9.7: Raíces superiores
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- Simplifica expresiones con raíces superiores
- Utilice la propiedad Product para simplificar expresiones con raíces más altas
- Utilice la propiedad Cocient para simplificar expresiones con raíces más altas
- Sumar y restar raíces superiores
- Simplificar:\(y^{5}y^{4}\).
Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 6.2.7. - Simplificar:\((n^2)^6\).
Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 6.2.19. - Simplificar:\(\frac{x^8}{x^3}\).
Si te perdiste este problema, revisa el Ejemplo 6.5.1.
Simplifique las expresiones con raíces superiores
Hasta ahora, en este capítulo hemos trabajado con cuadrados y raíces cuadradas. Ahora ampliaremos nuestro trabajo para incluir poderes superiores y raíces superiores.
Revisemos un poco de vocabulario primero.
\[\begin{array}{cc} {}&{}\\ {\textbf{We write:}}&{\textbf{We say:}}\\ {n^2}&{\text{n squared}}\\ {n^3}&{\text{n cubed}}\\ {n^4}&{\text{n to the fourth}}\\ {n^5}&{\text{n to the fifth}}\\ \nonumber \end{array}\]
Los términos 'cuadrado' y 'cubo' provienen de las fórmulas para área de un cuadrado y volumen de un cubo.
Será útil tener una tabla de las potencias de los enteros de −5to5. Ver Figura\(\PageIdnex{1}\).
Observe los signos en la Figura\(\PageIndex{1}\). Todos los poderes de los números positivos son positivos, claro. Pero cuando tenemos un número negativo, los poderes pares son positivos y los impares son negativos. Copiaremos la fila con los poderes de −2 a continuación para ayudarte a ver esto.
Anteriormente en este capítulo definimos la raíz cuadrada de un número.
Si\(n^2=m\), entonces n es una raíz cuadrada de m.
Y hemos utilizado la notación\(\sqrt{m}\) para denotar la raíz cuadrada principal. Así que\(\sqrt{m} \ge 0\) siempre.
Ahora extenderemos la definición a raíces superiores.
Si\(b^n=a\), entonces b es una raíz n ésima de un número a.
La raíz principal n th de a está escrita\(\sqrt[n]{a}=b\)
n se llama el índice del radical.
No escribimos el índice para una raíz cuadrada. Al igual que usamos la palabra 'cubos' para\(b^3\), usamos el término 'raíz cúbica' para\(\sqrt[3]{a}\).
Nos referimos\(\PageIndex{1}\) a Figura para ayudarnos a encontrar raíces superiores.
\[\begin{array}{cc} {4^3=64}&{\sqrt[3]{64}=4}\\ {3^4=81}&{\sqrt[4]{81}=3}\\ {(−2)^5=−32}&{\sqrt[5]{−32}=−2}\\ \nonumber \end{array}\]
¿Podríamos tener una raíz par de un número negativo? No. Sabemos que la raíz cuadrada de un número negativo no es un número real. Lo mismo es cierto para cualquier raíz par. Incluso las raíces de los números negativos no son números reales. Las raíces impares de números negativos son números reales.
Cuando n es un número par y
- \(a\ge 0\), entonces\(\sqrt[n]{a}\) es un número real
- \(a < 0\), entonces no\(\sqrt[n]{a}\) es un número real
Cuando n es un número impar,\(\sqrt[n]{a}\) es un número real para todos los valores de a.
Simplificar:
- \(\sqrt[3]{8}\)
- \(\sqrt[4]{81}\)
- \(\sqrt[5]{32}\).
- Responder
-
1. \(\sqrt[3]{8}\) Ya que\((2)^3=8\). 2 2. \(\sqrt[4]{81}\) Ya que\((3)^4=81\). 3 3. \(\sqrt[5]{32}\) Ya que\((2)^5=32\). 2
Simplificar:
- \(\sqrt[3]{27}\)
- \(\sqrt[4]{256}\)
- \(\sqrt[5]{243}\).
- Responder
-
- 3
- 4
- 3
Simplificar:
- \(\sqrt[3]{1000}\)
- \(\sqrt[4]{16}\)
- \(\sqrt[5]{32}\).
- Responder
-
- 10
- 2
- 2
Simplificar:
- \(\sqrt[3]{−64}\)
- \(\sqrt[4]{−16}\)
- \(\sqrt[5]{−243}\).
