1.6: Multiplicar y dividir expresiones racionales

Reducción de expresiones racionales
Una expresión racional es simplemente una fracción algebraica, y nuestra primera consideración será reducir estas expresiones a términos más bajos de la misma manera que reducimos las fracciones numéricas a términos más bajos. Cuando reducimos\(\frac{6}{15}\) a\(\frac{2}{5}\) cancelando el factor común de tres, estamos eliminando un factor redundante de 1 en forma de\(\frac{3}{3}\)
\ [
\ begin {aligned}
\ frac {6} {15} &=\ frac {3 * 2} {3 * 5} =\ frac {3} {3} *\ frac {2} {5}\\
&=1 *\ frac {2 } {5}\\
&=\ frac {2} {5}
\ final {alineado}
\]

De igual manera, si hay un factor común que se puede factorizar a partir de una fracción algebraica, esto también se puede cancelar.
\ [
\ begin {alineado}
\ frac {21 x+14} {7 x+7} &=\ frac {7 (3 x+2)} {7 (x+1)}\\
&=\ frac {7} {7} *\ frac {3 x+2} {x+1}\\
&=1 *\ frac {3 x+2} {x+1}\\ &=\ frac {3 x+2} {x+1}\\ &=\ frac {3 x+2} {x+1}\\
&=\ frac {x+2} {x+1}
\ final {alineado}
\]
Es importante recordarle que solo los factores comunes pueden ser cancelados. Esto quiere decir que la primera prioridad en cada problema será identificar los factores del numerador y denominador para ver si comparten algún factor común.

Ejemplo
Reducir a los términos más bajos.
\ [
\ begin {alineado}
\ frac {x^ {2} +4 x-12} {x^ {2} -4}\\
&\ frac {x^ {2} +4 x-12} {x^ {2} -4} =\ frac {(x+6) (x-2)} {(x+2) (x-2)}\
&=\ frac {(x+6)\ {cancelar (x-2))}} {(x+2)\ cancel {(x-2)}}\\
&=\ frac {x+6} {x+2}
\ end { alineado}
\]
Observe que no podemos cancelar el 6 y el 2 en la respuesta final porque no son factores. Los signos más en el numerador y denominador nos impiden cancelar el 6 y el 2.

En los ejemplos anteriores, vimos que cancelar factores comunes en el numerador y denominador era en realidad un proceso de eliminar un factor redundante de\(1 .\) En el siguiente ejemplo, veremos una forma ligeramente diferente de cancelación.
Ejemplo
Reducir a los términos más bajos.
\ [
\ begin {aligned}
\ frac {16-x^ {2}} {x^ {2} +x-20}\
\ frac {16-x^ {2}} {x^ {2} +x-20} &=\ frac {(4+x) (4-x)} {(x+5) (x-4)}
\ end {alineado}
\]
En este problema, no hay factores comunes, pero podemos hacer algunas cancelaciones. Eso lo podemos ver\((4-x)\) y no\((x-4)\) son la misma expresión. En el primer binomio, el 4 es positivo y el\(x\) negativo, mientras que en el segundo binomio, el 4 es negativo y el\(x\) es positivo. Entonces, sabemos que\(\frac{4-x}{x-4} \neq 1 .\) Sin embargo, si factorizamos\(\mathrm{a}(-1)\) fuera del numerador, veremos un fenómeno interesante:
\ [
\ begin {aligned}
\ frac {4-x} {x-4} &=\ frac {-1 (-4+x)} {x-4}\\
&=\ frac {-1 (x-4)} {x-4}\\
&=-1 *\ frac {x-4} {x-4}\\
&=-1 * 1=-1
\ final {alineado}
\]

Por lo tanto, aunque\(\frac{4-x}{x-4} \neq 1,\) podemos decir que\(\frac{4-x}{x-4}=-1 .\) Esto nos permitirá cancelar\((4-x)\)\((x-4)\) y reemplazarlos por (-1)
\ [
\ begin {alineado}
\ frac {16-x^ {2}} {x^ {2} +x-20} &=\ frac {(4+x) (4-x)} {(x+5) (x-4)}\\
&=\ frac {(4+x)\ cancel {(4-x)}} {(x+5)\ cancel {(x-4)} (-1)}
\ end {alineado}
\]
En la respuesta final, el (-1) se puede colocar en el denominador o en el numerador, pero no en ambos. También se puede colocar frente a la fracción.
\ [
\ begin {alineado}
\ frac {4+x} {-1 (x+5)} &=\ frac {-1 (4+x)} {x+5}\\
&=-\ frac {4+x} {x+5}
\ end {alineado}
\]

Multiplicar y dividir expresiones racionales
Al multiplicar y dividir expresiones racionales, suele ser más fácil identificar y cancelar factores comunes antes de multiplicar en lugar de después. Multiplicar expresiones racionales funciona de la misma manera que multiplicar fracciones numéricas: multiplicar directamente por la parte superior y recta por la parte inferior. En consecuencia, cualquier factor en cualquiera de los numeradores del problema terminará en el numerador de la respuesta. De igual manera, cualquier factor en cualquiera de los dos denominador del problema terminará en el denominador de la respuesta. Así, cualquier factor en cualquiera de los numeradores puede ser cancelado con cualquier factor en cualquiera de los dos denominador.

