2.2: Esfera Riemann

El punto al infinito

Para algunos fines es conveniente introducir el punto al infinito, denotado por\(∞\), además de los puntos\(z\in \mathbb{C}\). Debemos tener cuidado al hacerlo, porque puede llevar a la confusión un abuso del símbolo\(∞\). Sin embargo, con cuidado puede ser útil, si queremos poder hablar de límites infinitos y límites al infinito.

A diferencia de la línea real, a la que\(+∞\) y se le\(−∞\) puede sumar, sólo tenemos una\(∞\) para\(\mathbb{C}\). El motivo es que no\(\mathbb{C}\) tiene orden natural como\(\mathbb{R}\) lo hace. Formalmente agregamos un símbolo\(∞\)\(\mathbb{C}\) para obtener el plano complejo extendido, denotado por\(\mathbb{C}^{*}=\mathbb{C}\cup \left \{ \infty  \right \}\), y definir operaciones con\(∞\) por las reglas

\(z+\infty =\infty \)

\(z\cdot \infty =\infty \)siempre\(z\neq 0\)

\(\infty +\infty =\infty \)

\(\infty \cdot \infty =\infty \)

\(\frac{z}{\infty }=0\)

para\(z\in \mathbb{C}\). Observe que algunas operaciones no están definidas:

\(\frac{\infty }{\infty }\),\(0\cdot \infty \),\(\infty -\infty \)

y así sucesivamente son por las mismas razones que están en el cálculo de los números reales.

El plano complejo extendido puede mapearse sobre la superficie de una esfera cuyo polo sur corresponde al origen y cuyo polo norte al punto\(∞\). Todos los demás puntos del plano complejo pueden mapearse de una manera uno a uno a puntos en la superficie de la esfera usando la siguiente construcción. Conecta el punto\(z\) en el avión con el polo norte usando una línea recta. Esta línea cruza la esfera en el punto\(P(z)\). De esta manera cada punto\(z=x+iy\) en el plano complejo corresponde de manera única a un punto\(P(z)\) en la superficie de la esfera. Esta construcción se denomina proyección estereográfica y se ilustra en el siguiente applet.

En el siguiente applet podemos observar la esfera unitaria cuyo polo sur corresponde al origen del\(z\) plano. Arrastre el punto definido en el\(z\) plano, o los deslizadores, para explorar el comportamiento del punto\(P(z)\) en la esfera.

GRAPO INTERATIVO

El plano complejo extendido a veces se conoce como el plano complejo compactado (cerrado). A menudo es útil ver el plano complejo de esta manera, y el conocimiento de la construcción de la proyección estereográfica es valioso en ciertos tratamientos avanzados.

Ahora podemos introducir los siguientes conceptos de límite:

1. \(\lim_{z\rightarrow \infty }f\left ( z \right )=z_{0}\)significa: Para cualquiera\(ε>0\), hay\(R>0\) tal que\(\left | f\left ( z \right )-z_{0} \right |< \varepsilon \) siempre que\(\left | z \right |> R\).
2. \(\lim_{z\rightarrow z_{0} }f\left ( z \right )=\infty \)significa: Para cualquiera\(R>0\), hay\(δ>0\) tal que\(\left | f\left ( z \right ) \right |> R\) siempre que\(0< \left | z-z_{0} \right |< \delta \).
3. \(\lim_{z\rightarrow\infty  }f\left ( z \right )=\infty \)significa: Para cualquiera\(M>0\), hay\(R>0\) tal que\(\left | f\left ( z \right ) \right |> M\) siempre que\(\left | z \right |> R\).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Ejemplo 1: Si\(f(z)=1/z^{2}\), para\(z≠0\), entonces

\(\lim_{z\rightarrow \infty }f\left ( z \right )=0\).

De hecho, dado\(ε>0\) que tenemos

\(\left | \frac{1}{z^{2}}-0 \right |=\frac{1}{\left | z^{2} \right |}=\frac{1}{\left | z \right |^{2}}< \varepsilon \)

al tomar

\(\left | z \right |> \frac{1}{\sqrt{\varepsilon }}=R\).

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Vamos\(f\left ( z \right )=1/(z-3)\), para\(z≠3\). Entonces

\(\lim_{z\rightarrow 3}f\left (z \right )=\infty \).

De hecho, para cualquiera dada\(R>0\) la desigualdad

\(\frac{1}{\left | z-3 \right |}> R\)

se sostiene siempre

\(0< \left | z-3 \right |< \frac{1}{R}= \delta \).

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Para\(f\left ( z \right )= e^{z}\), definido en\(D=\left \{ z:Re\left ( z \right ) > 0\right \}\), tenemos

\(\lim_{z\rightarrow \infty}f\left (z \right )=\infty \).

De hecho, para cualquier dado\(M>0\) tenemos

\(\left | f\left ( z \right ) \right |=\left | e^{z} \right |=e^{x}> M\)

siempre que sea\(x>ln⁡M\). De ahí, basta con tomar\(R> max\left \{ 0,lnR \right \}\).

Cabe mencionar que para\(f\left ( z \right )=e^{z}\) definido en\(D_{1}=\left \{ z:Re\left ( z \right ) = 0\right \}\), es decir, para\(f\left ( iy \right )=e^{iy}\), no hay límite ya que\(z=iy→∞\), porque a lo largo del eje imaginario,\(e^{iy}=cosy+isiny\) es periódico y no constante.

Por último, para\(f\left ( z \right )=e^{z}\) definir el\(D_{2}=\left \{ z:Re\left ( z \right ) < 0\right \}\) tenemos que

\(\lim_{z\rightarrow \infty}f\left (z \right )=0 \).

Hay una manera más fácil de calcular los límites a partir de los Ejemplos 1-3. El siguiente teorema proporciona un método muy útil.

Teorema：

Si\(z_{0}\) y\(w_{0}\) son puntos en los\(w\) planos\(z\) y, respectivamente, entonces

\(\lim_{z\rightarrow z_{0}}f\left ( z \right )=\infty\)si y sólo si\(\lim_{z\rightarrow z_{0}}\frac{1}{f\left ( z \right )}=0\),

\(\lim_{z\rightarrow \infty }f\left ( z \right )=w_{0}\)si y sólo si\(\lim_{z\rightarrow 0}f\left ( \frac{1}{z} \right )=w_{0}\),

\(\lim_{z\rightarrow \infty }f\left ( z \right )=\infty\)si y sólo si\(\lim_{z\rightarrow 0}f\left ( \frac{1}{z} \right )=w_{0}\).

Usando este resultado, podemos encontrar fácilmente que

\(\lim_{z\rightarrow -1}\frac{iz+3}{z+1}=\infty \)desde\(\lim_{z\rightarrow -1}\frac{z+1}{iz+3}=0 \)

y

\(\lim_{z\rightarrow \infty }\frac{2z+i}{z+1}=2\)ya que\(\lim_{z\rightarrow 0 }\frac{\left ( 2/z \right )+i}{\left ( 1/z \right )+1}=\frac{2+iz}{1+z}=2\).

Además,

\(\lim_{z\rightarrow \infty }\frac{2z^{3}-1}{z^{2}+1}=\infty \)ya que\(\lim_{z\rightarrow 0 }\frac{\left ( 1/z^{2} \right )+1}{\left ( 2/z^{3} \right )-1}=\frac{z+z^{3}}{2-z^{3}}=0\).