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5.9.E: Problemas de Convergencia en Diferenciación e Integración

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Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Completar todos los detalles de prueba en Teoremas 1 y$$3,$$ Corolarios 1 y$$2,$$ y Nota$$3 .$$

Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Demostrar que las suposiciones (a) y (c) en el Teorema 1 pueden ser reemplazadas por$$F_{n} \rightarrow F$$ (puntualmente) on$$I$$. (De esta forma, el teorema se aplica$$E$$ también a espacios incompletos.)
$$\left.\text { [Hint: } F_{n} \rightarrow F(\text { pointwise } e), \text { together with formula ( } 3\right),$$implica$$F_{n} \rightarrow F$$ (uniformemente)$$\text { on } I .]$$

Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Mostrar que el Teorema 1 falla sin suposición$$(\mathrm{b}),$$ incluso si$$F_{n} \rightarrow F$$ (uniformemente) y si$$F$$ es diferenciable en$$I .$$
[Pista: Para un contraejemplo, pruebe$$F_{n}(x)=\frac{1}{n} \sin n x,$$ cualquier no degenerado$$I .$$ Verifique que$$F_{n} \rightarrow 0$$ (uniformemente), sin embargo (b) y aserción (iii) fallan.

Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Demostrar el teorema de Abel ($$4, §13,$$Problema del Capítulo 15) para la serie

\ [\ suma a_ {n} (x-p) ^ {n},
\]
con todo$$a_{n}$$ en$$E^{m}\left(^{*} \text { or in } C^{m}\right)$$ pero con$$x, p \in E^{1}$$.
[Pista: Dividir$$a_{n}(x-p)^{n}$$ en componentes.]

Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

Demostrar Corolario 3.
$$\text { [Hint: By Abel's theorem (see Problem } 4),$$podemos poner
\ [
\ sum_ {n=0} ^ {\ infty} a_ {n} (x-p) ^ {n} =F (x)
\]
$$\left.\text { uniformly on }\left[p, x_{0}\right] \text { (respectively, }\left[x_{0}, p\right]\right) .$$ Esto implica que$$F$$ es relativamente continuo en$$x_{0} .$$ (¿Por qué?) Así es$$f,$$ por suposición. También$$f=F$$ en$$\left[p, x_{0}\right)\left(\left(x_{0}, p\right]\right) .$$ Mostrar que
\ [
f\ left (x_ {0}\ right) =\ lim f (x) =\ lim F (x) =F\ left (x_ {0}\ right)
\]
como$$x \rightarrow x_{0}$$ desde la izquierda (derecha).]

Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

En los siguientes casos, encuentre la serie Taylor de$$F$$ aproximadamente 0 integrando la serie de Teorema de$$F^{\prime} .$$ Uso 3 y Corolario 3 para encontrar el radio de convergencia$$r$$ e investigar la convergencia en$$-r$$ y$$r .$$ Usar$$(\mathrm{b})$$ para encontrar una fórmula para$$\pi .$$
(a) $$F(x)=\ln (1+x)$$;
b)$$F(x)=\arctan x$$;
c)$$F(x)=\arcsin x$$.

Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

Demostrar que

\ [\ int_ {0} ^ {x}\ frac {\ ln (1-t)} {t} d t=\ sum_ {n=1} ^ {\ infty}\ frac {x^ {n}} {n^ {2}}\ quad\ texto {para} x\ in [-1,1].
\]
[Pista: Usar Teorema 3 y Corolario$$3 .$$ Tomar derivadas de ambos lados.]

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