Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

5.9.E: Problemas de Convergencia en Diferenciación e Integración

  • Page ID
    114008
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    \( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    ( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

    \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)

    \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)

    \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    \( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)

    \( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)

    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Completar todos los detalles de prueba en Teoremas 1 y\(3,\) Corolarios 1 y\(2,\) y Nota\(3 .\)

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Demostrar que las suposiciones (a) y (c) en el Teorema 1 pueden ser reemplazadas por\(F_{n} \rightarrow F\) (puntualmente) on\(I\). (De esta forma, el teorema se aplica\(E\) también a espacios incompletos.)
    \(\left.\text { [Hint: } F_{n} \rightarrow F(\text { pointwise } e), \text { together with formula ( } 3\right),\)implica\(F_{n} \rightarrow F\) (uniformemente)\(\text { on } I .]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Mostrar que el Teorema 1 falla sin suposición\((\mathrm{b}),\) incluso si\(F_{n} \rightarrow F\) (uniformemente) y si\(F\) es diferenciable en\(I .\)
    [Pista: Para un contraejemplo, pruebe\(F_{n}(x)=\frac{1}{n} \sin n x,\) cualquier no degenerado\(I .\) Verifique que\(F_{n} \rightarrow 0\) (uniformemente), sin embargo (b) y aserción (iii) fallan.

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Demostrar el teorema de Abel (\(4, §13,\)Problema del Capítulo 15) para la serie

    \ [\ suma a_ {n} (x-p) ^ {n},
    \]
    con todo\(a_{n}\) en\(E^{m}\left(^{*} \text { or in } C^{m}\right)\) pero con\(x, p \in E^{1}\).
    [Pista: Dividir\(a_{n}(x-p)^{n}\) en componentes.]

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Demostrar Corolario 3.
    \(\text { [Hint: By Abel's theorem (see Problem } 4),\)podemos poner
    \ [
    \ sum_ {n=0} ^ {\ infty} a_ {n} (x-p) ^ {n} =F (x)
    \]
    \(\left.\text { uniformly on }\left[p, x_{0}\right] \text { (respectively, }\left[x_{0}, p\right]\right) .\) Esto implica que\(F\) es relativamente continuo en\(x_{0} .\) (¿Por qué?) Así es\(f,\) por suposición. También\(f=F\) en\(\left[p, x_{0}\right)\left(\left(x_{0}, p\right]\right) .\) Mostrar que
    \ [
    f\ left (x_ {0}\ right) =\ lim f (x) =\ lim F (x) =F\ left (x_ {0}\ right)
    \]
    como\(x \rightarrow x_{0}\) desde la izquierda (derecha).]

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    En los siguientes casos, encuentre la serie Taylor de\(F\) aproximadamente 0 integrando la serie de Teorema de\(F^{\prime} .\) Uso 3 y Corolario 3 para encontrar el radio de convergencia\(r\) e investigar la convergencia en\(-r\) y\(r .\) Usar\((\mathrm{b})\) para encontrar una fórmula para\(\pi .\)
    (a) \(F(x)=\ln (1+x)\);
    b)\(F(x)=\arctan x\);
    c)\(F(x)=\arcsin x\).

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Demostrar que

    \ [\ int_ {0} ^ {x}\ frac {\ ln (1-t)} {t} d t=\ sum_ {n=1} ^ {\ infty}\ frac {x^ {n}} {n^ {2}}\ quad\ texto {para} x\ in [-1,1].
    \]
    [Pista: Usar Teorema 3 y Corolario\(3 .\) Tomar derivadas de ambos lados.]


    5.9.E: Problemas de Convergencia en Diferenciación e Integración is shared under a CC BY 1.0 license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.