- Responder
-
1. \(\sqrt[3]{−64}\) Ya que\((−4)^3=−64\). −4 2. \(\sqrt[4]{−16}\) Piensa,\((?)^4=−16\) .Ningún número real elevado a la cuarta potencia es positivo. No es un número real. 3. \(\sqrt[5]{−243}\) Ya que\((−3)^5=−243\). −3
Simplificar:
- \(\sqrt[3]{−125}\)
- \(\sqrt[4]{−16}\)
- \(\sqrt[5]{−32}\).
- Responder
-
- −5
- no real
- −2
Simplificar:
- \(\sqrt[3]{−216}\)
- \(\sqrt[4]{−81}\)
- \(\sqrt[5]{−1024}\).
- Responder
-
- −6
- no real
- −4
La raíz impar de un número puede ser positiva o negativa. Eso lo hemos visto\(\sqrt[3]{−64}=−4\).
Pero la raíz par de un número no negativo siempre es no negativa, porque tomamos la raíz n th principal.
Supongamos que empezamos con a=−5.
\[\begin{array}{cc} {(−5)^4=625}&{\sqrt[4]{625}=5}\\ \nonumber \end{array}\]
¿Cómo podemos asegurarnos de que la cuarta raíz de −5 elevada a la cuarta potencia,\((−5)^4\) sea 5? Veremos en la siguiente propiedad.
Para cualquier entero\(n \ge 2\),
\[\begin{array}{cc} {\text{when n is odd}}&{\sqrt[n]{a^n}=a}\\ {\text{when n is even}}&{\sqrt[n]{a^n}=|a|}\\ \nonumber \end{array}\]
Debemos usar los signos de valor absoluto cuando tomamos una raíz par de una expresión con una variable en el radical.
Simplificar:
- \(\sqrt{x^2}\)
- \(\sqrt[3]{n^3}\)
- \(\sqrt[4]{p^4}\)
- \(\sqrt[5]{y^5}\).
- Responder
-
Usamos el valor absoluto para asegurarnos de obtener la raíz positiva.
1. \(\sqrt{x^2}\) Desde\((x)^2=x^2\) y queremos la raíz positiva. |x| 2. \(\sqrt[3]{n^3}\) Ya que\((n)^3=n^3\). Es una raíz impar por lo que no hay necesidad de un signo de valor absoluto. n 3. \(\sqrt[4]{p^4}\) Desde\((p)^4=p^4\) y queremos la raíz positiva. |p| 4. \(\sqrt[5]{y^5}\) Ya que\((y)^5=y^5\). Es una raíz impar por lo que no hay necesidad de un signo de valor absoluto. y
Simplificar:
- \(\sqrt{b^2}\)
- \(\sqrt[3]{w^3}\)
- \(\sqrt[4]{m^4}\)
- \(\sqrt[5]{q^5}\).
- Responder
-
- |b|
- w
- |m|
- q
Simplificar:
- \(\sqrt{y^2}\)
- \(\sqrt[3]{p^3}\)
- \(\sqrt[4]{z^4}\)
- \(\sqrt[5]{q^5}\)
- Responder
-
- |y|
- p
- |z|
- q
Simplificar:
- \(\sqrt[3]{y^{18}}\)
- \(\sqrt[4]{z^8}\).
- Responder
-
1. \(\sqrt[3]{y^{18}}\) Ya que\((y^6)^3=y^18\). \(\sqrt[3]{(y^6)^3}\) \(y^6\) 2. \(\sqrt[4]{z^8}\) Ya que\((z^2)^4=z^8\). \(\sqrt[4]{(z^2)^4}\) Ya que\(z^2\) es positivo, no necesitamos un signo de valor absoluto. \(z^2\)
Simplificar:
- \(\sqrt[4]{u^{12}}\)
- \(\sqrt[3]{v^{15}}\).
- Responder
-
- \(u^3\)
- \(v^5\)
Simplificar:
- \(\sqrt[5]{c^{20}}\)
- \(\sqrt[6]{d^{24}}\).
- Responder
-
- \(c^4\)
- \(d^4\)
Simplificar:
- \(\sqrt[3]{64p^6}\)
- \(\sqrt[4]{16q^{12}}\).
