2.1: Funciones complejas

Funciones complejas

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Let\(S\) Ser un conjunto de números complejos. Una función\(f\) definida en\(S\) es una regla que asigna a cada uno\(z\) en\(S\) un número complejo\(w\). Al número\(w\) se le llama el valor de\(f\) at\(z\) y se denota por\(f(z)\); es decir,\(w=f(z)\). El conjunto\(S\) se llama el dominio de definición de\(f\).

Si sólo un valor de\(w\) corresponde a cada valor de\(z\), decimos que\(w\) es una función de un solo valor de\(z\) o que\(f(z)\) es de un solo valor. Si más de un valor de\(w\) corresponde a cada valor de\(z\), decimos que\(w\) es una función de múltiples valores o de muchos valores de\(z\).

Una función de múltiples valores puede considerarse como una colección de funciones de un solo valor, cada miembro de las cuales se denomina rama de la función. En general, consideramos a un miembro en particular como una rama principal de la función de múltiples valores y el valor de la función correspondiente a esta rama como el valor principal.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

La función\(w=z^{2}\) es una función de valor único de\(z\). Por otro lado, si\(w=z^{\frac{1}{2}}\), entonces a cada valor de\(z\) hay dos valores de\(w\). De ahí que la función

\(w=z^{\frac{1}{2}}\)

es una función de múltiples valores (en este caso de dos valores) de\(z\).

Supongamos que\(w=u+iv\) es el valor de una función\(f\) at\(z=x+iy\), de modo que

\(u+iv=f(x+iy)\)

Cada uno de los números reales\(u\) y\(v\) depende de las variables reales\(x\) y\(y\), y se deduce que se\(f(z)\) puede expresar en términos de un par de funciones de valor real de las variables reales\(x\) y\(y\):

\ (\ begin {eqnarray}\ label {eq1}
f (z) = u (x, y) +iv (x, y).
\ end {eqnarray}\)

Si se utilizan las coordenadas polares\(r\) y\(θ\), en lugar de\(x\) y\(y\), entonces

\(u+iv=f\left ( re^{i\theta } \right )\)

dónde\(w=u+iv\) y\(z= re^{i\theta }\). En este caso, escribimos

\ (\ begin {eqnarray}\ label {eq2}
f (z) =u\ left (r,\ theta\ right) +iv\ left (r,\ theta\ right).
\ end {eqnarray}
\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Ejemplo 2: Si\(f\left ( z \right )=z^{2}\) entonces

\(f\left ( x+iy \right )=\left ( x+iy \right )^{2}=x^{2}-y^{2}+i\left ( 2xy \right )\).

De ahí

\(u\left ( x,y \right )=x^{2}-y^{2}\)y\(v\left ( x,y \right )=2xy\).

Cuando usamos coordenadas polares, tenemos

\(u\left ( r,\theta  \right )=r^{2}cos2\theta \)y\(v\left ( r,\theta  \right )=r^{2}sin2\theta \).

Pregunta: ¿Qué sucede cuando en cualquiera de las ecuaciones (1) y (2) la función\(v\) siempre tiene un valor cero?

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Ejemplos de funciones complejas

Funciones polinómicas

Para constantes\(a_{n},a_{n-1},...,a_{0}\) complejas definimos

\(p\left ( z \right )=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0}\)

donde\(a_{n}\neq 0\) y\(n\) es un entero positivo llamado el grado del polinomio\(p(z)\).

Funciones racionales: Ratios

\(\frac{p\left ( z \right )}{q\left ( z \right )}\)

donde\(p(z)\) y\(q(z)\) son polinomios y\(q(z)≠0\).

Función exponencial

Función exponencial: Si\(z=x+iy\), la función exponencial\(e^{z}\) se define escribiendo

\(e^{z}=e^{x}e^{iy}\).

Porque

\(e^{iy}=cos\,y+isin\,y\),

entonces tenemos

\(e^{z}=e^{x}\left ( cos\,y+isin\,y \right )\).

Función logarítmica

De manera similar, el logaritmo complejo es una extensión compleja del logaritmo natural real habitual (es decir, base\(e\)). En términos de coordenadas polares\(z=re^{i\theta }\), el logaritmo complejo tiene la forma

\(log\,z=log\left ( re^{i\theta } \right )=log\,r+log\, e ^{i\theta } =log\,r+i\theta \).

Exploraremos en detalle esta función en la siguiente sección.

Funciones trigonométricas

El seno y el coseno de una variable compleja\(z\) se definen de la siguiente manera:

\(sin\,z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\)y\(cos\,z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\).

Las otras cuatro funciones trigonométricas se definen en términos de las funciones seno y coseno con las siguientes relaciones:

\(tan\,z=\frac{sin\,z}{cos\,z}\)\(cot\,z=\frac{cos\,z}{sin\,z}\)

\(sec\,z=\frac{1}{cos\,z}\)\(csc\,z=\frac{1}{sin\,z}\).

Funciones trigonométricas hiperbólicas

El seno hiperbólico y el coseno hiperbólico de una variable compleja se definen como son con una variable real; es decir,

\(sinh\,z=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}\)y\(cosh\,z=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}\).

Las otras cuatro funciones hiperbólicas se definen en términos de las funciones de seno hiperbólico y coseno con las relaciones:

\(tanh\,z=\frac{sinh\,z}{cosh\,z}\)\(coth\,z=\frac{cosh\,z}{sinh\,z}\)

\(sech\,z=\frac{1}{cosh\,z}\)\(csch\,z=\frac{1}{sinh\,z}\).

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Explora los componentes reales e imaginarios

Utilice el siguiente applet para explorar los componentes reales e imaginarios de algunas funciones complejas.

GRAFO INTERACTIVO

Código

Ingresa los siguientes scripts en GeoGebra para explorarlo tú mismo. Abra la vista 3D. El símbolo # indica comentarios.

#Define complex function
    
f(z) := z + 1/z

#Define components

Re = Surface(u, v, real( f(u + ί v) ), u, -5, 5, v, -5, 5)

Im = Surface(u, v, imaginary( f(u + ί v) ), u, -5, 5, v, -5, 5)