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8.1: Introducción a los espacios métricos

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    Si\(n\ge2\) y\(u_1\),\(u_2\),,\(u_n\) son miembros arbitrarios de\(A\), entonces

    e inducción producen la desigualdad\[ \rho(u_1,u_n)\le \sum_{i=1}^{n-1}\rho(u_i,u_{i+1}). \]

    Motivados por este ejemplo, en un espacio métrico arbitrario llamamos\(\rho(u,v)\) {}, y llamamos Definición ~

    {}.

    Ejemplo~ muestra que es posible definir una métrica en cualquier conjunto no vacío\(A\). De hecho, es posible definir infinitamente muchas métricas en cualquier conjunto con más de un miembro (Ejercicise~). Por lo tanto, para especificar un espacio métrico por completo, debemos especificar el par\((A,\rho)\), dónde\(A\) está el conjunto y\(\rho\) es la métrica. (En algunos casos no seremos tan precisos; por ejemplo, siempre nos referiremos a los números reales con la métrica\(\rho(u,v)=|u-v|\) simplemente como\(\R\).)

    Existe un tipo importante de espacio métrico que surge cuando se impone una definición de longitud a un espacio vectorial. Aunque suponemos que está familiarizado con la definición de un espacio vectorial, lo reafirmamos aquí para mayor comodidad. Limitamos la definición a espacios vectoriales sobre los números reales.

    Decimos que\(A\) es {} si (1) es cierto, y eso\(A\) es {} si (6) es cierto. Se puede demostrar que si\(B\) hay algún subconjunto no vacío del\(A\) que se cierra bajo adición vectorial y multiplicación escalar, entonces\(B\) junto con estas operaciones es en sí mismo un espacio vectorial. (Ver cualquier texto de álgebra lineal para la prueba.) Decimos que\(B\) es un {} de\(A\).

    De con\(u=x-y\),\(\rho(x,y)=N(x-y)\ge0\), con igualdad si y sólo si\(x=y\). Desde con\(u=x-y\) y\(a=-1\),

    \[ \rho(y,x)=N(y-x)=N(-(x-y))=N(x-y)=\rho(x,y). \]Desde

    con\(u=x-z\) y\(v=z-y\),\[ \rho(x,y)=N(x-y)\le N(x-z)+N(z-y)=\rho(x,z)+\rho(z,y). \] -2em2em

    Diremos que la métrica en es {}\(N\). Siempre que hablamos de un espacio vectorial normado\((A,N)\), hay que entender que lo estamos considerando como un espacio métrico\((A,\rho)\), donde\(\rho\) está la métrica inducida por\(N\).

    A menudo escribiremos\(N(u)\) como\(\|u\|\). En este caso denotaremos el espacio vectorial normado como\((A,\|\cdot\|)\).

    Desde\[ x=y+(x-y), \] Definición~ con\(u=y\) e\(v=x-y\) implica que

    \[ N(x)\le N(y)+N(x-y), \]o\[ N(x)-N(y)\le N(x-y). \] Intercambiar\(x\) y\(y\) rendimientos\[ N(y)-N(x)\le N(y-x). \] Desde\(N(x-y)=N(y-x)\) (Definición~

    con\(u=x-y\) y\(a=-1\)), las dos últimas desigualdades implican.

    En la Sección~5.1 definimos la norma de un vector\(\mathbf{X}=(x_1,x_2, \dots,x_n)\) en\(\R^n\) como\[ \|\mathbf{X}\|=\left(\sum_{i=1}^nx_i^2\right)^{1/2}. \]

    La métrica inducida por esta norma es

    \[ \rho(\mathbf{X},\mathbf{Y})=\left(\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2 \right)^{1/2}. \]Siempre que escribimos\(\R^n\) sin identificar específicamente la norma o métrica, nos estamos refiriendo\(\R^n\) con esta norma y esta métrica inducida.

    La siguiente definición proporciona infinitamente muchas normas y métricas sobre\(\R^n\).

