Recordemos que cuando teníamos una funciónf:R→R, definimos la derivadax comolim En otras palabras, había un númeroa (la derivada def atx) tal que\lim_{h \to 0} \left\lvert {\frac{f(x+h)-f(x)}{h} - a} \right\rvert = \lim_{h \to 0} \left\lvert {\frac{f(x+h)-f(x) - ah}{h}} \right\rvert = \lim_{h \to 0} \frac{\left\lvert {f(x+h)-f(x) - ah} \right\rvert}{\left\lvert {h} \right\rvert} = 0.
Multiplicar pora es un mapa lineal en una dimensión. Es decir, pensamos ena \in L({\mathbb{R}}^1,{\mathbb{R}}^1). Utilizamos esta definición para extender la diferenciación a más variables.
DejarU \subset {\mathbb{R}}^n ser un subconjunto abierto yf \colon U \to {\mathbb{R}}^m. Decimos quef es diferenciable enx \in U si existeA \in L({\mathbb{R}}^n,{\mathbb{R}}^m) tal que\lim_{\substack{h \to 0\\h\in {\mathbb{R}}^n}} \frac{\left\lVert {f(x+h)-f(x) - Ah} \right\rVert}{\left\lVert {h} \right\rVert} = 0 . definimosDf(x) := A, of'(x) := A, y decimos queA es el derivado def atx. Cuandof es diferenciable en absolutox \in U, decimos simplemente quef es diferenciable.
Para una función diferenciable, la derivada def es una función deU aL({\mathbb{R}}^n,{\mathbb{R}}^m). Comparar con el caso unidimensional, donde la derivada es una función deU a{\mathbb{R}}, pero realmente queremos pensar{\mathbb{R}} aquí comoL({\mathbb{R}}^1,{\mathbb{R}}^1).
Las normas anteriores deben estar en los espacios adecuados por supuesto. La norma en el numerador está en{\mathbb{R}}^m, y la norma en el denominador es{\mathbb{R}}^n dondeh vive. Normalmente se entiende esoh \in {\mathbb{R}}^n desde el contexto. No lo vamos a decir explícitamente a partir de ahora.
Hemos vuelto a hacer trampa un poco y hemos dicho queA es el derivado. Aún no hemos demostrado que sólo hay uno, hagámoslo ahora.
DejarU \subset {\mathbb{R}}^n ser un subconjunto abierto yf \colon U \to {\mathbb{R}}^m. Supongamosx \in U y existenA,B \in L({\mathbb{R}}^n,{\mathbb{R}}^m) tal que\lim_{h \to 0} \frac{\left\lVert {f(x+h)-f(x) - Ah} \right\rVert}{\left\lVert {h} \right\rVert} = 0 \qquad \text{and} \qquad \lim_{h \to 0} \frac{\left\lVert {f(x+h)-f(x) - Bh} \right\rVert}{\left\lVert {h} \right\rVert} = 0 . EntoncesA=B.
\begin{split} \frac{\left\lVert {(A-B)h} \right\rVert}{\left\lVert {h} \right\rVert} & = \frac{\left\lVert {f(x+h)-f(x) - Ah - (f(x+h)-f(x) - Bh)} \right\rVert}{\left\lVert {h} \right\rVert} \\ & \leq \frac{\left\lVert {f(x+h)-f(x) - Ah} \right\rVert}{\left\lVert {h} \right\rVert} + \frac{\left\lVert {f(x+h)-f(x) - Bh} \right\rVert}{\left\lVert {h} \right\rVert} . \end{split}
Así\frac{\left\lVert {(A-B)h} \right\rVert}{\left\lVert {h} \right\rVert} \to 0 comoh \to 0. Es decir, dado\epsilon > 0, entonces para todosh en alguna\delta -bola alrededor del origen\epsilon > \frac{\left\lVert {(A-B)h} \right\rVert}{\left\lVert {h} \right\rVert} = \left\lVert {(A-B)\frac{h}{\left\lVert {h} \right\rVert}} \right\rVert . Para cualquierax con\left\lVert {x} \right\rVert=1 leth = (\nicefrac{\delta}{2}) \, x, entonces\left\lVert {h} \right\rVert < \delta\frac{h}{\left\lVert {h} \right\rVert} = x y así\left\lVert {A-B} \right\rVert \leq \epsilon. EntoncesA = B.
