4: Secuencias y series infinitas
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EN ESTE CAPÍTULO consideramos infinitas secuencias y series de constantes y funciones de una variable real.
- SECCIÓN 4.1 introduce secuencias infinitas de números reales. Se define el concepto de límite de una secuencia, como es el concepto de divergencia de una secuencia a\(\pm\infty\). Se discuten secuencias delimitadas y secuencias monótona. Se definen el límite inferior y el límite superior de una secuencia. Se prueba el criterio de convergencia de Cauchy para secuencias de números reales.
- SECCIÓN 4.2 define una subsecuencia de una secuencia infinita. Mostramos que si una secuencia converge a un límite o diverge a\(\pm\infty\), entonces también lo hacen todas las subsecuencias de la secuencia. Los puntos límite y la amplitud de un conjunto de números reales se discuten en términos de secuencias de miembros del conjunto. La continuidad y la amplitud de una función se discuten en términos de los valores de la función en secuencias de puntos en su dominio.
- SECCIÓN 4.3 introduce conceptos de convergencia y divergencia\(\pm\infty\) para series infinitas de constantes. Demostramos el criterio de convergencia de Cauchy para una serie de constantes. En relación con series de términos positivos, consideramos la prueba de comparación, la prueba integral, la prueba de relación y la prueba de Raabe. Para las series generales, consideramos la convergencia absoluta y condicional, la prueba de Dirichlet, el reordenamiento de términos y la multiplicación de una serie infinita por otra.
- La SECCIÓN 4.4 trata de la convergencia puntual y uniforme de secuencias y series de funciones. Se prueban los criterios de convergencia uniforme de Cauchy para secuencias y series, así como la prueba de Dirichlet para la convergencia uniforme de una serie. Damos condiciones suficientes para que el límite de una secuencia de funciones o la suma de una serie infinita de funciones sea continuo, integrable o diferenciable.
- SECCIÓN 4.5 considera series de potencia. Se muestra que una serie de potencias que converge en un intervalo abierto define una función infinitamente diferenciable en ese intervalo. Definimos la serie Taylor de una función infinitamente diferenciable, y damos condiciones suficientes para que la serie Taylor converja a la función en algún intervalo. Se discuten las operaciones aritméticas con series de potencia.