convertir una fracción con un radical en el denominador a una fracción equivalente cuyo denominador es un entero se llama racionalizar el denominador.

Las raíces cuadradas de números que no son cuadrados perfectos son números irracionales. Cuando racionalizamos el denominador, escribimos una fracción equivalente con un número racional en el denominador.

Veamos un ejemplo numérico.

$$\begin{array}{ll} {\text{Suppose we need an approximate value for the fraction.}}&{\frac{1}{\sqrt{2}}}\\ {\text{A five decimal place approximation to} \sqrt{2} \text{is} 1.41421}&{\frac{1}{1.41421}}\\ {\text{Without a calculator, would you want to do this division?}}&{1.41421) \overline{1.0}}\\ \nonumber \end{array}$$

Pero podemos encontrar una fracción equivalente a$\frac{1}{\sqrt{2}}$ multiplicando el numerador y el denominador por$\sqrt{2}$.

Ahora si necesitamos un valor aproximado, dividimos$2) \overline{1.41421}$. Esto es mucho más fácil.

A pesar de que tenemos calculadoras disponibles en casi todas partes, todavía hay que racionalizar una fracción con un radical en el denominador. No se considera simplificado si el denominador contiene una raíz cuadrada.

De igual manera, una raíz cuadrada no se considera simplificada si el radicando contiene una fracción.

Definición: RAÍCES CUADRADAS SIM

Una raíz cuadrada se considera simplificada si hay

• no hay factores cuadrados perfectos en el radicando
• no hay fracciones en el radicando
• sin raíces cuadradas en el denominador de una fracción

Para racionalizar un denominador, utilizamos la propiedad que$(\sqrt{a})^2=a$. If we square an irrational square root, we get a rational number.

Utilizaremos esta propiedad para racionalizar el denominador en el siguiente ejemplo.

Ejemplo$\PageIndex{19}$

Simplificar:$\frac{4}{\sqrt{3}}$.

Contestar

Para quitar la raíz cuadrada del denominador, la multiplicamos por sí misma. Para mantener las fracciones equivalentes, multiplicamos tanto el numerador como el denominador por el mismo factor.

	$\frac{4}{\sqrt{3}}$
Multiplica tanto el numerador como el denominador por$\sqrt{3}$	$\frac{4·\sqrt{3}}{\sqrt{3}·\sqrt{3}}$
Simplificar.	$\frac{4\sqrt{3}}{3}$

Ejemplo$\PageIndex{20}$

Simplificar:$\frac{5}{\sqrt{3}}$.

Contestar

$\frac{5\sqrt{3}}{3}$

Ejemplo$\PageIndex{21}$

Simplificar:$\frac{6}{\sqrt{5}}$.

Contestar

$\frac{6\sqrt{5}}{5}$

Ejemplo$\PageIndex{22}$

Simplificar:$−\frac{8}{3\sqrt{6}}$

Contestar

Para quitar la raíz cuadrada del denominador, la multiplicamos por sí misma. Para mantener las fracciones equivalentes, multiplicamos tanto el numerador como el denominador por$\sqrt{6}$.

Multiplica tanto el numerador como el denominador por$\sqrt{6}$.
Simplificar.
Eliminar factores comunes.
Simplificar.

Ejemplo$\PageIndex{23}$

Simplificar:$\frac{5}{2\sqrt{5}}$.

Contestar

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

Ejemplo$\PageIndex{24}$

Simplificar:$−\frac{9}{4\sqrt{3}}$.

Contestar

$−\frac{3\sqrt{3}}{4}$

Siempre simplifica primero el radical en el denominador, antes de racionalizarlo. De esta manera los números se mantienen más pequeños y más fáciles de trabajar.

Ejemplo$\PageIndex{25}$

Simplificar:$\sqrt{\frac{5}{12}}$.

Contestar

La fracción no es un cuadrado perfecto, así que reescribe usando la Propiedad Cociente.
Simplifica el denominador.
Racionalizar el denominador.
Simplificar.
Simplificar.

Ejemplo$\PageIndex{26}$

Simplificar:$\sqrt{\frac{7}{18}}$.

Contestar

$\frac{\sqrt{14}}{6}$

Ejemplo$\PageIndex{27}$

Simplificar:$\sqrt{\frac{3}{32}}$.

Contestar

$\frac{\sqrt{6}}{8}$

Ejemplo$\PageIndex{28}$

Simplificar:$\sqrt{\frac{11}{28}}$

Contestar

Reescribir usando la Propiedad Cociente.
Simplifica el denominador.
Racionalizar el denominador.
Simplificar.
Simplificar.