Sif(x) = Ax para un mapeo linealA, entoncesf'(x) = A. Esto se ve fácilmente:\frac{\left\lVert {f(x+h)-f(x) - Ah} \right\rVert}{\left\lVert {h} \right\rVert} = \frac{\left\lVert {A(x+h)-Ax - Ah} \right\rVert}{\left\lVert {h} \right\rVert} = \frac{0}{\left\lVert {h} \right\rVert} = 0 .
DejarU \subset {\mathbb{R}}^n ser abierto yf \colon U \to {\mathbb{R}}^m ser diferenciable enx_0. Entoncesf es continuo enx_0.
Otra forma de escribir la diferenciabilidad es escribirr(h) := f(x_0+h)-f(x_0) - f'(x_0) h . Como\frac{\left\lVert {r(h)} \right\rVert}{\left\lVert {h} \right\rVert} debe ir a cero comoh \to 0, entoncesr(h) sí mismo debe ir a cero. El mapeoh \mapsto f'(x_0) h es mapeo lineal entre espacios dimensionales finitos. Por lo tanto es continuo y va a cero. Por lo tanto,f(x_0+h) debe ir af(x_0) comoh \to 0. Es decir,f es continuo enx_0.
U \subset {\mathbb{R}}^nDéjese abrir y dejarf \colon U \to {\mathbb{R}}^m ser diferenciable enx_0 \in U. V \subset {\mathbb{R}}^mDéjese abrir,f(U) \subset V y dejar queg \colon V \to {\mathbb{R}}^\ell sea diferenciable enf(x_0). EntoncesF(x) = g\bigl(f(x)\bigr) es diferenciable enx_0 yF'(x_0) = g'\bigl(f(x_0)\bigr) f'(x_0) .
Sin los puntos esto a veces se escribe comoF' = {(f \circ g)}' = g' f'. La manera de entenderlo es que el derivado de la composicióng \circ f es la composición de los derivados deg yf. Es decir, siA := f'(x_0) yB := g'\bigl(f(x_0)\bigr), entoncesF'(x_0) = BA.
DejarA := f'(x_0) yB := g'\bigl(f(x_0)\bigr). Tomah \in {\mathbb{R}}^n y escribey_0 = f(x_0),k = f(x_0+h)-f(x_0). Letr(h) := f(x_0+h)-f(x_0) - A h = k - Ah. Then\begin{split} \frac{\left\lVert {F(x_0+h)-F(x_0) - BAh} \right\rVert}{\left\lVert {h} \right\rVert} & = \frac{\left\lVert {g\bigl(f(x_0+h)\bigr)-g\bigl(f(x_0)\bigr) - BAh} \right\rVert}{\left\lVert {h} \right\rVert} \\ & = \frac{\left\lVert {g(y_0+k)-g(y_0) - B\bigl(k-r(h)\bigr)} \right\rVert}{\left\lVert {h} \right\rVert} \\ %& = %\frac %{\norm{g(y_0+k)-g(y_0) - B\bigl(k-r(h)\bigr)}} %{\norm{k}} %\frac %{\norm{f(x_0+h)-f(x_0)}} %{\norm{h}} %\\ & \leq \frac {\left\lVert {g(y_0+k)-g(y_0) - Bk} \right\rVert} {\left\lVert {h} \right\rVert} + \left\lVert {B} \right\rVert \frac {\left\lVert {r(h)} \right\rVert} {\left\lVert {h} \right\rVert} \\ & = \frac {\left\lVert {g(y_0+k)-g(y_0) - Bk} \right\rVert} {\left\lVert {k} \right\rVert} \frac {\left\lVert {f(x_0+h)-f(x_0)} \right\rVert} {\left\lVert {h} \right\rVert} + \left\lVert {B} \right\rVert \frac {\left\lVert {r(h)} \right\rVert} {\left\lVert {h} \right\rVert} . \end{split} First,\left\lVert {B} \right\rVert es constante yf es diferenciable enx_0, por lo que el término\left\lVert {B} \right\rVert\frac{\left\lVert {r(h)} \right\rVert}{\left\lVert {h} \right\rVert} va a 0. Siguiente comof es continuo enx_0, tenemos eso comoh va a 0, luegok va a 0. Por lo tanto\frac {\left\lVert {g(y_0+k)-g(y_0) - Bk} \right\rVert} {\left\lVert {k} \right\rVert} va a 0 porqueg es diferenciable eny_0. Finalmente\frac {\left\lVert {f(x_0+h)-f(x_0)} \right\rVert} {\left\lVert {h} \right\rVert} \leq \frac {\left\lVert {f(x_0+h)-f(x_0)-Ah} \right\rVert} {\left\lVert {h} \right\rVert} + \frac {\left\lVert {Ah} \right\rVert} {\left\lVert {h} \right\rVert} \leq \frac {\left\lVert {f(x_0+h)-f(x_0)-Ah} \right\rVert} {\left\lVert {h} \right\rVert} + \left\lVert {A} \right\rVert . Asf es diferenciable enx_0, el término\frac {\left\lVert {f(x_0+h)-f(x_0)} \right\rVert} {\left\lVert {h} \right\rVert} se mantiene acotado comoh va a 0. Por lo tanto,\frac{\left\lVert {F(x_0+h)-F(x_0) - BAh} \right\rVert}{\left\lVert {h} \right\rVert} va a cero, yF'(x_0) = BA, que es lo que se reclamó.
