1.1: Una breve historia

Interpretación geométrica de ecuaciones cuadráticas y cúbicas

Considerar una ecuación cuadrática

\ (\ begin {eqnarray}\ label {quad001}
x^2 = mx + n.
\ end {eqnarray}
\)

Desde la primaria hemos aprendido a encontrar sus soluciones, es decir, todos los valores de xx que satisfacen la ecuación (1). Para ello solo necesitamos usar la fórmula cuadrática ampliamente conocida

\ (\ begin {eqnarray}\ label {quad002}
x =\ frac {-b\ pm\ sqrt {b^2-4ac}} {2a}
\ end {eqnarray}\)

de la ecuación cuadrática general

\ (\ begin {eqnarray}\ label {quad003}
ax^2+ bx+c = 0.
\ end {eqnarray}\)

Al reescribir la ecuación (1) como\(x^{2}-mx-n=0\), podemos usar (2) para obtener

\ (\ begin {eqnarray}\ label {quad004}
x =\ frac {m\ pm\ sqrt {m^2 + 4n}} {2} =\ frac {m} {2}\ pm\ sqrt {\ frac {m^2} {4} + n}
\ end {eqnarray}\)

Si trazamos la ecuación (1) podemos observar geométricamente que representa la intersección de la parábola\( y=x^{2}\) con la línea\(y=mx+n\). Esto se puede apreciar en el siguiente applet. Arrastre los controles deslizantes de abajo y observe lo que sucede con los puntos de intersección\( x_{0}\) y\( x_{1}\).

 

gráfico interativo

 

Como ya notaste, tenemos tres casos:

1. Hay dos puntos de intersección, es decir, dos soluciones.
2. Sólo hay un punto de intersección, es decir, una solución.
3. No hay puntos de intersección, es decir, no hay soluciones.

 

Sorprendentemente esto se conoce desde la antigüedad, incluso sin el uso de símbolos matemáticos o computadoras. Sabemos por tablillas de arcilla fechadas alrededor del 2000 a. C. que la civilización babilónica poseía la fórmula cuadrática, permitiéndoles (en forma verbal) resolver ecuaciones cuadráticas. Debido a que el concepto de números negativos tuvo que esperar hasta el siglo XVI para aparecer, los babilonios no consideraron soluciones negativas [9, pp. 29-30]. También podemos encontrar implícitamente ecuaciones en la geometría desarrollada por los antiguos griegos, como cabría esperar cuando se están investigando círculos, parábolas y similares, pero no exigimos que cada problema geométrico tenga una solución [9, Ch. 4].

Ahora volvamos a la ecuación cuadrática\( x^{2}=mx+n\). Considerar los valores\( m=0\) y\( n=-1\). Si usamos la fórmula (4), obtenemos que

\(x=\pm \sqrt{-1}\).

¿Qué está pasando aquí? La mayoría de ustedes han aprendido del cálculo, o de la escuela primaria, que no podemos tomar la raíz cuadrada de un número negativo. Entonces, ¿cómo interpretar este valor? Geométricamente hablando, podemos relacionar la solución\(x=\pm \sqrt{-1} \) con el hecho de que la parábola\(y=x^{2} \) y la línea\(y=-1 \) no se cruzan entre sí, ver Figura 1. En otras palabras, no hay solución. En general, si\( \frac{m^{2}}{4}+n< 0\), entonces la ecuación no\( x^{2}=mx+n\) tiene soluciones.

Figura 1:\(x^{2}=-1 \).

Se argumenta que esto llevó a la inveción de un nuevo número denotado por\( i\), que es igual a\( \sqrt{-1}\), y se le dio el nombre de “imaginario”. Si usamos\( i\) como un número tal que\( i^{2}=-1\), entonces este valor es la solución de la ecuación\( x^{2}=-1\).