Ejemplo$\PageIndex{29}$

Simplificar:$\sqrt{\frac{3}{27}}$.

Contestar

$\frac{1}{3}$

Ejemplo$\PageIndex{30}$

Simplificar:$\sqrt{\frac{10}{50}}$

Contestar

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

Racionalizar un denominador de dos plazos

Cuando el denominador de una fracción es una suma o diferencia con raíces cuadradas, utilizamos el patrón Producto de Conjugados para racionalizar el denominador.

$$\begin{array}{ll} {(a−b)(a+b)}&{(2−\sqrt{5})(2+\sqrt{5})}\\ {a^2−b^2}&{2^2−(\sqrt{5})^2}\\ {}&{4−5}\\ {}&{−1}\\ \nonumber \end{array}$$

Cuando multiplicamos un binomio que incluye una raíz cuadrada por su conjugado, el producto no tiene raíces cuadradas.

Ejemplo$\PageIndex{31}$

Simplificar:$\frac{4}{4+\sqrt{2}}$.

Contestar

Multiplique el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.
Multiplicar los conjugados en el denominador.
Simplifica el denominador.
Simplifica el denominador.
Eliminar factores comunes del numerador y denominador.
Dejamos el numerador en forma factorizada para que sea más fácil buscar factores comunes después de haber simplificado el denominador.

Ejemplo$\PageIndex{32}$

Simplificar:$\frac{2}{2+\sqrt{3}}$.

Contestar

$\frac{2(2−\sqrt{3})}{1}$

Ejemplo$\PageIndex{33}$

Simplificar:$\frac{5}{5+\sqrt{3}}$.

Contestar

$\frac{5(5−\sqrt{3})}{22}$

Ejemplo$\PageIndex{34}$

Simplificar:$\frac{5}{2−\sqrt{3}}$.

Contestar

Multiplique el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.
Multiplicar los conjugados en el denominador.
Simplifica el denominador.
Simplifica el denominador.
Simplificar.

Ejemplo$\PageIndex{35}$

Simplificar:$\frac{3}{1−\sqrt{5}}$.

Contestar

$−\frac{3(1+\sqrt{5})}{4}$

Ejemplo$\PageIndex{36}$

Simplificar:$\frac{2}{4−\sqrt{6}}$.

Contestar

$\frac{4+\sqrt{6}}{5}$

Ejemplo$\PageIndex{37}$

Simplificar:$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{u}−\sqrt{6}}$.

Contestar

Multiplique el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.
Multiplicar los conjugados en el denominador.
Simplifica el denominador.

Ejemplo$\PageIndex{38}$

Simplificar:$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}$.

Contestar

$\frac{\sqrt{5}(\sqrt{x}−\sqrt{2})}{x−2}$

Ejemplo$\PageIndex{39}$

Simplificar:$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{y}−\sqrt{3}}$.

Contestar

$\frac{\sqrt{10}(\sqrt{y}+\sqrt{3})}{y−3}$

Ejemplo$\PageIndex{40}$

Simplificar:$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{7}}{\sqrt{x}−\sqrt{7}}$.

Contestar

Multiplique el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.
Multiplicar los conjugados en el denominador.
Simplifica el denominador.
No cuadramos el numerador. En forma factorizada, podemos ver que no hay factores comunes que eliminar del numerador y denominador.

Ejemplo$\PageIndex{41}$

Simplificar:$\frac{\sqrt{p}+\sqrt{2}}{\sqrt{p}−\sqrt{2}}$.

Contestar

$\frac{(\sqrt{p}+\sqrt{2})^2}{p−2}$

Ejemplo$\PageIndex{42}$

Simplificar:$\frac{\sqrt{q}−\sqrt{10}}{\sqrt{q}+\sqrt{10}}$.

Contestar

$\frac{(\sqrt{q}−\sqrt{10})^2}{q−10}$

Acceda a este recurso en línea para obtener instrucción adicional y práctica con división y racionalización.

• Dividir y racionalizar

Conceptos clave

• Propiedad Cociente de Raíces Cuadradas
  • Si a, b son números reales no negativos y$b \ne 0$, entonces

    $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$y$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$

• Raíces cuadradas simplificadas
  Una raíz cuadrada se considera simplificada si hay
  • no hay factores cuadrados perfectos en el radicando
  • no hay fracciones en el radicando
  • sin raíces cuadradas en el denominador de una fracción

Glosario

racionalizar el denominador

El proceso de convertir una fracción con un radical en el denominador a una fracción equivalente cuyo denominador es un entero se llama racionalizar el denominador.