Derivadas parciales Existe otra manera de generalizar la derivada desde una dimensión. Podemos mantener constantes todas las variables menos una y tomar la derivada regular.
Dejarf \colon U \to {\mathbb{R}} ser una función en un conjunto abiertoU \subset {\mathbb{R}}^n. Si existe el siguiente límite escribimos\frac{\partial f}{\partial x^j} (x) := \lim_{h\to 0}\frac{f(x^1,\ldots,x^{j-1},x^j+h,x^{j+1},\ldots,x^n)-f(x)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h e_j)-f(x)}{h} . Llamamos a\frac{\partial f}{\partial x^j} (x) la derivada parcial def con respecto ax^j. A veces escribimosD_j f en su lugar.
Para un mapeof \colon U \to {\mathbb{R}}^m escribimosf = (f^1,f^2,\ldots,f^m), dondef^k están las funciones de valor real. Después definimos\frac{\partial f^k}{\partial x^j} (o lo escribimos comoD_j f^k).
Las derivadas parciales son más fáciles de calcular con toda la maquinaria del cálculo, y proporcionan una manera de calcular la derivada total de una función.
U \subset {\mathbb{R}}^nDéjese abrir y dejarf \colon U \to {\mathbb{R}}^m ser diferenciable enx_0 \in U. Entonces todas las derivadas parciales enx_0 existir y en términos de la base estándar de{\mathbb{R}}^n y{\mathbb{R}}^m,f'(x_0) se representa por la matriz\begin{bmatrix} \frac{\partial f^1}{\partial x^1}(x_0) & \frac{\partial f^1}{\partial x^2}(x_0) & \ldots & \frac{\partial f^1}{\partial x^n}(x_0) \\ \frac{\partial f^2}{\partial x^1}(x_0) & \frac{\partial f^2}{\partial x^2}(x_0) & \ldots & \frac{\partial f^2}{\partial x^n}(x_0) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f^m}{\partial x^1}(x_0) & \frac{\partial f^m}{\partial x^2}(x_0) & \ldots & \frac{\partial f^m}{\partial x^n}(x_0) \end{bmatrix} .
En otras palabrasf'(x_0) \, e_j = \sum_{k=1}^m \frac{\partial f^k}{\partial x^j}(x_0) \,e_k . Sih = \sum_{j=1}^n c^j e_j, entoncesf'(x_0) \, h = \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^m c^j \frac{\partial f^k}{\partial x^j}(x_0) \,e_k . nuevamente anote el patrón arriba-abajo con los índices siendo resumió. Eso es a propósito.
Fije aj y tenga en cuenta que\begin{split} \left\lVert {\frac{f(x_0+h e_j)-f(x_0)}{h} - f'(x_0) e_j} \right\rVert & = \left\lVert {\frac{f(x_0+h e_j)-f(x_0) - f'(x_0) h e_j}{h}} \right\rVert \\ & = \frac{\left\lVert {f(x_0+h e_j)-f(x_0) - f'(x_0) h e_j} \right\rVert}{\left\lVert {h e_j} \right\rVert} . \end{split} Ash va a 0, el lado derecho va a cero por diferenciabilidad def, y por lo tanto\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h e_j)-f(x_0)}{h} = f'(x_0) e_j . Note quef es vector valorado. Así que representanf por componentesf = (f^1,f^2,\ldots,f^m), y tenga en cuenta que tomar un límite en{\mathbb{R}}^m es lo mismo que tomar el límite en cada componente por separado. Por lo tanto para cualquierk la derivada parcial\frac{\partial f^k}{\partial x^j} (x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f^k(x_0+h e_j)-f^k(x_0)}{h} existe y es igual alk th componente def'(x_0) e_j, y estamos hechos.