Ejemplo
Multiplicar. Exprese su respuesta de la forma más simple.
\ [
\ begin {alineado}
\ frac {x^ {2} +5 x+6} {25-x^ {2}} *\ frac {x^ {2} -2 x-15} {x^ {2} +6 x+9} &\
\ frac {x^ {2} +5 x+6} {25-x^ {2}} *\ frac {x^ {2} -2 x-15} {x^ {2} +6 x+9} &=\ frac {(x+2) (x+3)} {(5+x) (5-x)} *\ frac {(x-5) (x+3)} {(x+3) (x+3)}\\
&=\ frac {(x+2)\ cancel {(x+3)}} {(5+x)\ cancel {(5-x)} (-1)} *\ frac {\ cancel {(x-5)}\ cancel {(x+3)}} {\ cancel {(x+3)}\ cancel {(x+3)}}\ cancel {(x+3)}}\\
&=-\ frac {x+2} {x+5}
\ end {alineado}
\]

Dividir expresiones racionales funciona de la misma manera que dividir fracciones numéricas. Nos multiplicamos por lo recíproco. Hay varias formas de demostrar que esta es una definición válida para dividir. Primero, es importante entender que la barra de fracciones es lo mismo que un símbolo “dividido por”:
\ [
\ frac {8} {2} =8\ div 2=4
\]

Lo mismo es cierto para dividir fracciones:
\ [
\ frac {1} {3}\ div\ frac {2} {5} =\ frac {\ left (\ frac {1} {3}\ right)} {\ left (\ frac {2} {5}\ right)}
\]
Podemos tomar la fracción compleja\(\frac{\left(\frac{1}{3}\right)}{\left(\frac{2}{5}\right)}\) y multiplicarla por 1 sin cambiar su valor:
\ [
\ begin {alineado}
\ frac {1} {3}\ div\ frac {2} {5} &=\ frac {\ izquierda (\ frac {1} {3}\ derecha)} {\ izquierda (\ frac {2} {5}\ derecha)} * 1\\
&=\ frac {\ izquierda (\ frac {1} {3}\ derecha)} {\ izquierda (\ frac {2} {5}\ derecha)}
\ final {alineado}
\]

Podemos multiplicar por cualquier forma de 1 que queramos y no cambiar el valor del resultado.
\ [
\ begin {array} {l}
\ frac {\ izquierda (\ frac {1} {3}\ derecha)} {\ izquierda (\ frac {2} {5}\ derecha)} * 1=\ frac {\ izquierda (\ frac {1} {3}\ derecha)} {\ izquierda (\ frac {2} {5}\ derecha)}\
\ frac\ izquierda (\ frac {1} {3}\ derecha)} {\ izquierda (\ frac {2} {5}\ derecha)} *\ frac {9} {9} =\ frac {\ izquierda (\ frac {1} {3}\ derecha)} {\ izquierda ( \ frac {2} {5}\ derecha)}\
\ frac {\ izquierda (\ frac {1} {3}\ derecha)} {\ izquierda (\ frac {2} {5}\ derecha)} *\ frac {12} {12} =\ frac {\ izquierda (\ frac {1} {3}\ derecha)} {\ izquierda (\ frac {2} 5}\ right)}
\ end {array}
\]
Con una forma cuidadosamente elegida de\(1,\) podemos transformar el problema de división en un problema de multiplicación.

\ [
\ begin {alineado}
\ frac {\ izquierda (\ frac {1} {3}\ derecha)} {\ izquierda (\ frac {2} {5}\ derecha)} *\ frac {\ izquierda (\ frac {5} {2}\ derecha)} {\ izquierda (\ frac {5} {2}\ derecha)} &=\ frac {\ frac {1} {3} *\ frac {5} {2}} {\ frac {2} {5} *\ frac {5} {2}}\\
&=\ frac {\ frac {1} {3} *\ frac {5} {2}} {1}\\
& amp; =\ frac {1} {3} *\ frac {5} {2}\\
&=\ frac {5} {6}
\ end {alineado}
\]
De esta manera, podemos redefinir la división como multiplicación por un recíproco.