También es una práctica común señalar en cursos de matemáticas que los números complejos, denotados como\(a+b\sqrt{-1} \), son necesarios para resolver ciertas ecuaciones cuadráticas, como\(x^{2}+1=0 \). Sin embargo, los números complejos surgieron, de hecho, de la necesidad de resolver ecuaciones cúbicas. Además, cuando aparecieron por primera vez las ecuaciones cuadráticas y cúbicas, en ese momento, no había necesidad de tener soluciones para todas las ecuaciones.

Entonces, ¿dónde realmente cobraron importancia los números complejos? Para responder a esto consideremos la ecuación cúbica

\ (\ begin {eqnarray}\ label {cubic001}
x^3 = p x + q.
\ end {eqnarray}
\)

Geométricamente, esta ecuación representa la intersección del cúbico\( y=x^{3}\) con la línea\(y=px+q \), como se muestra en el siguiente applet. Arrastre los deslizadores a continuación y observe lo que sucede.

 

gráfico interativo

 

Como se puede observar no importa qué línea se defina por los parámetros\(p\) y\(q\), siempre cruzará el cúbico en alguna parte, incluso cuando la línea\(px+q \) es perpendicular al eje x y lejos del origen (es decir, cuando\(p \) y\(q \) son ambos números positivos/negativos muy grandes ). Esto se debe a que el cúbico va desde\(−∞\) hasta\(+∞\). Así, no hay ninguna línea que puedas dibujar que no se cruce con este cúbico. Este ejemplo es muy diferente del caso cuadrático que era una parábola\(x^{2} \) y se podría definir una línea\(mx+n \) tal que no se cruzara con la parábola.

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Solución a ecuaciones cúbicas

Es bien sabido que la solución del cúbico\(x^{3}=px+y\) fue desarrollada en el Renacimiento (siglos XV y XVI) por matemáticos italianos. Scipione del Ferro (1465-1526) y Niccolò Tartaglia (1500-1557), seguidos de Girolamo Cardano (1501-1576), demostraron que\(x^{3}=px+y \) tiene una solución dada por

\ (\ begin {eqnarray}\ label {cubic002}
x =\ sqrt [3] {\ frac {q} {2} +\ sqrt {\ frac {q^2} {4} -\ frac {p^3} {27}}} -
\ sqrt [3] {-\ frac {q} {2} +\ sqrt {\ frac {qrq 2} {4} -\ frac {p^3} {27}}}
\ end {eqnarray}\)

Esto se conoce como la fórmula de Cardano y aquí estamos usando la notación moderna.

Figura 2: Tartaglia.

Figura 3: Cardano.

Para ver cómo funciona esto considera la ecuación\(x^{3}=-6x+20\). En este caso\(p=-6 \) y\(q=20 \). Si enchufamos estos números en (6), obtenemos la solución

\(x=\sqrt[3]{10+\sqrt{108}}-\sqrt[3]{-10+\sqrt{108}} \)

Simplificando obtenemos\(x=2 \), una solución de la ecuación dada desde

\(8=(2)^{3}=-6(2)+20=-12+20=8 \)

Así, esta fórmula parece funcionar muy bien, al menos para este caso.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Intenta resolver\(x^{3}=6x+6 \) usando la fórmula de Cardano.

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La génesis de los números imaginarios

Pocos años después del descubrimiento de la fórmula de Cardano, el ingeniero-arquitecto italiano Rafael Bombelli (1526-1572) reconoció que había algo extraño y paradójico en esta fórmula. Consideró la ecuación

\ (\ begin {eqnarray}\ label {cubic003}
x^3= 15 x+ 4
\ end {eqnarray}
\)

y, quizás con solo un poco de reflexión, se puede ver que\(x=4 \) es una solución. Esto también se puede ver en la Figura 2. De hecho hay tres soluciones, pero Bombelli no consideró valores negativos, así que tampoco lo haremos nosotros.