Una de las consecuencias del teorema es que sif es diferenciable enU, entoncesf' \colon U \to L({\mathbb{R}}^n,{\mathbb{R}}^m) es una función continua si y sólo si todas las\frac{\partial f^k}{\partial x^j} son funciones continuas.
Derivadas de gradiente y direccionales
LetU \subset {\mathbb{R}}^n ser abierto yf \colon U \to {\mathbb{R}} es una función diferenciable. Definimos el gradiente como\nabla f (x) := \sum_{j=1}^n \frac{\partial f}{\partial x^j} (x)\, e_j . Aquí los índices superior-inferior realmente no coinciden.
Supongamos que\gamma \colon (a,b) \subset {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}}^n es una función diferenciable y la imagen\gamma\bigl((a,b)\bigr) \subset U. Escribir\gamma = (\gamma^1,\gamma^2,\ldots,\gamma^n). Dejarg(t) := f\bigl(\gamma(t)\bigr) . La funcióng es diferenciable y la derivada esg'(t) = \sum_{j=1}^n \frac{\partial f}{\partial x^j} \bigl(\gamma(t)\bigr) \frac{d\gamma^j}{dt} (t) = \sum_{j=1}^n \frac{\partial f}{\partial x^j} \frac{d\gamma^j}{dt} . Por conveniencia, a veces dejamos fuera los puntos donde estamos evaluando como en el lado derecho arriba. Observeg'(t) = (\nabla f) \bigl(\gamma(t)\bigr) \cdot \gamma'(t) = \nabla f \cdot \gamma' , dónde el punto es el producto escalar estándar.
Utilizamos esta idea para definir derivados en una dirección específica. Una dirección es simplemente un vector que apunta en esa dirección. Así que escoge un vectoru \in {\mathbb{R}}^n tal que\left\lVert {u} \right\rVert = 1. Arreglarx \in U. Entonces definir\gamma(t) := x + tu . Es fácil computar eso\gamma'(t) = u para todost. Por regla de cadena\frac{d}{dt}\Big|_{t=0} \bigl[ f(x+tu) \bigr] = (\nabla f) (x) \cdot u , donde la notación\frac{d}{dt}\big|_{t=0} representa la derivada evaluada ent=0. También calculamos directamente\frac{d}{dt}\Big|_{t=0} \bigl[ f(x+tu) \bigr] = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+hu)-f(x)}{h} . Obtenemos la derivada direccional, denotada por laD_u f (x) := \frac{d}{dt}\Big|_{t=0} \bigl[ f(x+tu) \bigr] , cual se puede computar por uno de los métodos anteriores.
Supongamos(\nabla f)(x) \neq 0. Por Cauchy-Schwarz la desigualdad que tenemos La\left\lvert {D_u f(x)} \right\rvert \leq \left\lVert {(\nabla f)(x)} \right\rVert . igualdad se logra cuandou es un múltiplo escalar de(\nabla f)(x). Es decir, cuandou = \frac{(\nabla f)(x)}{\left\lVert {(\nabla f)(x)} \right\rVert} , lleguemosD_u f(x) = \left\lVert {(\nabla f)(x)} \right\rVert. El gradiente apunta en la dirección en la que la función crece más rápido, es decir, en la dirección en la queD_u f(x) es máxima.
Limitando la derivada
Probemos un “teorema del valor medio” para las funciones de valor vectorial.
Si\varphi \colon [a,b] \to {\mathbb{R}}^n es diferenciable encendido(a,b) y continuo encendido[a,b], entonces existet tal que\left\lVert {\varphi(b)-\varphi(a)} \right\rVert \leq (b-a) \left\lVert {\varphi'(t)} \right\rVert .