    Para justificar esta definición, debemos verificar que en realidad define una norma. Ya que es claro que\(\|\mathbf{X}\|_p\ge0\) con igualdad si y solo si\(\mathbf{X}=\mathbf{0}\), y\(\|a\mathbf{X}\|_p=|a|\|\mathbf{X}\|_p\) si\(a\) es algún número real y\(\mathbf{X}\in \R^n\), esto se reduce a mostrar que

    \[\begin{equation} \label{eq:8.1.4} \|\mathbf{X}+\mathbf{Y}\|_p\le\|\mathbf{X}\|_p+\|\mathbf{Y}\|_p \end{equation}\]

    para todos\(\mathbf{X}\) y\(\mathbf{Y}\) en\(\R^n\). Desde\[ |x_i+y_i|\le |x_i|+|y_i|, \] sumar ambos lados de esta ecuación de\(i=1\) a\(n\) rendimientos con\(p=1\). Para manejar el caso donde\(p>1\), necesitamos los siguientes lemmas. La desigualdad establecida en el primer lema se conoce como {}.

    Dejar\(\alpha\) y\(\beta\) ser cualesquiera dos números positivos, y considerar la función\[ f(\beta)=\frac{\alpha^p}{p}+\frac{\beta^q}{q}-\alpha\beta, \]

    donde consideramos\(\alpha\) como una constante. Desde\(f'(\beta)=\beta^{q-1}-\alpha\) y\(f''(\beta)=(q-1)\beta^{q-2}>0\) para\(\beta>0\),\(f\) asume su valor mínimo en\([0,\infty)\) at\(\beta=\alpha^{1/(q-1)}=\alpha^{p-1}\). Pero\[ f(\alpha^{p-1})=\frac{\alpha^p}{p}+\frac{\alpha^{(p-1)q}}{q}-\alpha^p =\alpha^p\left(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}-1\right)=0. \] Por lo tanto,\[\begin{equation} \label{eq:8.1.7} \alpha\beta\le \frac{\alpha^p}{p}+\frac{\beta^q}{q}\mbox{\quad if \quad} \alpha, \beta\ge0. \end{equation}\] Ahora vamos\[ \alpha_i=\mu_i\left(\sum_{j=1}^n \mu_j^p\right)^{-1/p} \mbox{\quad and \quad} \beta_i=\nu_i\left(\sum_{j=1}^n \nu_j^q\right)^{-1/q}. \] De,\[ \alpha_i\beta_i\le\frac{\mu_i^p}{p}\left(\sum_{j=1}^n \mu_j^p\right)^{-1} +\frac{\nu_i^q}{q}\left(\sum_{j=1}^n \nu_j^q\right)^{-1}. \] De, sumando esto de\(i=1\) a\(n\) rendimientos\(\sum_{i=1}^n \alpha_i\beta_i\le1\), lo que implica.

    Nuevamente, vamos\(q=p/(p-1)\). Escribimos\[\begin{equation} \label{eq:8.1.9} \sum_{i=1}^n(u_i+v_i)^p=\sum_{i=1}^n u_i(u_i+v_i)^{p-1} +\sum_{i=1}^n v_i(u_i+v_i)^{p-1}. \end{equation}\] De la desigualdad de h"mayores con\(\mu_i=u_i\) y\(\nu_i=(u_i+v_i)^{p-1}\),\[\begin{equation} \label{eq:8.1.10} \sum_{i=1}^n u_i(u_i+v_i)^{p-1}\le \left(\sum_{i=1}^n u_i^p\right)^{1/p} \left(\sum_{i=1}^n(u_i+v_i)^p\right)^{1/q}, \end{equation}\] desde entonces\(q(p-1)=p\). De igual manera,\[ \sum_{i=1}^n v_i(u_i+v_i)^{p-1}\le \left(\sum_{i=1}^n v_i^p\right)^{1/p} \left(\sum_{i=1}^n(u_i+v_i)^p\right)^{1/q}. \] Esto,, e implica que\[ \sum_{i=1}^n(u_i+v_i)^p \le\left[\left(\sum_{i=1}^n u_i^p\right)^{1/p} +\left(\sum_{i=1}^n v_i^p\right)^{1/p}\right] \left(\sum_{i=1}^n(u_i+v_i)^p\right)^{1/q}. \]

    Ya que\(1-1/q=1/p\), esto implica, que se conoce como {}.

    Te dejamos verificar que la desigualdad de Minkowski implica si\(p>1\).

    Ahora definimos el\(\infty\) - {} on\(\R^n\) by Te\[\begin{equation} \label{eq:8.1.11} \|\mathbf{X}\|_\infty=\max\set{|x_i|}{1\le i\le n}. \end{equation}\] dejamos a ti verificar (Ejercicio~) que\(\|\cdot\|_\infty\) es una norma sobre\(\R^n\). La métrica asociada es\[ \rho_\infty(\mathbf{X},\mathbf{Y})=\max\set{|x_i-y_i|}{1\le i\le n}. \]

    El siguiente teorema justifica la notación en.