- Responder
-
1. \(\sqrt[3]{64p^6}\) Reescribir\(64p^6\) como\((4p^2)^3\). \(\sqrt[3]{(4p^2)^3}\) Toma la raíz cubicada. \(4p^2\) 2. \(\sqrt[4]{16q^{12}}\) Reescribir el radicando como un cuarto poder. \(\sqrt[4]{(2q^3)^4}\) Toma la cuarta raíz. \(2|q^3|\)
Simplificar:
- \(\sqrt[3]{27x^{27}}\)
- \(\sqrt[4]{81q^{28}}\).
- Responder
-
- \(3x^9\)
- \(3∣q^7∣\)
Simplificar:
- \(\sqrt[3]{125p^9}\)
- \(\sqrt[5]{243q^{25}}\)
- Responder
-
- \(5p^3\)
- \(3q^5\)
Utilice la propiedad Product para simplificar expresiones con raíces más altas
Simplificaremos las expresiones con raíces superiores de la misma manera que simplificamos las expresiones con raíces cuadradas. Una raíz n th se considera simplificada si no tiene factores de\(m^n\).
\(\sqrt[n]{a}\)se considera simplificado si a no tiene factores de\(m^n\).
Generalizaremos la Propiedad del Producto de Raíces Cuadradas para incluir cualquier raíz entera\(n \ge 2\).
\(\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}·\sqrt[n]{b}\)y\(\sqrt[n]{a}·\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\)
cuando\(\sqrt[n]{a}\) y\(\sqrt[n]{b}\) son números reales y para cualquier entero\(n \ge 2\)
Simplificar:
- \(\sqrt[3]{x^4}\)
- \(\sqrt[4]{x^7}\).
- Responder
-
1.
\(\sqrt[3]{x^4}\) Reescribe el radicand como un producto usando el factor cubo perfecto más grande. \(\sqrt[3]{x^3·x}\) Reescribir el radical como producto de dos radicales. \(\sqrt[3]{x^3}·\sqrt[3]{x}\) Simplificar. \(x\sqrt[3]{x}\) 2. \(\sqrt[4]{x^7}\) Reescribe el radicando como producto usando el cuarto factor de potencia perfecto más grande. \(\sqrt[4]{x^4·x^3}\) Reescribir el radical como producto de dos radicales. \(\sqrt[4]{x^4}·\sqrt[4]{x^3}\) Simplificar. \(|x|\sqrt[4]{x^3}\)
Simplificar:
- \(\sqrt[4]{y^6}\)
- \(\sqrt[3]{z^5}\).
- Responder
-
- \(|y∣\sqrt[4]{y^2}\)
- \(z\sqrt[3]{z^2}\)
Simplificar:
- \(\sqrt[5]{p^8}\)
- \(\sqrt[6]{q^{13}}\).
- Responder
-
- \(p\sqrt[5]{p^3}\)
- \( q^2\sqrt[6]{q}\)
Simplificar:
- \(\sqrt[3]{16}\)
- \(\sqrt[4]{243}\).
- Responder
-
1. \(\sqrt[3]{16}\) \(\sqrt[3]{2^4}\) Reescribe el radicand como un producto usando el factor cubo perfecto más grande. \(\sqrt[3]{2^3·2}\) Reescribir el radical como producto de dos radicales. \(\sqrt[3]{2^3}·\sqrt[3]{2}\) Simplificar. \(2\sqrt[3]{2}\) 2. \(\sqrt[4]{243}\) \(\sqrt[4]{3^5}\) Reescribe el radicando como producto usando el cuarto factor de potencia perfecto más grande. \(\sqrt[4]{3^4·3}\) Reescribir el radical como producto de dos radicales. \(\sqrt[4]{3^4}·\sqrt[4]{3}\) Simplificar. \(3\sqrt[4]{3}\)
Simplificar:
- \(\sqrt[3]{81}\)
- \(\sqrt[4]{64}\).
- Responder
-
- \(3\sqrt[3]{3}\)
- \(2\sqrt[4]{4}\)
Simplificar:
- \(\sqrt[3]{625}\)
- \(\sqrt[4]{729}\).
- Responder
-
- \(5\sqrt[3]{5}\)
- \(3\sqrt[4]{9}\)
No olvides usar los signos de valor absoluto al tomar una raíz par de una expresión con una variable en el radical.
