1.7: Sumando y restando expresiones racionales

Así como hacemos con las fracciones numéricas, necesitaremos tener denominadores comunes para sumar o restar fracciones algebraicas. Cuando\(\frac{1}{2}+\frac{1}{3},\) sumamos hacemos un denominador común de 6 para que podamos sumarlos juntos.
\ [
\ begin {alineado}
\ frac {1} {2} +\ frac {1} {3} &=\ frac {1} {2} *\ frac {3} {3} +\ frac {1} {3} *\ frac {2} {2}\
&=\ frac {3} {6} +\ frac {2} {6}\
&=\ frac {5} {6}
\ end {alineado}
\]
Porque el denominadores, 2 y\(3,\) son primos y no comparten ningún factor común, el denominador común es simplemente\(3 * 2=6 .\) Podemos ver un resultado similar al sumar fracciones algebraicas.

Ejemplo
Añadir las fracciones. Exprese su respuesta en los términos más bajos.
\ [
\ begin {alineado}
\ frac {2} {x} +\ frac {x} {x-3} &\
\ frac {2} {x} +\ frac {x} {x-3} &=\ frac {2} {x} *\ frac {x-3} {x-3} +\ frac {x} {x} {x-3} *\ frac {x}\\
&=\ frac {2 (x-3)} {x (x-3)} +\ frac {x * x} {x (x-3)}\\
&=\ frac {2 x-6+x^ {2}} {x (x-3)} =\ frac {x^ {2} +2 x-6} {x (x-3)}
\ final {alineado}
\]

Es importante tener en cuenta que en la resta, el signo negativo que representa la resta debe distribuirse a todos los términos en el segundo numerador.
Ejemplo
Restar las expresiones dadas. Exprese su respuesta en los términos más bajos.
\ [
\ begin {alineado}
\ frac {6} {x+1} -\ frac {x+5} {x-2}\
\ frac {6} {x+1} -\ frac {x+5} {x-2} &=\ frac {6} {x+1} *\ frac {x-2} {x-2} -\ frac {x+5} {x-2} *\ frac {x-2} x+1} {x+1}\\
&=\ frac {6 (x-2) - (x+5) (x+1)} {(x+1) (x-2)}\\
&=\ frac {6 x-12-\ left (x^ {2} +6 x+5\ right)} {(x+1) (x-2)}\\
&=\ frac {6 x-12-x^ {2} -6 x-5} {(x+1) (x-2)}\\
&=\ frac {-x^ {2} -17} {(x+1) (x-2)}
\ end {alineado}
\]
En otras situaciones, el pueden compartir un factor común. En este caso, podemos convertir uno de los denominadores en el otro:

Ejemplo
Añadir las fracciones dadas.
\(\frac{7}{x^{2}+8 x+15}+\frac{2}{x+3}\)

\ [
\ frac {7} {x^ {2} +8 x+15} +\ frac {2} {x+3} =\ frac {7} {(x+3) (x+5)} +\ frac {2} {x+3}
\]
Podemos\((x+3)\)\(x^{2}+8 x+15\) convertirnos en multiplicando por\((x+5)\)
\ [
\ begin {alineado}
\ frac {7} {(x+3) (x+5)} +\ frac {2} {x+3} &=\ frac {7} {(x+3) ( x+5)} +\ frac {2} {x+3} *\ frac {x+5} {x+5}\\
&=\ frac {7} {(x+3) (x+5)} +\ frac {2 (x+5)} {(x+3) (x+5)}\\
&=\ frac {7+2 x+10} {(x+3) (x+5)}\
&=\ frac {2 x+17} {(x+3) (x+5)}
\ end {alineado}
\]
A veces, la respuesta terminamos con no está en términos más bajos:

Ejemplo
Añadir las fracciones.
\ [
\ begin {alineado}
\ frac {x} {x+2} +\ frac {8} {x^ {2} +8 x+12} &\
\ frac {x} {x+2} +\ frac {8} {x^ {2} +8 x+12} &=\ frac {x} {x+2} +\ frac {8} {(x+2) (+6)}\\
&=\ frac {x} {x+2} *\ frac {x+6} {x+6} +\ frac {8} {(x+2) (x+6)}\\
&=\ frac {x (x +6)} {(x+2) (x+6)} +\ frac {8} {(x+2) (x+6)} =\ frac {x (x+6) +8} {(x+2) (x+6)}
\ final {alineado}
\]

\ [
\ frac {x (x+6) +8} {(x+2) (x+6)} =\ frac {x^ {2} +6 x+8} {(x+2) (x+6)}
\]
El numerador es factorizable:
\ [
\ begin {alineado}
\ frac {x^ {2} +6 x+8} {(x+2) (x+6)} &=\ frac {(x+2) (x+4)} {(x+2) (x+6)}\\
&=\ frac {\ cancel {(x+2)} (x+4)} {\ cancel {(x+2)} (x+6)}\\
&=\ frac {x+4} {x+6}
\ final {alineado}
\]

Sumar o restar las expresiones dadas.
1)\(\quad \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}\)
2)\(\quad \frac{3}{y-6}-\frac{1}{y}\)
3)\(\quad \frac{2}{x-3}+\frac{4}{x+3}\)
4)\(\quad \frac{3}{x+4}-\frac{4}{x-2}\)
5)\(\quad \frac{3}{k+2}-\frac{k-4}{k+5}\)
6)\(\quad \frac{a+1}{a}-\frac{a}{a+1}\)
7)\(\quad \frac{2 y}{y^{2}-25}-\frac{y}{y-5}\)
8)\(\quad \frac{x}{x^{2}-1}+\frac{4}{x+1}\)
9)\(\quad \frac{1}{x-3}+\frac{x}{x+1}\)
10)\(\quad \frac{9 y}{y-4}-\frac{y+1}{y+5}\)
Sumar o restar las expresiones dadas. Exprese sus respuestas en los términos más bajos.
11)\(\quad \frac{b}{b+1}-\frac{b+1}{2 b+2}\)
12)\(\quad \frac{4 x+1}{8 x-12}+\frac{x-3}{2 x-3}\)
13)\(\quad \frac{2}{a^{2}+4 a+3}+\frac{1}{a+3}\)
14)\(\quad \frac{1}{y+6}-\frac{4}{y^{2}+8 y+12}\)
15)\(\quad \frac{x+1}{2 x+4}-\frac{x^{2}}{2 x^{2}-8}\)
16)\(\quad \frac{x+1}{x+2}-\frac{x^{2}+1}{x^{2}-x-6}\)
17)\(\quad \frac{2 x}{x^{2}-3 x+2}+\frac{2 x}{x-1}-\frac{x}{x-2}\)
18)\(\quad \frac{3 x+3}{2 x^{2}-x-1}+\frac{1}{2 x+1}\)
19)\(\quad \frac{4 a}{a-2}-\frac{3 a}{a-3}+\frac{4 a}{a^{2}-5 a+6}\)
20)\(\quad \frac{2}{y-3}-\frac{8-4 y}{y^{2}-8 y+15}\)
21)\(\quad \frac{2 x}{x-1}+\frac{3 x}{x+1}-\frac{x+3}{x^{2}-1}\)
22)\(\quad \frac{a}{a-1}-\frac{2}{a+2}+\frac{3(a-2)}{a^{2}+a-2}\)
23)\(\quad \frac{x}{x-1}+\frac{x+7}{x^{2}-1}-\frac{x-2}{x+1}\)
24)\(\quad \frac{2 y+5}{y^{2}-16}-\frac{y-9}{y^{2}-y-12}\)