    Dejemos\(u_1\)\(u_2\),,,\(u_n\) ser no negativos y\(M=\max\set{u_i}{1\le i\le n}\). Definir\[ \sigma(p)=\left(\sum_{i=1}^n u_i^p\right)^{1/p}. \] Desde\(u_i/\sigma(p)\le1\) y\(p_2>p_1\),\[ \left(\frac{u_i}{\sigma(p_2)}\right)^{p_1}\ge \left(\frac{u_i}{\sigma(p_2)}\right)^{p_2}; \] por lo tanto,\[ \frac{\sigma(p_1)}{\sigma(p_2)} =\left(\sum_{i=1}^n\left(\frac{ u_i}{\sigma(p_2)}\right)^{p_1}\right)^{1/p_1} \ge\left(\sum_{i=1}^n\left(\frac{ u_i}{\sigma(p_2)}\right)^{p_2}\right)^{1/p_1}=1, \] así\(\sigma(p_1)\ge\sigma(p_2)\). Ya que\(M\le\sigma(p)\le Mn^{1/p}\),\(\lim_{p\to\infty}\sigma(p)= M\). Dejar\(u_i=|x_i|\) rendimientos y.

    Ya que la desigualdad de Minkowski es falsa si\(p<1\) (Ejercicio~), no es una norma en este caso. Sin embargo, si\(0<p<1\), entonces\[ \|\mathbf{X}\|_p=\sum_{i=1}^n|x_i|^p \] es una norma sobre\(\R^n\) (Ejercicio~).

    En esta sección y en los ejercicios consideraremos subconjuntos del espacio vectorial\(\R^\infty\) consistentes en secuencias\(\mathbf{X}=\{x_i\}_{i=1}^\infty\), con adición de vectores y multiplicación escalar definidas por\[ \mathbf{X}+\mathbf{Y}=\{x_i+y_i\}_{i=1}^\infty \mbox{\quad and \quad} r\mathbf{X}=\{rx_i\}_{i=1}^\infty. \]

    La métrica inducida por\(\|\cdot\|_p\) es\[ \rho_p(\mathbf{X},\mathbf{Y})=\left(\sum_{i=1}^\infty|x_i-y_i|^p\right)^{1/p}. \] De ahora en adelante, vamos a denotar\((\ell_p,\|\cdot\|_p)\) simplemente por\(\ell_p\).

    La métrica inducida por\(\|\cdot\|_\infty\) es\[ \rho_\infty(\mathbf{X},\mathbf{Y})=\sup\set{|x_i-y_i|}{i\ge 1}. \] De ahora en adelante, vamos a denotar\((\ell_\infty,\|\cdot\|_\infty)\) simplemente por\(\ell_\infty\).

    En este punto es posible que desee revisar Definition~ y Ejercicios~ y, que se aplican igualmente bien a subconjuntos de un espacio métrico\((A,\rho)\).

    Ahora vamos a exponer algunas definiciones y teoremas para un espacio métrico general\((A,\rho)\) que son análogos a las definiciones y teoremas presentados en la Sección~1.3 para los números reales. Para evitar repeticiones, se debe entender en todas estas definiciones que estamos discutiendo un espacio métrico dado\((A,\rho)\).

    Debemos demostrar que si\(u_1\in S_r(u_0)\), entonces hay\(\epsilon>0\) tal que\[\begin{equation} \label{eq:8.1.15} S_\epsilon(u_1)\subset S_r(u_0). \end{equation}\] Si\(u_1\in S_r(u_0)\), entonces\(\rho(u_1,u_0)<r\). Ya que\[ \rho(u,u_0)\le\rho(u,u_1)+\rho(u_1,u_0) \] para cualquiera\(u\) en\(A\),\(\rho(u,u_0)<r\) si\(\rho(u,u_1)<r-\rho(u_1,u_0)\). Por lo tanto, sostiene si\(\epsilon<r-\rho(u_1,u_0)\).