Simplificar:
- \(\sqrt[3]{24x^7}\)
- \(\sqrt[4]{80y^{14}}\).
- Responder
-
1. \(\sqrt[3]{24x^7}\) Reescribe el radicando como un producto usando factores de cubo perfectos. \(\sqrt[3]{2^{3}x^{6}·3x}\) Reescribir el radical como producto de dos radicales. \(\sqrt[3]{2^{3}x^{6}}·\sqrt[3]{3x}\) Reescribe el primer radicando como\((2x^2)^3\) \(\sqrt[3]{(2x^{2})^3}·\sqrt[3]{3x}\) Simplificar. \(2x^2\sqrt[3]{3x}\) 2. \(\sqrt[4]{80y^{14}}\) Reescribe el radicando como producto usando cuatro factores de potencia perfectos. \(\sqrt[4]{2^{4}y^{12}·5y^2}\) Reescribir el radical como producto de dos radicales. \(\sqrt[4]{2^{4}y^{12}}·\sqrt[4]{5y^2}\) Reescribe el primer radicando como\((2y^3)^4\) \(\sqrt[4]{(2y^3)^4}·\sqrt[4]{5y^2}\) Simplificar. \(2|y^3|\sqrt[4]{5y^2}\)
Simplificar:
- \(\sqrt[3]{54p^[10}]\)
- \(\sqrt[4]{64q^{10}}\).
- Responder
-
- \(3p^3\sqrt[3]{2p}\)
- \(2q^2\sqrt[4]{4q^2}\)
Simplificar:
- \(\sqrt[3]{128m^{11}}\)
- \(\sqrt[4]{162n^7}\).
- Responder
-
- \(4m^3\sqrt[3]{2m^2}\)
- \(3|n|\sqrt[4]{2n^3}\)
Simplificar:
- \(\sqrt[3]{−27}\)
- \(\sqrt[4]{−16}\).
- Responder
-
1. \(\sqrt[3]{−27}\) Reescribe el radicando como un producto usando factores de cubo perfectos. \(\sqrt[3]{(−3)^3}\) Toma la raíz cubicada. −3 2. \(\sqrt[4]{−16}\) No hay número real n donde\(n^4=−16\). No es un número real.
Simplificar:
- \(\sqrt[3]{−108}\)
- \(\sqrt[4]{−48}\).
- Responder
-
- \(−3\sqrt[3]{4}\)
- no real
Simplificar:
- \(\sqrt[3]{−625}\)
- \(\sqrt[4]{−324}\).
- Responder
-
- \(−5\sqrt[3]{5}\)
- no real
Utilice la propiedad Cocient para simplificar expresiones con raíces más altas
Podemos simplificar las raíces más altas con cocientes de la misma manera que simplificamos las raíces cuadradas. Primero simplificamos cualquier fracción dentro del radical.
Simplificar:
- \(\sqrt[3]{\frac{a^8}{a^5}}\)
- \(\sqrt[4]{\frac{a^{10}}{a^2}}\).
- Responder
-
1.
\(\sqrt[3]{\frac{a^8}{a^5}}\) Simplifique primero la fracción bajo el radical. \(\sqrt[3]{a^3}\) Simplificar. a 2. \(\sqrt[4]{\frac{a^{10}}{a^2}}\) Simplifique primero la fracción bajo el radical. \(\sqrt[4]{a^8}\) Reescribe el radicando usando cuatro factores de potencia perfectos. \(\sqrt[4]{(a^2)^4}\) Simplificar. \(a^2\)
Simplificar:
- \(\sqrt[4]{\frac{x^7}{x^3}}\)
- \(\sqrt[4]{\frac{y^{17}}{y^5}}\).
- Responder
-
- |x|
- \(y^3\)
Simplificar:
- \(\sqrt[3]{\frac{m^{13}}{m^7}}\)
- \(\sqrt[5]{\frac{n^{12}}{n^2}}\).
- Responder
-
- \(m^2\)
- \(n^2\)
Anteriormente, se utilizó la Propiedad Cociente 'a la reversa' para simplificar las raíces cuadradas. Ahora generalizaremos la fórmula para incluir raíces superiores.