Ejemplo
Divide las expresiones. Exprese su respuesta en la forma más baja.
\ [
\ begin {alineado}
\ frac {2 x^ {2} -x-3} {x^ {2} -x-12}\ div\ frac {x^ {2} +5 x+4} {16-x^ {2}}\
\ frac {2 x^ {2} -x-3} {x^ {2} -x-12}\ div\ frac {x^ {2} +5 x+4} {16-x^ {2}} &=\ frac {2 x^ {2} -x-3} {x^ {2} -x-12} *\ frac {16-x^ {2}} {x^ {2} +5 x+4}\\
&=\ frac {(2 x-3) (x+1)} {(x-4) (x+3)} *\ frac {(4+x) (4-x)} {(x+1) (x+4)}\\
&=\ frac {(2 x-3)\ cancel {(x+1)}} {\ cancel {(x-4)} (x+3)} *\ frac {\ cancel {(4+x)}\ cancel {(4-x)} (-1)} {\ cancel {(x+1)}\ cancel {(x+4)}}\\
&=-\ frac {2 x-3} {x+3}
\ end {alineado}
\]

Ejercicios 1.6
Reducir cada expresión a los términos más bajos.
1)\(\quad \frac{3 x+9}{x^{2}-9}\)
2)\(\quad \frac{4 x^{2}+8 x}{12 x+24}\)
3)\(\quad \frac{x^{2}-2 x}{6-3 x}\)
4)\(\quad \frac{15 x^{2}+24 x}{3 x^{2}}\)
5)\(\quad \frac{24 x^{2}}{12 x^{2}-6 x}\)
6)\(\quad \frac{x^{2}+4 x+4}{x^{2}-4}\)
7)\(\quad \frac{25-y^{2}}{2 y^{2}-8 y-10}\)
8)\(\quad \frac{3 y^{2}-y-2}{3 y^{2}+5 y+2}\)
9)\(\quad \frac{x^{2}+4 x-5}{x^{2}-2 x+1}\)
10)\(\quad \frac{x-x^{2}}{x^{2}+x-2}\)
11)\(\quad \frac{x^{2}+5 x-14}{2-x}\)
12)\(\quad \frac{2 x^{2}+5 x-3}{1-2 x}\)

Multiplica o divide las expresiones en cada problema.
Exprese sus respuestas en los términos más bajos.
13)\(\quad \frac{3 x+6}{5 x^{2}} * \frac{x}{x^{2}-4}\)
14)\(\quad \frac{4 x^{2}}{x^{2}-16} * \frac{7 x-28}{6 x}\)
15)\(\quad \frac{2 a^{2}-7 a+6}{4 a^{2}-9} * \frac{4 a^{2}+12 a+9}{a^{2}-a-2}\)
16)\(\quad \frac{4 a^{2}-4 a-3}{8 a+4 a^{2}} * \frac{16 a^{2}}{4 a^{2}-6 a}\)
17)\(\quad \frac{x^{2}-y^{2}}{(x+y)^{3}} * \frac{(x+y)^{2}}{(x-y)^{2}}\)
18)\(\quad \frac{2 x^{2}+x-3}{x^{2}-1} * \frac{2 x-2}{2 x^{2}+5 x+3}\)
19)\(\quad \frac{6 x}{x^{2}-4} \div \frac{3 x-9}{2 x+4}\)
20)\(\quad \frac{12 x}{5 x+20} \div \frac{4 x^{2}}{x^{2}-16}\)
21)\(\quad \frac{9 x^{2}+3 x-2}{6 x^{2}-2 x} \div \frac{3 x+2}{6 x^{2}}\)
22) \(\quad \frac{2 a^{2}-5 a-3}{4 a^{2}+2 a} \div \frac{2 a+1}{4 a}\)
23)\(\quad \frac{x^{2}+7 x+6}{x^{2}+x-6} \div \frac{x^{2}+5 x-6}{x^{2}+5 x+6}\)
24)\(\quad \frac{x^{2}+7 x+10}{x^{2}-x-30} \div \frac{3 x^{2}+7 x+2}{9 x^{2}-1}\)
25)\(\quad \frac{2 x^{2}-x-28}{3 x^{2}-x-2} \div \frac{4 x^{2}+16 x+7}{3 x^{2}+11 x+6}\)
26)\(\quad \frac{9 x^{2}+3 x-2}{12 x^{2}+5 x-2} \div \frac{9 x^{2}-6 x+1}{8 x^{2}-10 x-3}\)