    Todo el espacio\(A\) está abierto y por lo tanto\(\emptyset\,(=A^c)\) está cerrado. No obstante, también\(\emptyset\) está abierto, pues negar esto es decir que contiene un punto que no es un punto interior, lo cual es absurdo porque no\(\emptyset\) contiene puntos. Ya que\(\emptyset\) está abierto,\(A\, (=\emptyset^c)\) está cerrado. Si\(A=\R\), estos son los únicos conjuntos que son tanto abiertos como cerrados, pero esto no es así en todos los espacios métricos. Por ejemplo, si\(\rho\) es la métrica discreta, entonces cada subconjunto de\(A\) es abierto y cerrado. (¡Verifica!)

    Un {} de un punto\(u_0\) es un conjunto que contiene cada punto de algún vecindario de\(u_0\) excepto el\(u_0\) mismo. (Si\(\rho\) es la métrica discreta, entonces el conjunto vacío es una vecindad eliminada de cada miembro de\(A\)!)

    La prueba del siguiente teorema es idéntica a la prueba Teorem~.

    Si bien esta definición es idéntica a Definition~, no se debe asumir que las conclusiones válidas para los números reales son necesariamente válidas en todos los espacios métricos. Por ejemplo, si\(A=\R\) y\(\rho(u,v)=|u-v|\), entonces\[ \overline S_r(u_0)=\set{u}{\rho(u,u_0)\le r}. \] Esto no es cierto en todos los espacios métricos (Ejercicio~).

    Para la prueba del siguiente teorema, véanse las pruebas de Teorem~ y Corolary~.

    Dado que los espacios métricos no están ordenados, los conceptos y resultados relativos a los números reales que dependen del orden para sus definiciones deben ser redefinidos y reexaminados en el contexto de los espacios métricos. El primer ejemplo de este tipo es la integridad. Para discutir este concepto, comenzamos definiendo un {} (más brevemente, un {}) en un espacio métrico\((A,\rho)\) como una función definida sobre los enteros\(n\ge k\) con valores en\(A\). Como hicimos para secuencias reales, denotamos una secuencia en\(A\) por, por ejemplo,\(\{u_n\}=\{u_n\}_{n=k}^\infty\). Una subsecuencia de una secuencia en\(A\) se define exactamente de la misma manera que una subsecuencia de una secuencia de números reales (Definición~).

    Te dejamos la prueba del siguiente teorema a ti. (Ver las pruebas de Teoremas ~ y.)

    -2em2em

    Observamos que si\(\rho\) es la métrica inducida por una norma\(\|\cdot\|\) en\(A\), entonces y puede ser reemplazada por\[ \lim_{n\to\infty}\|u_n-u\|=0 \] y\[ \|u_n-u_m\|<\epsilon\mbox{\quad and \quad}m,n>N, \] respectivamente.

    Supongamos que\(\lim_{n\to\infty}u_n=u\). Si\(\epsilon>0\), hay un entero\(N\) tal que\(\rho(u_n,u)<\epsilon/2\) si\(n>N\). Por lo tanto\(m\), si\(n>N\), entonces\[ \rho(u_n,u_m)\le\rho(u_n,u)+\rho(u,u_m)<\epsilon. \] -2em2em

    Este ejemplo plantea una cuestión que debemos resolver antes de ir más allá. En la Sección~1.1 definimos integridad para significar que los números reales tienen la siguiente propiedad:

    Axioma {}. Cada conjunto no vacío de números reales que está delimitado arriba tiene un supremo.

    Aquí estamos diciendo que los números reales están completos porque cada secuencia Cauchy de números reales tiene un límite. Ahora vamos a demostrar que estos dos usos de ``completo” son consistentes.

    La prueba del Teoremo~ requiere la existencia de los límites (finitos) inferiores y superiores de una secuencia acotada de números reales, consecuencia del Axiom~ {}. Sin embargo, la aserción en Axiom~ {} puede deducirse como teorema si Axiom~ {} es reemplazado por la suposición de que cada secuencia de Cauchy de números reales tiene un límite. Para ver esto, dejemos\(T\) ser un conjunto no vacío de números reales que está delimitado arriba. Primero mostramos que hay secuencias\(\{u_i\}_{i=1}^\infty\) y\(\{v_i\}_{i=1}^\infty\) con las siguientes propiedades para todos\(i\ge 1\):

