40.3: Sistemas Invertibles

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Un sistema invertible tiene un cuadrado\(A\) que es invertible de tal manera que todas las siguientes propiedades son verdaderas:

\( A^{-1}A = AA^{-1} = I \)
\((A^{-1})^{-1} = A\)
\((cA)^{-1} = \frac{1}{c}A^{-1}\)
\((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\)
\((A^n)^{-1} = (A^{-1})^n\)
\((A^\top)^{-1} = (A^{-1})^\top\)aquí\(A^\top\) está la transposición de la matriz\(A\).

Considere el siguiente sistema de ecuaciones:

\[\begin{split}\begin{bmatrix}5&-2&2 \\ 4 & -3 &4 \\ 4& -6 &7 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}\end{split} \nonumber \]

import numpy as np
import sympy as sym

A = np.matrix([[5, -2, 2], [4, -3, 4], [4,-6,7]])
b = np.matrix([[1],[2],[3]])
display(sym.Matrix(A))
display(sym.Matrix(b))

Algoritmos iterativos (Gauss-Seidel y Jacobian):

Pueden requerir muchas iteraciones
Gauss-Seidel es más rápido que jacobiano
No funcionan para todos los sistemas invertibles cuadrados.

Algoritmos no iterativos:

Eliminación de Gauss (rref)
Descomposición de LU
Encuentra la inversa de la matriz\(A\) y\(x=A^{-1}b\)

Hacer esto

Elige al menos dos métodos para resolver el sistema de ecuaciones y compararlos.

#put your answer here