\(\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\)y\(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\)
cuando\(\sqrt[n]{a}\) and \(\sqrt[n]{b}\) are real numbers, \(b \ne 0\), and for any integer \(n \ge 2\)
Simplificar:
- \(\frac{\sqrt[3]{−108}}{\sqrt[3]{2}}\)
- \(\frac{\sqrt[4]{96x^7}}{\sqrt[4]{3x^2}}\)
- Responder
-
1. \(\frac{\sqrt[3]{−108}}{\sqrt[3]{2}}\) Ni radicand es un cubo perfecto, así que usa la Propiedad Cociente para escribir como un radical. \(\sqrt[3]{\frac{−108}{2}}\) Simplifica la fracción bajo el radical. \(\sqrt[3]{−54}\) Reescribe el radicando como un producto usando factores de cubo perfectos. \(\sqrt[3]{(−3)^3·2}\) Reescribir el radical como producto de dos radicales. \(\sqrt[3]{(−3)^3}·\sqrt[3]{2}\) Simplificar. \(−3\sqrt[3]{2}\) 2. \(\frac{\sqrt[4]{96x^7}}{\sqrt[4]{3x^2}}\) Ni radicando es un cuarto poder perfecto, así que usa la Propiedad Cociente para escribir como un solo radical \(\sqrt[4]{\frac{96x^7}{3x^2}}\) Simplifica la fracción bajo el radical. \(\sqrt[4]{32x^5}\) Reescribe el radicando como producto usando cuatro factores de potencia perfectos. \(\sqrt[4]{2^{4}x^4·2x}\) Reescribir el radical como producto de dos radicales. \(\sqrt[4]{(2x)^4}·\sqrt[4]{2x}\) Simplificar. \(2|x|\sqrt[4]{2x}\)
Simplificar:
- \(\frac{\sqrt[3]{−532}}{\sqrt[3]{2}}\)
- \(\frac{\sqrt[4]{486m^{11}}}{\sqrt[4]{3m^5}}\)
- Responder
-
- no real
- \(3|m|\sqrt[4]{2m^2}\)
Simplificar:
- \(\frac{\sqrt[3]{−192}}{\sqrt[3]{3}}\)
- \(\frac{\sqrt[4]{324n^7}}{\sqrt[4]{2n^3}}\).
- Responder
-
- −4
- \(3|n|\sqrt[4]{2}\)
Si la fracción dentro del radical no puede simplificarse, utilizamos la primera forma de la Propiedad Cociente para reescribir la expresión como el cociente de dos radicales.
Simplificar:
- \(\sqrt[3]{\frac{24x^7}{y^3}}\)
- \(\sqrt[4]{\frac{48x^{10}}{y^8}}\).
- Responder
-
1. \(\sqrt[3]{\frac{24x^7}{y^3}}\) La fracción en el radicando no puede simplificarse. Utilice la Propiedad Cociente para escribir como dos radicales. \(\frac{\sqrt[3]{24x^7}}{\sqrt[3]{y^3}}\) Reescribe cada radicando como un producto usando factores de cubo perfectos. \(\frac{\sqrt[3]{8x^6·3x}}{\sqrt[3]{y^3}}\) Reescribe el numerador como producto de dos radicales. \(\frac{\sqrt[3]{(2x^2)^3}·\sqrt[3]{3x}}{\sqrt[3]{y^3}}\) Simplificar. \(\frac{2x^2\sqrt[3]{3x}}{y}\) 2. \(\sqrt[4]{\frac{48x^{10}}{y^8}}\) La fracción en el radicando no puede simplificarse. Utilice la Propiedad Cociente para escribir como dos radicales. \(\frac{\sqrt[4]{48x^{10}}}{\sqrt[4]{y^8}}\) Reescribe cada radicando como un producto usando factores de cubo perfectos. \(\frac{\sqrt[4]{16x^8·3x^2}}{\sqrt[4]{y^8}}\) Reescribe el numerador como producto de dos radicales. \(\frac{\sqrt[4]{(2x^2)^4}·\sqrt[4]{3x^2}}{\sqrt[4]{(y^2)^4}}\) Simplificar. \(\frac{2x^2\sqrt[4]{3x^2}}{y^2}\)
Simplificar:
- \(\sqrt[3]{\frac{108c^{10}}{d^6}}\)
- \(\sqrt[4]{\frac{80x^{10}}{y^5}}\).