    Ya que no\(T\) está vacío y delimitado arriba,\(u_1\) y se\(v_1\) puede elegir para satisfacer con\(i=1\). Claramente, se sostiene con\(i=1\). Deje\(w_1=(u_1+v_1)/2\), y deje\[ (u_2,v_2)= \left\{\casespace\begin{array}{ll} (w_1,v_1)&\mbox{ if $w_1\le t$ for some $t\in T$},\\ (u_1,w_1)&\mbox{ if $w_1\ge t$ for all $t\in T$}. \end{array}\right. \] En cualquier caso, y sostenga con\(i=2\) y sostenga con\(i=1\). Ahora supongamos que\(n>1\) y\(\{u_1, \dots,u_n\}\) y\(\{v_1, \dots, v_n\}\) han sido escogidos para que y sostengan\(1\le i\le n\) y aguanten\(1\le i\le n-1\). Deja\(w_n=(u_n+v_n)/2\) y deja\[ (u_{n+1},v_{n+1})= \left\{\casespace\begin{array}{ll} (w_n,v_n)&\mbox{ if $w_n\le t$ for some $t\in T$},\\ (u_n,w_n)&\mbox{ if $w_n\ge t$ for all $t\in T$}. \end{array}\right. \] Entonces y espera para\(1\le i\le n+1\) y

    sostiene para\(1\le i\le n\). Esto completa la inducción.

    Ahora e implican que\[ 0\le u_{i+1}-u_i\le2^{i-1}(v_1-u_1) \mbox{\quad and \quad} 0\le v_i-v_{i+1}\le2^{i-1}(v_1-u_1),\quad i\ge 1. \] Por un argumento similar al utilizado en Ejemplo~, esto implica que\(\{u_{i}\}_{i=1}^\infty\) y\(\{v_i\}_{i=1}^\infty\) son secuencias de Cauchy. Por lo tanto, las secuencias convergen (por nuestra suposición), y

    implica que tienen el mismo límite. Que\[ \lim_{i\to\infty}u_i=\lim_{i\to\infty}v_i=\beta. \] Si\(t\in T\), entonces\(v_i\ge t\) para todos\(i\), así\(\beta=\lim_{i\to\infty}v_i\ge t\); por lo tanto,\(\beta\) es un límite superior de\(T\). Ahora supongamos eso\(\epsilon>0\). Entonces hay un entero\(N\) tal que\(u_N>\beta-\epsilon\). De la definición de\(u_N\), hay un\(t_N\) en\(T\) tal que\(t_N\ge u_N>\beta-\epsilon\). Por lo tanto,\(\beta=\sup T\).

    -2em

    Decimos que una secuencia\(\{T_n\}\) de conjuntos es {} si\(T_{n+1}\subset T_n\) para todos\(n\).

    Supongamos que\((A,\rho)\) es completa y\(\{T_n\}\) es una secuencia anidada de subconjuntos cerrados no vacíos de\(A\) tal que\(\lim_{n\to\infty}d(T_n)=0\). Para cada uno\(n\), elija\(t_n\in T_n\). Si\(m\ge n\), entonces\(t_m\),\(t_n\in T_n\), así\(\rho(t_n,t_m)<d(T_n)\). Ya que\(\lim_{n\to\infty}d(T_n)=0\),\(\{t_n\}\) es una secuencia de Cauchy. Por lo tanto,\(\lim_{n\to\infty}t_n=\overline t\) existe. Ya que\(\overline t\) es un punto límite de\(T_n\) y\(T_n\) está cerrado para todos\(n\),\(\overline t\in T_n\) para todos\(n\). Por lo tanto,\(\overline t\in \cap_{n=1}^\infty T_n\); de hecho,\(\cap_{n=1}^\infty T_n =\{\overline t\}\). (¿Por qué?)

    Ahora supongamos que eso no\((A,\rho)\) está completo, y que\(\{t_n\}\) sea una secuencia de Cauchy en\(A\) que no tenga límite. Elige\(n_1\) para que\(\rho(t_n,t_{n_1})<1/2\) si\(n\ge n_1\), y deja\(T_1=\set{t}{\rho(t,t_{n_1})\le1}\). Ahora supongamos eso\(j>1\) y hemos especificado\(n_1\),,\(n_2\),,\(n_{j-1}\) y\(T_1\),,\(T_2\),,\(T_{j-1}\). Elige\(n_j>n_{j-1}\) para que\(\rho(t_n,t_{n_j})<2^{-j}\) si\(n\ge n_j\), y deja\(T_j=\set{t}{\rho(t,t_{n_j})\le2^{-j+1}}\). Entonces\(T_j\) está cerrado y no vacío,\(T_{j+1}\subset T_j\) para todos\(j\), y\(\lim_{j\to\infty}d(T_j)=0\). Además,\(t_n\in T_j\) si\(n\ge n_j\). Por lo tanto\(\overline t\in\cap_{j=1}^\infty T_j\), si\(\rho(t_n,\overline t)<2^{-j}\), entonces\(n\ge n_j\), así\(\lim_{n\to\infty}t_n=\overline t\), contrario a nuestra suposición. De ahí,\(\cap_{j=1}^\infty T_j=\emptyset\).

