5.9.E: Problemas de Convergencia en Diferenciación e Integración

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Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Completar todos los detalles de prueba en Teoremas 1 y\(3,\) Corolarios 1 y\(2,\) y Nota\(3 .\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Demostrar que las suposiciones (a) y (c) en el Teorema 1 pueden ser reemplazadas por\(F_{n} \rightarrow F\) (puntualmente) on\(I\). (De esta forma, el teorema se aplica\(E\) también a espacios incompletos.)
\(\left.\text { [Hint: } F_{n} \rightarrow F(\text { pointwise } e), \text { together with formula ( } 3\right),\)implica\(F_{n} \rightarrow F\) (uniformemente)\(\text { on } I .]\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Mostrar que el Teorema 1 falla sin suposición\((\mathrm{b}),\) incluso si\(F_{n} \rightarrow F\) (uniformemente) y si\(F\) es diferenciable en\(I .\)
[Pista: Para un contraejemplo, pruebe\(F_{n}(x)=\frac{1}{n} \sin n x,\) cualquier no degenerado\(I .\) Verifique que\(F_{n} \rightarrow 0\) (uniformemente), sin embargo (b) y aserción (iii) fallan.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Demostrar el teorema de Abel (\(4, §13,\)Problema del Capítulo 15) para la serie

\ [\ suma a_ {n} (x-p) ^ {n},
\]
con todo\(a_{n}\) en\(E^{m}\left(^{*} \text { or in } C^{m}\right)\) pero con\(x, p \in E^{1}\).
[Pista: Dividir\(a_{n}(x-p)^{n}\) en componentes.]

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Demostrar Corolario 3.
\(\text { [Hint: By Abel's theorem (see Problem } 4),\)podemos poner
\ [
\ sum_ {n=0} ^ {\ infty} a_ {n} (x-p) ^ {n} =F (x)
\]
\(\left.\text { uniformly on }\left[p, x_{0}\right] \text { (respectively, }\left[x_{0}, p\right]\right) .\) Esto implica que\(F\) es relativamente continuo en\(x_{0} .\) (¿Por qué?) Así es\(f,\) por suposición. También\(f=F\) en\(\left[p, x_{0}\right)\left(\left(x_{0}, p\right]\right) .\) Mostrar que
\ [
f\ left (x_ {0}\ right) =\ lim f (x) =\ lim F (x) =F\ left (x_ {0}\ right)
\]
como\(x \rightarrow x_{0}\) desde la izquierda (derecha).]

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

En los siguientes casos, encuentre la serie Taylor de\(F\) aproximadamente 0 integrando la serie de Teorema de\(F^{\prime} .\) Uso 3 y Corolario 3 para encontrar el radio de convergencia\(r\) e investigar la convergencia en\(-r\) y\(r .\) Usar\((\mathrm{b})\) para encontrar una fórmula para\(\pi .\)
(a) \(F(x)=\ln (1+x)\);
b)\(F(x)=\arctan x\);
c)\(F(x)=\arcsin x\).

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Demostrar que

\ [\ int_ {0} ^ {x}\ frac {\ ln (1-t)} {t} d t=\ sum_ {n=1} ^ {\ infty}\ frac {x^ {n}} {n^ {2}}\ quad\ texto {para} x\ in [-1,1].
\]
[Pista: Usar Teorema 3 y Corolario\(3 .\) Tomar derivadas de ambos lados.]