3.5: La función de potencia compleja

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La función de potencia compleja generalizada se define como:

\(f\left ( z \right )=z^{c}=exp\,\left ( c\,log\,z \right )\), con\(z≠0\). (1)

Debido a la naturaleza multivalorada de logzlogz, se deduce que (1) también es multivalorada para cualquier valor no entero de\(c\), con un punto de ramificación en\(z=0\). En otras palabras

\(f\left ( z \right )=z^{c}=exp\,\left ( c\,log\,z \right )=exp\left [ c\left ( Log\,z+2n\pi i \right ) \right ]\), con\(n\in \mathbb{Z}\).

Por otro lado, tenemos que la función exponencial generalizada, for\(c≠0\), se define como:

\(f\left ( z \right )=c^{z}=exp\,\left ( z\,log\,c \right )=exp\left [ z\left ( Log\,c+2n\pi i \right ) \right ]\), (2)

con\(n\in \mathbb{Z}\).

Observe que (2) no posee ningún punto de ramificación (o cualquier otro tipo de singularidad) en el\(z\) plano complejo infinito. Así, podemos considerar la ecuación (2) como definiendo un conjunto de funciones independientes de un solo valor para cada valor de\(n\).

Esta es la razón por la cual la naturaleza multivalorada de la función\(f\left ( z \right )=z^{c}\) difiere de la función multivalorada\(f\left ( z \right )=c^{z}\).

Normalmente, el\(n=0\) caso es el más útil, en cuyo caso, simplemente definiríamos:

\(w=c^{z}=exp\,\left ( z\,log\,c \right )=exp(z\,Log\,c)\),

con\(c≠0\).

Esto se ajusta a la definición de función exponencial

\(e^{z}=e^{x}(cos\,y+i\,sin\,y)\)

donde\(c=e\) (la constante de Euler).

Utilice el siguiente applet para explorar las funciones (1) y (2) definidas en la región\(\left [ -3,3 \right ]\times \left [ -3,3 \right ]\). El retrato de fase mejorado se utiliza con líneas de contorno de módulo y fase. Arrastre los puntos para cambiar el valor de\(c\) en cada caso. También puedes desactivar las curvas de nivel, si quieres.

GRAFO INTERACTIVO

Nota final: En la práctica, muchos libros de texto tratan la función exponencial generalizada como una función de un solo valor\(c^{z}=exp(z\,Log\,c)\),, sólo cuando\(c\) es un número real positivo. Para cualquier otro valor de\(c\), se prefiere la función\(c^{z}=exp(z\,Log\,c)\) multivalorada.