Figura 4:\(x^{3}=15+4 \)

Entonces Bombelli utilizó la fórmula de Cardano para resolver\((x^{3}=15+4  \). Así, considerando\(p=15 \) y\(q=4 \), obtuvo

\ (\ begin {eqnarray}\ label {cubic004}
x =\ displaystyle\ sqrt [3] {2 +\ sqrt {-121}} +\ sqrt [3] {2 -\ sqrt {-121}}.
\ end {eqnarray}\)

Aquí se encontró con un valor muy inusual. Si la fórmula de Cardano es correcta, este número debe ser igual a\(4 \). Sin embargo, esto debe ser una tontería y el valor no puede ser real, porque dentro de la raíz cúbica estamos tomando la raíz cuadrada de un número negativo, una imposibilidad absoluta en ese momento (y también hoy en día). Cardano también encontró esta dificultad pero no la enfrentó. Una vez mencionó números imaginarios, pero en relación con una ecuación cuadrática y acompañado del comentario de que estos números eran “tan sutiles como inútiles” [2, Ch. 37, Regla II]

No obstante, Bombelli superó esta dificultad al ver que la extraña expresión (8) que da la fórmula de Cardano\(x \) es en realidad real, pero expresada de una manera muy desconocida. Esta perspicacia no llegó fácilmente. Como escribió Bombelli en su libro L'Algebra:

Y aunque a muchos esto les va a parecer algo extravagante, porque incluso yo sostuve esta opinión hace algún tiempo, ya que me pareció más sofista que cierto, sin embargo busqué mucho y encontré la demostración, que se señalará a continuación.... Pero que el lector aplique toda su fuerza mental, pues [de lo contrario] incluso se encontrará engañado. [1, pp. 293-294; 10]

Figura 5: L'Algebra de Rafael Bombelli: frontispicio de la edición de Bolonia de 1579.

 

La gran visión de Bombelli fue simplemente tratar\(\sqrt{-1} \) como un número y operar con él siguiendo algunas reglas aritméticas específicas (el mismo tipo de reglas que usamos hoy en día). Así descubrió que

\(\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}=2+\sqrt{-1}  \)y\(\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}=2-\sqrt{-1}  \).

Al sustituir estos valores en (8) Bombelli obtenidos

\( x=2+\sqrt{-1}+2-\sqrt{-1}\).

Después demostró que las raíces cuadradas de los números negativos se cancelan entre sí [1, p. 169; 7, p. 164]. Eso es

\(x=2+2\).

Y concluyó que en realidad\(x=4 \) es la solución de\(x^{3}=15x+4 \) obtenida de la fórmula de Cardano [1, p. 294], ver Figura 6. Este truco funciona en sólo unos pocos casos, sin embargo, ayudó a entender los números imaginarios y a tomar sus raíces cúbicas o manipularlos cuando aparecen a un lado los números reales.

Figura 6: Solución original de Bombelli.

Por supuesto, como se puede apreciar en la Figura 6, Bombelli no tenía a su disposición el poder de la notación algebraica actual (ni computadoras) y sus cálculos se limitaban a números en “dominio real”. De hecho, la mayoría de los matemáticos italianos en ese momento tendían a pensar en los cubos o cuadrados como objetos geométricos en lugar de cantidades algebraicas. No obstante, se le atribuye haber probado la realidad de las raíces de lo cúbico\(x^{3}=15x+4 \), ya que demostró el extraordinario hecho de que los números reales podrían ser engendrados por números imaginarios.

La fórmula de Cardano obligó a los matemáticos a enfrentar raíces cuadradas de números negativos. Este incidente histórico es otro ejemplo que niega la visión generalizada de que las matemáticas están “compuestas” por matemáticos. Como suele ser el caso, son las matemáticas mismas las que nos hablan. A partir de entonces, los números imaginarios perdieron parte de su carácter místico, aunque su plena aceptación como números de buena fe llegó sólo en el siglo XIX.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Verifica que\(\sqrt[3]{2\pm \sqrt{-121}}=2\pm \sqrt{-1} \)

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La maduración de los números complejos