- Responder
-
- \(\frac{3c^3\sqrt[3]{4c}}{d^2}\)
- \(\frac{x^2}{∣y∣}\sqrt[4]{\frac{80x^2}{y}}\)
Simplificar:
- \(\sqrt[3]{\frac{40r^3}{s}}\)
- \(\sqrt[4]{\frac{162m^{14}}{n^{12}}}\)
- Responder
-
- \(r\sqrt[3]{\frac{40}{s}}\)
- \(\frac{3m^3\sqrt[4]{2m^2}}{∣n^3∣}\)
Sumar y restar raíces superiores
Podemos sumar y restar raíces superiores como agregamos y restamos raíces cuadradas. Primero proporcionamos una definición formal de radicales similares.
Los radicales con el mismo índice y el mismo radicando se llaman radicales similares.
Al igual que los radicales tienen el mismo índice y el mismo radicando.
- \(9\sqrt[4]{42x}\)y\(−2\sqrt[4]{42x}\) son como radicales.
- \(5\sqrt[3]{125x}\)y no\(6\sqrt[3]{125y}\) son como radicales. Los radicandos son diferentes.
- \(2\sqrt[5]{1000q}\)y no\(−4\sqrt[4]{1000q}\) son como radicales. Los índices son diferentes.
Sumamos y restamos como radicales de la misma manera que sumamos y restamos términos similares. Podemos agregar\(9\sqrt[4]{42x}+(−2\sqrt[4]{42x})\) y el resultado es\(7\sqrt[4]{42x}\).
Simplificar:
- \(\sqrt[3]{4x}+\sqrt[3]{4x}\)
- \(4\sqrt[4]{8}−2\sqrt[4]{8}\)
- Responder
-
1. \(\sqrt[3]{4x}+\sqrt[3]{4x}\) Los radicales son como, entonces sumamos los coeficientes \(2\sqrt[3]{4x}\) 2. \(4\sqrt[4]{8}−2\sqrt[4]{8}\) Los radicales son como, así restamos los coeficientes. \(2\sqrt[4]{8}\)
Simplificar:
- \(\sqrt[5]{3x}+\sqrt[5]{3x}\)
- \(3\sqrt[3]{9}−\sqrt[3]{9}\)
- Responder
-
- \(2\sqrt[5]{3x}\)
- \(2\sqrt[3]{9}\)
Simplificar:
- \(\sqrt[4]{10y}+\sqrt[4]{10y}\)
- \(5\sqrt[6]{32}−3\sqrt[6]{32}\).
- Responder
-
- \(2\sqrt[4]{10y}\)
- \(2\sqrt[6]{32}\)
Cuando una expresión no parece tener como radicales, primero simplificaremos cada radical. A veces esto lleva a una expresión con radicales similares.
Simplificar:
- \(\sqrt[3]{54}−\sqrt[3]{16}\)
- \(\sqrt[4]{48}+\sqrt[4]{243}\).
- Responder
-
1. \(\sqrt[3]{54}−\sqrt[3]{16}\) Reescribe cada radicando usando factores de cubo perfectos. \(\sqrt[3]{27}·\sqrt[3]{2}−\sqrt[3]{8}·\sqrt[3]{2}\) Reescribe los cubos perfectos. \(\sqrt[3]{(3)^3}·\sqrt[3]{2}−\sqrt[3]{(2)^3}·\sqrt[3]{2}\) Simplifica los radicales cuando sea posible. \(3\sqrt[3]{2}−2\sqrt[3]{2}\) Combina como radicales. \(\sqrt[3]{2}\) 2. \(\sqrt[4]{48}+\sqrt[4]{243}\) Reescribir usando cuatro factores de potencia perfectos. \(\sqrt[4]{16}·\sqrt[4]{3}+\sqrt[4]{81}·\sqrt[4]{3}\) Reescribe cada radicando como un producto usando factores de cubo perfectos. \(\sqrt[4]{(2)^4}·\sqrt[4]{3}+\sqrt[4]{(3)^4}·\sqrt[4]{3}\) Reescribe el numerador como producto de dos radicales. \(2\sqrt[4]{3}+3\sqrt[4]{3}\) Simplificar. \(5\sqrt[4]{3}\)
Simplificar:
- \(\sqrt[3]{192}−\sqrt[3]{81}\)
- \(\sqrt[4]{32}+\sqrt[4]{512}\).
