27.2: Los cuatro espacios fundamentales

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En la conferencia sobre Bases de Cambio, hablamos de cuatro subespacios basados en una matriz\(A\):

Espacio de fila de\(A\): combinación lineal de todas las filas de\(A\)

Espacio de columna de\(A\): combinación lineal de todas las columnas de\(A\)

Espacio nulo o kernel de\(A\): todos\(x\) tales que\(Ax=0\)

Espacio nulo de\(A^{\top}\): todo\(y\) tal que\(A^{\top}y=0\)

En este curso representamos un sistema de ecuaciones lineales como\(Ax=b\). La matriz se\(A\) puede ver tomando un punto\(x\) en el espacio de entrada y proyectando ese punto\(b\) en el espacio de salida.

Resulta que todo lo que necesitamos saber\(A\) está representado por cuatro espacios vectoriales fundamentales. Dos de los cuatro espacios se definen fácilmente de la siguiente manera:

Espacio de fila de\(A\): combinación lineal de todas las filas de\(A\)

Espacio de columna de\(A\): combinación lineal de todas las columnas de\(A\)

Los otros dos espacios fundamentales están definidos por un concepto llamado Espacio Nulo. El espacio Nulo se calcula encontrando todas las soluciones al sistema homogéneo\(Ax=0\). Los dos últimos espacios fundamentales se definen de la siguiente manera:

Espacio nulo o kernel de\(A\): todos\(x\) tales que\(Ax=0\)

Espacio nulo de\(A^{\top}\): todo\(y\) tal que\(A^{\top}y=0\)