Muchos matemáticos después de Cardano y Bombelli hicieron importantes contribuciones a los números imaginarios (o complejos). Por ejemplo René Descartes (1596-1650) acuñó el término “imaginario” en su libro en La Géométrie de 1637 de la siguiente manera:

Ni las raíces verdaderas ni las falsas [negativas] son siempre reales; pero a veces solo imaginarias. [4, p. 380]

John Wallis (1616-1703) mostró cómo representar raíces geométricamente complejas de una ecuación cuadrática con coeficientes reales [8, p. 594]. Carpar Wessel (1745-1818) y Jean-Robert Argan (1768-1822) proporcionaron representaciones geométricas de números complejos como vectores [7, pp. 185-190].

Figura 7: Euler.

Leonard Euler (1707-1783) standirezó la notación “\(i=\sqrt{-1} \)” [6, p. 184] y utilizó números imaginarios para resolver ecuaciones cuadráticas y cúbicas, a pesar de que todavía sospechaba de estos números. En su Álgebra, por ejemplo, mencionó:

[...] ya que todos los números que es posible concebir son mayores o menores que 0, o bien son 0 en sí, es evidente que no podemos clasificar la raíz cuadrada de un número negativo entre los números posibles, y por lo tanto debemos decir que es una cantidad imposible. De esta manera se nos lleva a la idea de los números, que desde su naturaleza son imposibles; y por lo tanto suelen llamarse cantidades imaginarias, porque existen meramente en la imaginación. [5, p. 43]

Para que nadie tome esto como una condena, continuó:

a pesar de esto, estos números se presentan a la mente; existen en nuestra imaginación, y todavía tenemos una idea suficiente de ellos; [...] nada nos impide hacer uso de estos números imaginarios, y emplearlos en el cálculo. [5, p. 43]

Posteriormente Carl Friedrich Gauss (1777-1855) introdujo el término “número complejo” haciendo referencia a números de la forma\(a+bi \) [7, p. 191]. También dio cuatro pruebas del teorema fundamental del álgebra a lo largo de su larga carrera. Este teorema nos dice que cualquier polinomio de nésimo grado tiene nn raíces, algunas o todas las cuales pueden ser imaginarias. La primera prueba que dio Gauss fue en su tesis doctoral de 1799. El último (y quizás el más elegante) permite el uso de números complejos no sólo para la variable sino también para los coeficientes. Dado que esto dependía necesariamente del reconocimiento de números complejos, Gauss ayudó a solidificar la posición de estos números [8, Vol. 2, p. 595].

La primera definición rigurosa de números complejos la dio William Rowan Hamilton (1805-1865). En 1833 propuso a la Academia Irlandesa que un número complejo a+iba+ib pueda considerarse como pareja\((a,b) \), con números\(a,b\) reales [7, pp. 192-193]. Después definió la suma y multiplicación de parejas de la siguiente manera:

\((a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) \)

y

\((a,b)(c,d)=(ac-bd,bc+ad) \).

Esta es, de hecho, una definición algebraica de números complejos. Desde el punto de vista didáctico y heurístico es preferible tener números complejos introducidos a través de una interpretación geométrica. Pero desde el punto de vista lógico la teoría de las parejas es mucho más satisfactoria, ya que muestra la consistencia de la teoría de los números complejos partiendo de la consistencia de los números reales [3, pág. 175].

Figura 8: Hamilton.

Figura 9: Cauchy.

Entre los muchos matemáticos y científicos que contribuyeron, hay tres que destacan por haber influido decisivamente en el curso del desarrollo del análisis complejo [8, Vol.2, Ch. 27]. El primero es Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), quien desarrolló la teoría del cálculo integral complejo. Mediante el uso de números imaginarios Cauchy pudo evaluar “integrales reales” que hasta ahora no podían ser evaluadas, obteniendo resultados de aturdimiento como

\(\int_{0}^{\infty}\frac{sinx}{x}dx=\frac{\pi }{2}\)

y

\(\int_{0}^{\pi}logsinxdx=-\pi log2\).