Por teorema del valor medio en la función\bigl(\varphi(b)-\varphi(a) \bigr) \cdot \varphi(t) (el punto es el producto escalar de nuevo) obtenemos hayt tal que\bigl(\varphi(b)-\varphi(a) \bigr) \cdot \varphi(b) - \bigl(\varphi(b)-\varphi(a) \bigr) \cdot \varphi(a) = \left\lVert {\varphi(b)-\varphi(a)} \right\rVert^2 = \bigl(\varphi(b)-\varphi(a) \bigr) \cdot \varphi'(t) donde tratamos\varphi' como un simple vector de columnas de números por abuso de notación. Tenga en cuenta que en este caso, no es difícil verlo\left\lVert {\varphi'(t)} \right\rVert_{L({\mathbb{R}},{\mathbb{R}}^n)} = \left\lVert {\varphi'(t)} \right\rVert_{{\mathbb{R}}^n} (ejercicio FIXME).
Por Cauchy-Schwarz desigualdad\left\lVert {\varphi(b)-\varphi(a)} \right\rVert^2 = \bigl(\varphi(b)-\varphi(a) \bigr) \cdot \varphi'(t) \leq \left\lVert {\varphi(b)-\varphi(a)} \right\rVert \left\lVert {\varphi'(t)} \right\rVert . \qedhere
Recordemos que un conjuntoU es convexo si siemprex,y \in U, el segmento de línea dex ay yace enU.
[mv:prop:convexlip] DejarU \subset {\mathbb{R}}^n ser un conjunto abierto convexo,f \colon U \to {\mathbb{R}}^m una función diferenciable, yM tal que\left\lVert {f'(x)} \right\rVert \leq M para todosx \in U. Entoncesf está Lipschitz con constanteM, eso es\left\lVert {f(x)-f(y)} \right\rVert \leq M \left\lVert {x-y} \right\rVert para todosx,y \in U.
Fijarx yy adentroU y anotar eso(1-t)x+ty \in U para todost \in [0,1] por convexidad. Siguiente\frac{d}{dt} \Bigl[f\bigl((1-t)x+ty\bigr)\Bigr] = f'\bigl((1-t)x+ty\bigr) (y-x) . Por valor medio teorema arriba obtenemos\left\lVert {f(x)-f(y)} \right\rVert \leq \left\lVert {\frac{d}{dt} \Bigl[ f\bigl((1-t)x+ty\bigr) \Bigr] } \right\rVert \leq \left\lVert {f'\bigl((1-t)x+ty\bigr)} \right\rVert \left\lVert {y-x} \right\rVert \leq M \left\lVert {y-x} \right\rVert . \qedhere
Si noU es convexa la proposición no es verdadera. Para ver este hecho, toma el conjuntoU = \{ (x,y) : 0.9 < x^2+y^2 < 1.1 \} \setminus \{ (x,0) : x < 0 \} . Letf(x,y) be el ángulo que la línea desde el origen hasta(x,y) hace con elx eje positivo. Incluso puedes escribir la fórmula paraf:f(x,y) = 2 \operatorname{arctan}\left( \frac{y}{x+\sqrt{x^2+y^2}}\right) . Piense en escalera de caracol con espacio en el medio. Ver.
La función es diferenciable, y la derivada está acotadaU, lo cual no es difícil de ver. Pensando en lo que sucede cerca de donde elx eje negativo corta el anillo por la mitad, vemos que la conclusión no puede sostenerse.
Resolvamos la ecuación diferencialf' = 0.
SiU \subset {\mathbb{R}}^n está conectado yf \colon U \to {\mathbb{R}}^m es diferenciable yf'(x) = 0, para todosx \in U, entoncesf es constante.
Para cualquierax \in U, hay una pelotaB(x,\delta) \subset U. La bolaB(x,\delta) es convexa. Desde\left\lVert {f'(y)} \right\rVert \leq 0 para todosy \in B(x,\delta) entonces por el teorema,\left\lVert {f(x)-f(y)} \right\rVert \leq 0 \left\lVert {x-y} \right\rVert = 0, asíf(x) = f(y) para todosy \in B(x,\delta).
Esto significa quef^{-1}(c) está abierto para cualquierc \in {\mathbb{R}}^m. Supongamos que nof^{-1}(c) está vacío. Los dos conjuntosU' = f^{-1}(c), \qquad U'' = f^{-1}({\mathbb{R}}^m\setminus\{c\}) = \bigcup_{\substack{a \in {\mathbb{R}}^m\\a\neq c}} f^{-1}(a) son abiertos disjuntos, y ademásU = U' \cup U''. Entonces como noU' está vacío, yU está conectado, eso lo tenemosU'' = \emptyset. Entoncesf(x) = c para todosx \in U.