- Contestar
-
- \(\sqrt[3]{3}\)
- \(6\sqrt[4]{2}\)
Simplificar:
- \(\sqrt[3]{108}−\sqrt[3]{250}\)
- \(\sqrt[5]{64}+\sqrt[5]{486}\).
- Contestar
-
- \(−\sqrt[3]{2}\)
- \(5\sqrt[5]{2}\)
Simplificar:
- \(\sqrt[3]{24x^4}−\sqrt[3]{−81x^7}\)
- \(\sqrt[4]{162y^9}+\sqrt[4]{512y^5}\).
- Contestar
-
1. \(\sqrt[3]{24x^4}−\sqrt[3]{−81x^7}\) Reescribe cada radicando usando factores de cubo perfectos. \(\sqrt[3]{8x^3}·\sqrt[3]{3x}−\sqrt[3]{−27x^6}·\sqrt[3]{3x}\) Reescribe los cubos perfectos. \(\sqrt[3]{(2x)^3}·\sqrt[3]{3x}−\sqrt[3]{(−3x^2)^3}·\sqrt[3]{3x}\) Simplifica los radicales cuando sea posible. \(2x\sqrt[3]{3x}−(−3x^2\sqrt[3]{3x})\) 2. \(\sqrt[4]{162y^9}+\sqrt[4]{516y^5}\) Reescribir usando cuatro factores de potencia perfectos. \(\sqrt[4]{81y^8}·\sqrt[4]{2y}+\sqrt[4]{256y^4}·\sqrt[4]{2y}\) Reescribe cada radicando como un producto usando factores de cubo perfectos. \(\sqrt[4]{(3y^2)^4}·\sqrt[4]{2y}+\sqrt[4]{(4y)^4}·\sqrt[4]{2y}\) Reescribe el numerador como producto de dos radicales. \(3y^2\sqrt[4]{2y}+4|y|\sqrt[4]{2y}\)
Simplificar:
- \(\sqrt[3]{32y^5}−\sqrt[3]{−108y^8}\)
- \(\sqrt[4]{243r^{11}}+\sqrt[4]{768r^{10}}\).
- Contestar
-
- \(2y\sqrt[3]{4y^2}+3y^2\sqrt[3]{4y^2}\)
- \(3r^2\sqrt[4]{3r^3}+4r^2\sqrt[4]{3r^2}\)
Simplificar:
- \(\sqrt[3]{40z^7}−\sqrt[3]{−135z^4}\)
- \(\sqrt[4]{80s^{13}}+\sqrt[4]{1280s^6}\).
- Contestar
-
- \(2z^2\sqrt[3]{5z}+3z^5\sqrt[3]{5z}\)
- \(2∣s^3∣\sqrt[4]{5s}+4|s|\sqrt[4]{5s}\)
- Simplificar las raíces superiores
- Sumar/restar raíces con índices más altos
Conceptos clave
- Propiedades de
- \(\sqrt[n]{a}\)cuando n es un número par y
- \(a \ge 0\), entonces\(\sqrt[n]{a}\) es un número real
- \(a < 0\), entonces no\(\sqrt[n]{a}\) es un número real
- Cuando n es un número impar,\(\sqrt[n]{a}\) es un número real para todos los valores de a.
- Para cualquier entero\(n \ge 2\), cuando n es impar\(\sqrt[n]{a^n}=a\)
- Para cualquier entero\(n \ge 2\), cuando n es par\(\sqrt[n]{a^n}=|a|\)
- \(\sqrt[n]{a}\)se considera simplificado si a no tiene factores de\(m^n\).
- \(\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}·\sqrt[n]{b}\)y\(\sqrt[n]{a}·\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\)
- \(\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\)y\(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\)
- Para combinar como radicales, simplemente sumar o restar los coeficientes manteniendo el radical igual.
Glosario
- n th raíz de un número
- Si\(b^n=a\), entonces b es una raíz n th de a.
- raíz principal n th
- La raíz principal n th de a está escrita\(\sqrt[n]{a}\).
- índice
- \(\sqrt[n]{a}\)n se llama el índice del radical.
- como radicales
- Los radicales con el mismo índice y el mismo radicando se llaman radicales similares.