2.8: Raíces y factorización de polinomios

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En esta sección utilizaremos algunas de las habilidades que hemos visto en secciones anteriores para encontrar todas las raíces de una función polinómica (tanto real como compleja) y también factorizar el polinomio como producto de factores primos con coeficientes enteros.
Ejemplo
Encuentra todas las raíces reales y complejas para la ecuación dada. Expresar el polinomio dado como el producto de factores primos con coeficientes enteros.
$2 x^{3}-3 x^{2}+2 x-8=0$
Primero graficaremos el polinomio para ver si podemos encontrar alguna raíz real de la gráfica:
$clipboard_e8eb093603e45a425a1b025501b56e570.png$
Podemos ver que hay una raíz en$x=2 .$ Esto significa que el polinomio tendrá un factor de$(x-2) .$ Podemos usar División Sintética para encontrar otros factores. Porque$x=2$ es una raíz, deberíamos obtener un resto cero:
$clipboard_ebc1dd0fab74440b974eb51f8e6f64f73.png$
Entonces, ahora lo sabemos$2 x^{3}-3 x^{2}+2 x-8=(x-2)\left(2 x^{2}+x+4\right)$. Para terminar el problema, podemos establecer cada factor igual a cero y encontrar las raíces:
\ [
\ begin {array} {c}
2 x^ {3} -3^ {2} +2 x-8=0\\ (x-2)\ left
(2 x^ {2} +x+4\ right) =0\\
x-2=0\ quad 2 x^ {2} +x+4=0\ x=2\ quad 2 x^ {2}
+x+4=0\ x=2\ x\ aprox-0.25\ pm 1.392 i
\ end {array}
\]
Veamos un ejemplo que tiene más de una raíz real:

Ejemplo
Encuentra todas las raíces reales y complejas para la ecuación dada. Expresar el polinomio dado como el producto de factores primos con coeficientes enteros.
\ [
3 x^ {4} +5 x^ {3} -45 x^ {2} +19 x-30=0
\]
Primero graficaremos el polinomio para ver si podemos encontrar alguna raíz real de la gráfica:
$clipboard_eee512b6b735161ef5a50aefa9a5d9385.png$

Podemos ver raíces en$x=-5,3,$ lo que significa que$(x+5)$ y$(x-3)$ son ambos factores de este polinomio. Tendremos que dividir por ambos factores para descomponer el polinomio. Primero, dividimos por$(x-3):$
$clipboard_e306431e9058940377703f7a9e153612e.png$
Y luego por$(x+5):$
$clipboard_e82ce09925019a9cdc071947221c09896.png$
Ahora lo sabemos$3 x^{4}+5 x^{3}-45 x^{2}+19 x-30=(x+5)(x-3)\left(3 x^{2}-x+2\right)$ y
así, para terminar el problema:
\ begin {array} {c}
3 x^ {4} +5 x^ {3} -45 x^ {2} +19 x-30=0\\
(x+5) (x-3)\ izquierda (3 x^ {2} -x+2\ derecha) =0\\
x+5=0\ quad x-3=0\ quad 3 x^ {2} -x+2 = 0\
x=-5\ quad x=3\ quad x\ approx\ frac {1} {6}\ pm 0.799 i
\ end {array}

A continuación, veamos un ejemplo donde hay una raíz que no es un número entero:

Ejemplo

Encuentra todas las raíces reales y complejas para la ecuación dada. Expresar el polinomio dado como el producto de factores primos con coeficientes enteros.
$3 x^{3}+x^{2}+17 x+28=0$

Primero graficaremos el polinomio para ver si podemos encontrar alguna raíz real de la gráfica:
$clipboard_e7190cc22ea9cf7bdc414452c4a7454d4.png$
Podemos ver en la gráfica que este polinomio tiene una raíz en$x=-\frac{4}{3}$. Eso significa que el polinomio debe tener un factor de$3 x+4 .$ Podemos usar División Sintética para encontrar el otro factor para este polinomio. Porque sabemos que$x=-\frac{4}{3}$ es una raíz, deberíamos obtener un resto cero:
$clipboard_e07a5c59f1052a4ed07cd6226e14d47a0.png$
Observe que, debido a que la raíz que usamos era una fracción, hay un factor común de 3 en la respuesta a nuestra División Sintética. Debemos factorizar esto para obtener la
respuesta:
$\left(x+\frac{4}{3}\right)\left(3 x^{2}-3 x+21\right)=(3 x+4)\left(x^{2}-x+7\right)$
Entonces, esto significa que:
\ begin {array} {c}
3 x^ {3} +x^ {2} +17 x+28=0\\
(3 x+4)\ left (x^ {2} -x+7\ right) =0\\
3 x+4=0\ quad x^ {2} -x+7=0\\
x=-\ frac {4} {3}\ quad x\ aprox 0.5\ pm 2.598 i
\ end {array}

Ejercicios 2.8
Encuentra todas las raíces reales y complejas para la ecuación dada. Expresar el polinomio dado como el producto de factores primos con coeficientes enteros.
Conjunto #1
1)$x^{4}-3 x^{3}+5 x^{2}-x-10=0$
2)$3 x^{3}-5 x^{2}+2 x-8=0$
3)$2 x^{4}-5 x^{3}+x^{2}+4 x-4=0$
4)$x^{4}+x^{3}-3 x^{2}-17 x-30=0$
5)$x^{4}-9 x^{3}+21 x^{2}+21 x-130=0$
6)$x^{4}-7 x^{3}+14 x^{2}-38 x-60=0$
7)$x^{5}-9 x^{4}+31 x^{3}-49 x^{2}+36 x-10=0$
8)$x^{4}+4 x^{3}+2 x^{2}+12 x+45=0$
9)$x^{4}-6 x^{3}+12 x^{2}-10 x+3=0$
10)$x^{4}-6 x^{3}+13 x^{2}-24 x+36=0$
11)$x^{5}-3 x^{4}+12 x^{3}-28 x^{2}+27 x-9=0$
12)$x^{5}+2 x^{4}-3 x^{3}-3 x^{2}+2 x+1=0$
Conjunto$\# 2$
13)$\quad 15 x^{3}-7 x^{2}+13 x+3=0$
14)$\quad x^{4}-5 x^{3}+3 x^{2}-11 x-20=0$
15)$\quad 6 x^{3}+13 x^{2}+12 x+4=0$
16)$\quad 6 x^{3}-5 x^{2}+5 x-2=0$
17)$\quad 4 x^{4}+20 x^{3}+29 x^{2}+10 x-15=0$
18)$\quad 3 x^{4}-4 x^{3}+10 x^{2}+12 x-5=0$
19)$\quad 2 x^{4}-3 x^{3}-6 x^{2}-8 x-3=0$
20)$\quad 12 x^{4}-53 x^{3}-31 x^{2}-19 x-5=0$
21)$\quad 12 x^{4}+4 x^{3}+x^{2}-3 x-2=0$
22)$\quad 3 x^{4}+13 x^{3}-26 x-40=0$