Funciones continuamente diferenciables
Decimos quef \colon U \subset {\mathbb{R}}^n \to {\mathbb{R}}^m es continuamente diferenciable, oC^1(U) sif es diferenciable yf' \colon U \to L({\mathbb{R}}^n,{\mathbb{R}}^m) es continuo.
QueU \subset {\mathbb{R}}^n se abran yf \colon U \to {\mathbb{R}}^m. La funciónf es continuamente diferenciable si y sólo si todas las derivadas parciales existen y son continuas.
Sin continuidad el teorema no se sostiene. El hecho de que existan derivados parciales no significa que esof sea diferenciable, de hecho,f puede que ni siquiera sea continuo. Ver los ejercicios FIXME.
Hemos visto que sif es diferenciable, entonces existen las derivadas parciales. Además, las derivadas parciales son las entradas de la matriz def'(x). Entonces sif' \colon U \to L({\mathbb{R}}^n,{\mathbb{R}}^m) es continuo, entonces las entradas son continuas, de ahí que las derivadas parciales sean continuas.
Para probar la dirección opuesta, supongamos que las derivadas parciales existen y son continuas. Arreglarx \in U. Si podemos mostrar quef'(x) existe estamos hechos, porque las entradas de la matrizf'(x) son entonces las derivadas parciales y si las entradas son funciones continuas, la función valorada en matrizf' es continua.
Hagamos inducción sobre la dimensión. Primero señalemos que la conclusión es cierta cuandon=1. En este caso la derivada es solo la derivada regular (ejercicio: debes comprobar que el hecho de que la función sea valorada por vector no es un problema).
Supongamos que la conclusión es cierta para{\mathbb{R}}^{n-1}, es decir, si nos restringimos a las primerasn-1 variables, la conclusión es verdadera. Es fácil ver que las primeras derivadasn-1 parciales def restringidas al conjunto donde se fija la última coordenada son las mismas que las def. En lo siguiente pensamos{\mathbb{R}}^{n-1} como un subconjunto de{\mathbb{R}}^n, ese es el conjunto en{\mathbb{R}}^n dondex^n = 0. A = \begin{bmatrix} \frac{\partial f^1}{\partial x^1}(x) & \ldots & \frac{\partial f^1}{\partial x^n}(x) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f^m}{\partial x^1}(x) & \ldots & \frac{\partial f^m}{\partial x^n}(x) \end{bmatrix} , \qquad A_1 = \begin{bmatrix} \frac{\partial f^1}{\partial x^1}(x) & \ldots & \frac{\partial f^1}{\partial x^{n-1}}(x) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f^m}{\partial x^1}(x) & \ldots & \frac{\partial f^m}{\partial x^{n-1}}(x) \end{bmatrix} , \qquad v = %\frac{\partial f}{\partial x^n}(x) = \begin{bmatrix} \frac{\partial f^1}{\partial x^n}(x) \\ \vdots \\ \frac{\partial f^m}{\partial x^n}(x) \end{bmatrix} .Dejemos que\epsilon > 0 se den. \delta > 0Sea tal que para cualquierak \in {\mathbb{R}}^{n-1} con\left\lVert {k} \right\rVert < \delta nosotros tenemos\frac{\left\lVert {f(x+k) - f(x) - A_1k} \right\rVert}{\left\lVert {k} \right\rVert} < \epsilon . Por continuidad de las derivadas parciales, supongamos que\delta es lo suficientemente pequeño como\left\lvert {\frac{\partial f^j}{\partial x^n}(x+h) - \frac{\partial f^j}{\partial x^n}(x)} \right\rvert < \epsilon , para que para todosj y todosh con\left\lVert {h} \right\rVert < \delta.
