1.2: Terminología y Notación

Un número complejo\(z\) es un número que se puede expresar en la forma\(x+iy\), donde\(x\) y\(y\) son números reales y\(i\) es la unidad imaginaria, es decir,\(i^{2}=-1\). En esta expresión,\(x\) está la parte real y\(y\) es la parte imaginaria del número complejo.

Los números complejos, denotados por\(\mathbb{C}\), extienden el concepto de la línea numérica unidimensional al plano complejo bidimensional (también conocido como plano Argand) utilizando el eje horizontal para la parte real y el eje vertical para la parte imaginaria. La analogía con vectores bidimensionales es inmediata. El número complejo se\(x+iy\) puede identificar con el punto\((x,y)\) en el plano complejo pero también se puede interpretar como un vector bidimensional.

Es útil introducir otra representación de números complejos, a saber, coordenadas polares\((r,\theta )\):

\ (\ begin {eqnarray}\ label {par}
x= r\ cos\ theta,\ quad y=r\ sin\ theta\ quad (r\ geq 0)
\ end {eqnarray}\)

De ahí que el número complejo se\(\) pueda escribir en la forma polar alternativa:

\ (\ begin {eqnarray}\ label {polar}
z=x+iy=r (\ cos\ theta + i\ sin\ theta).
\ end {eqnarray}\)

El radio\(r\) se denota por

\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\left | z \right |\)

y naturalmente nos da una noción del valor absoluto de\(z\), denotado por\(\left | z \right |\), es decir, es la longitud del vector asociado con\(z\). El valor a menudo\(\left | z \right |\) se conoce como el módulo de\(z\). El ángulo\(\theta\) se llama el argumento (o fase) de\(z\) y se denota por\(arg(z)\). Cuando\(z\neq 0\), los valores de se\(\theta\) pueden encontrar a partir de (1) mediante trigonometría estándar:

\(tan\theta =\frac{y}{x}\)

donde el cuadrante en el que\(z\),\(y\) se encuentra se entiende como dado.

En este punto es conveniente introducir una función exponencial especial. El exponencial polar se define por

\(cos\theta +isin\theta =e^{i\theta }\)

De ahí que la ecuación (2) implica que se\(z\) puede escribir en la forma

\(z=re^{i\theta }\).

Esta función exponencial tiene todas las propiedades estándar que conocemos dentro del cálculo elemental y es un caso especial de la función exponencial compleja.

Finalmente, el conjugado complejo de\(z\) se define como

\(\bar{z}=x-iy\)

La suma, resta, multiplicación y división de números complejos se desprende de las reglas que rigen los números reales. Así, señalando\(i^{2}=-1\), tenemos

\(z_{1}\pm z_{2}=(x_{1}\pm x_{2})+i(y_{1}\pm y_{2})\)

y

\(z_{1}\cdot z_{2}=(x_{1}\pm iy_{1})(x_{2}+iy_{2})=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2})+i(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})\).

Ahora, observamos que

\(z\bar{z}=(x+iy)(x-iy)=x^{2}+y^{2}=\left | z \right |^{2}\).

Este hecho es útil para la división de números complejos,

\(\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}+i\frac{x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}\).

Se demuestra fácilmente que las leyes conmutativas, asociativas y distributivas de la suma y la multiplicación se mantienen. Geométricamente hablando, la adición de dos números complejos equivale a la de la ley del paralelogramo de los vectores.

Parte de la terminología y notación utilizada para describir números complejos se resume en la Figura 1.

Figura 1: Información resumida.

Te sugiero que te pongas cómodo con los conceptos, terminología y notación introducidos hasta ahora. Para ello, intenta convencerte geométricamente (y/o algebraicamente) de cada uno de los siguientes hechos:

\ (\ begin {eqnarray*}
\ textbf {Re} (z) =\ frac {1} {2}\ izquierda (z+\ overline {z}\ derecha)\ quad\ cuádruple\ textbf {im} (z) =\ frac {1} {2i}\ izquierda (z-\ overline {z}\ derecha) quad\\ quad|z|=\ sqrt {x^2+y^2}
\ end {eqnarray*}\)

\ (\ begin {eqnarray*}
\ tan\ left (\ textbf {arg} (z)\ right) =\ frac {\ textbf {Im} (z)} {\ textbf {Re} (z)}\ quad\ quad re^ {i\ theta} =r (\ cos\ theta +i\ sin\ theta)
\ end {eqnarray*}\)

\ (\ begin {eqnarray*}
\ overline {\ overline {z}} =z\ quad\ quad\ izquierda|z_1z_2\ derecha|=\ izquierda|z_1\ derecha|\ izquierda|z_2\ derecha|\ cuádruple\ cuádruple\ izquierda|\ frac {z_1} {z_2}\ derecha|=\ frac {\ izquierda|z_z_1\ derecha|} {\ izquierda|z_2\ derecha|},\; (z_2\ neq0)
\ end {eqnarray*}\)

\ (\ begin {eqnarray*}
\ overline {z_1\ pm z_2} =\ overline {z_1}\ pm\ overline {z_2}\ quad\ quad\ overline {z_1z_2} =\ overline {z_1}\ cdot\ overline {z_2}\ quad\ quad\ overline {\ overline {\ left (\ frac {z_2} _1} {z_2}\ derecha)} =\ frac {\ overline {z_1}} {\ overline {z_2}},\; (z_2\ neq0)
\ end {eqnarray*}\)

\ (\ begin {eqnarray*}
\ izquierda|z_1\ pm z_2\ derecha|\ leq\ izquierda|z_1\ derecha|+\ izquierda|z_2\ derecha|\ quad\ quad\ cuádruple\ izquierda|\ izquierda|z_1\ derecha|-\ izquierda|z_2\ derecha|\ derecha|\ leq\ z_1\ pm _2\ derecha|
\ end {eqnarray*}
\)

A lo siguiente se le llama la desigualdad triangular generalizada:

\ (\ begin {eqnarray*}
|z_1+z_2+\ cdots +z_n|\ leq |z_1|+ |z_2|+\ cdots |z_n|
\ end {eqnarray*}\)

¿Cuándo se sostiene la igualdad?