La evaluación de integrales reales, además de la solución de la ecuación cúbica y el teorema fundamental del álgebra, demostró lo valioso que era considerar números imaginarios.

Figura 10: Weierstrass.

Figura 11: Riemann.

Por último, los otros dos matemáticos importantes son Karl Weierstrass (1815-1897) y Bernhard Riemann (1826-1866), quienes aparecieron en la escena matemática a mediados del siglo XIX. Weierstrass desarrolló la teoría desde un punto de partida de series convergentes de potencia, y este enfoque condujo a desarrollos algebraicos más formales. Riemann aportó un punto de vista más geométrico sobre el estudio de funciones complejas. Sus ideas tuvieron un tremendo impacto no solo en el análisis complejo sino en las matemáticas en su conjunto, aunque sus puntos de vista se afianzaron solo gradualmente.

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Comentarios finales

Las descripciones anteriores de números complejos no son el final de la historia. Diversos desarrollos en los siglos XIX y XX nos permitieron profundizar en el papel de los números complejos no sólo en las matemáticas, sino también en la ingeniería y la física. La historia de los números complejos es fascinante y animo mucho al lector a consultar las fuentes primarias aquí citadas que podrían servir de punto de partida para profundizar en los detalles históricos que permitieron el surgimiento y desarrollo de números complejos.

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Referencias

 

1. Bombelli, R. (1579). L'Álgebra. Bolonia.
2. Cardano, H. (1545). Artis magnae, sive de regulis algebraicis, liber unus. (n.p.): Joh. Petreius.
3. Carrucio, E. (2009). Matemáticas y Lógica en la Historia y el Pensamiento Contemporáneo. (I. Quigly, Trans.) Estados Unidos: Transacción Aldine. (Obra original publicada en 1964).
4. Descartes, R. (1637). La Géométrie. París: A. Herman, Librairie Scientifique.
5. Euler, L. (1972). Elementos de Álgebra. (Rev. John Hewlett, B.D. F.A.S. &c, Trans.) Springer-Verlag. (Obra original publicada 1770).
6. Euleri, L. (1845). Instituitionum Cálculos Integralis. Volumen Cuarto. Petropoli. Impensis Academia Imperialis Scientarum.
7. González-Velasco, A. E. (2011) Viaje por las Matemáticas. Springer Science+Business Media.
8. Kline, M. (1972). Pensamiento matemático desde la antigüedad hasta la modernidad. Vols. 1-3. New Yors: Oxford University Press.
9. Merzbach, U. C & Boyer, C. B. (2011). Una historia de las matemáticas. 3ª ed. John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, Nueva Jersey.
10. O'Connor, J. J. & Robertson, E. F. (2000). Rafael Bombelli.

Lectura adicional

• Bagni, G. T. (2009). Álgebra de Bombelli (1572) y un nuevo objeto matemático. Para el aprendizaje de las matemáticas. Vol. 29, Núm. 2, págs. 29-31.
• Buehler, D. (2014). Comprensión incompleta de los números complejos Girolamo Cardano: un estudio de caso en la adquisición de conceptos matemáticos. Synthese 191:4231-4252.
• Burton, D. M. (1995). La historia de las matemáticas: Una introducción (6ª ed.) (2005). Nueva York: McGraw-Hill.
• Gindikin, S. (2007). Cuentos de Matemáticos y Físicos. Segunda edición en inglés Springer Science+ Business Media, LLC.
• Nahim, P. J. (1998). Un cuento imaginario: La historia de\(\sqrt{-1}\). Estados Unidos: Prensa de la Universidad de Princeton.
• Huffman, C. J. (2019). Tesoro matemático: L'álgebra de Raphael Bombelli. Convergencia.
• Marsden, J. E. & Tromba, A. J. (2003). Cálculo vectorial. Estados Unidos: W. H. Freeman y Compañía.
• Merino, O. (2006). Una breve historia de números complejos.
• Stillwell, J. (2010). Las matemáticas y su historia. Springer Science+Business Media.