Dejarh = h_1 + t e_n ser un vector en{\mathbb{R}}^n dondeh_1 \in {\mathbb{R}}^{n-1} tal que\left\lVert {h} \right\rVert < \delta. Entonces\left\lVert {h_1} \right\rVert \leq \left\lVert {h} \right\rVert < \delta. Tenga en cuenta queAh = A_1h_1 + tv. \begin{split} \left\lVert {f(x+h) - f(x) - Ah} \right\rVert & = \left\lVert {f(x+h_1 + t e_n) - f(x+h_1) - tv + f(x+h_1) - f(x) - A_1h_1} \right\rVert \\ & \leq \left\lVert {f(x+h_1 + t e_n) - f(x+h_1) -tv} \right\rVert + \left\lVert {f(x+h_1) - f(x) - A_1h_1} \right\rVert \\ & \leq \left\lVert {f(x+h_1 + t e_n) - f(x+h_1) -tv} \right\rVert + \epsilon \left\lVert {h_1} \right\rVert . \end{split}Como todas las derivadas parciales existen entonces por el teorema del valor medio para cada unoj hay alguna\theta_j \in [0,t] (o[t,0] sit < 0), tal quef^j(x+h_1 + t e_n) - f^j(x+h_1) = t \frac{\partial f^j}{\partial x^n}(x+h_1+\theta_j e_n). Tenga en cuenta que si\left\lVert {h} \right\rVert < \delta entonces\left\lVert {h_1+\theta_j e_n} \right\rVert \leq \left\lVert {h} \right\rVert < \delta. Entonces para terminar la estimación\begin{split} \left\lVert {f(x+h) - f(x) - Ah} \right\rVert & \leq \left\lVert {f(x+h_1 + t e_n) - f(x+h_1) -tv} \right\rVert + \epsilon \left\lVert {h_1} \right\rVert \\ & \leq \sqrt{\sum_{j=1}^m {\left(t\frac{\partial f^j}{\partial x^n}(x+h_1+\theta_j e_n) - t \frac{\partial f^j}{\partial x^n}(x)\right)}^2} + \epsilon \left\lVert {h_1} \right\rVert \\ & \leq \sqrt{m}\, \epsilon \left\lvert {t} \right\rvert + \epsilon \left\lVert {h_1} \right\rVert \\ & \leq (\sqrt{m}+1)\epsilon \left\lVert {h} \right\rVert . \end{split}
El
Let jacobianoU \subset {\mathbb{R}}^n yf \colon U \to {\mathbb{R}}^n ser un mapeo diferenciable. Entonces define el jacobiano def atx comoJ_f(x) := \det\bigl( f'(x) \bigr) . A veces esto se escribe como\frac{\partial(f^1,\ldots,f^n)}{\partial(x^1,\ldots,x^n)} .
Esta última pieza de notación puede parecer algo confusa, pero es útil cuando es necesario especificar las variables exactas y los componentes de función utilizados.
El jacobianoJ_f es una función valorada real, y cuandon=1 es simplemente la derivada. Cuandof esC^1, entoncesJ_f es una función continua. De la regla de la cadena se deduce que:J_{f \circ g} (x) = J_f\bigl(g(x)\bigr) J_g(x) .
Se puede computar directamente que el determinante nos dice qué pasa con el área/volumen. Supongamos que estamos en{\mathbb{R}}^2. Entonces siA es una transformación lineal, se sigue por cálculo directo que la imagen directa del cuadrado unitarioA([0,1]^2) tiene área\left\lvert {\det(A)} \right\rvert. Obsérvese que el signo del determinante determina la “orientación”. Si el determinante es negativo, entonces los dos lados del cuadrado unitario se voltearán en la imagen. Afirmamos sin pruebas que esto sigue para las cifras arbitrarias, no sólo la plaza.
Del mismo modo, el jacobiano mide cuánto un mapeo diferenciable estira las cosas localmente, y si cambia la orientación.
Ejercicios
Dejarf \colon {\mathbb{R}}^2 \to {\mathbb{R}} ser dados porf(x,y) = \sqrt{x^2+y^2}. Demostrar que nof es diferenciable en el origen.
Definir una funciónf \colon {\mathbb{R}}^2 \to {\mathbb{R}} porf(x,y) := \begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2} & \text{ if $(x,y) \not= (0,0)$}, \\ 0 & \text{ if $(x,y) = (0,0)$}. \end{cases} a) Mostrar que las derivadas parciales\frac{\partial f}{\partial x} y\frac{\partial f}{\partial y} existen en todos los puntos (incluyendo el origen).
b) Demostrar que nof es continuo en el origen (y por lo tanto no diferenciable).
Definir una funciónf \colon {\mathbb{R}}^2 \to {\mathbb{R}} porf(x,y) := \begin{cases} \frac{x^2y}{x^2+y^2} & \text{ if $(x,y) \not= (0,0)$}, \\ 0 & \text{ if $(x,y) = (0,0)$}. \end{cases} a) Mostrar que las derivadas parciales\frac{\partial f}{\partial x} y\frac{\partial f}{\partial y} existen en todos los puntos.
b) Demostrar quef es continuo en el origen.
c) Demostrar que nof es diferenciable en el origen.