    Al considerar más de una métrica en un conjunto dado\(A\) debemos tener cuidado, por ejemplo, al decir que un conjunto está abierto, o que una secuencia converge, etc., ya que la verdad o falsedad del enunciado dependerá en general de la métrica así como del conjunto sobre el que se imponga. En esta situación siempre nos referiremos al espacio métrico por su ``nombre completo”; es decir,\((A,\rho)\) más que solo\(A\).

    Supongamos que eso sostiene. Deja que\(S\) sea un set abierto\((A,\rho)\) y déjalo\(x_0\in S\). Entonces hay\(\epsilon>0\) tal que\(x\in S\) si\(\rho(x,x_0)<\epsilon\), entonces la segunda desigualdad en implica que\(x_0\in S\) si\(\sigma(x,x_0)\le\epsilon/\beta\). Por lo tanto,\(S\) está abierto en\((A,\sigma)\).

    Por el contrario, supongamos que\(S\) es abrir\((A,\sigma)\) y dejar\(x_0\in S\). Entonces hay\(\epsilon>0\) tal que\(x\in S\) si\(\sigma(x,x_0)<\epsilon\), así la primera desigualdad en implica que\(x_0\in S\) si\(\rho(x,x_0)\le\epsilon\alpha\). Por lo tanto,\(S\) está abierto en\((A,\rho)\).

    Basta con demostrar que hay constantes positivas\(\alpha\) y\(\beta\) tal\[\begin{equation} \label{eq:8.1.19} \alpha\le\frac{N_1(\mathbf{X})}{N_2{(\bf X})}\le\beta\mbox{\quad if \quad} \mathbf{X}\ne\mathbf{0}. \end{equation}\] Demostraremos que si\(N\) hay alguna norma en\(\R^n\), hay constantes positivas\(a_N\) y\(b_N\) tal que\[\begin{equation} \label{eq:8.1.20} a_N\|\mathbf{X}\|_2\le N(\mathbf{X})\le b_N\|\mathbf{X}\|_2 \mbox{\quad if \quad} \mathbf{X}\ne\mathbf{0} \end{equation}\] y dejarle a usted verificar que esto implica con\(\alpha=a_{N_1}/b_{N_2}\) y \(\beta=b_{N_1}/a_{N_2}\).

    Escribimos\(\mathbf{X}-\mathbf{Y}=(x_1,x_2, \dots,x_n)\) como\[ \mathbf{X}-\mathbf{Y}=\sum_{i=1}^n\,(x_i-y_i)\mathbf{E}_i, \] donde\(\mathbf{E}_i\) está el vector con\(i\) th componente igual a\(1\) y todos los demás componentes iguales a\(0\). De Definition~,, y la inducción, por\[ N(\mathbf{X}-\mathbf{Y})\le\sum_{i=1}^n|x_i-y_i|N(\mathbf{E_i}); \] lo tanto, por la desigualdad de Schwarz,\[\begin{equation} \label{eq:8.1.21} N(\mathbf{X}-\mathbf{Y})\le K\|\mathbf{X}-\mathbf{Y}\|_2, \end{equation}\] donde\[ K=\left(\sum_{i=1}^nN^2(\mathbf{E_i})\right)^{1/2}. \] De y Teorem~,\[ |N(\mathbf{X})-N(\mathbf{Y})|\le K\|\mathbf{X}-\mathbf{Y}\|_2, \] así\(N\) es continuo en\(\R_2^n=\R^n\). Por Teoremo~, hay vectores\(\mathbf{U}_1\) y\(\mathbf{U}_2\) tal que\(\|\mathbf{U}_1\|_2= \|\mathbf{U}_2\|_2=1\),\[ N(\mathbf{U}_1)=\min\set{N(\mathbf{U})}{\|\mathbf{U}\|_2=1}, \mbox{\quad and \quad} N(\mathbf{U}_2)=\max\set{N(\mathbf{U})}{\|\mathbf{U}\|_2=1}. \] Si\(a_N=N(\mathbf{U}_1)\) y\(b_N=N(\mathbf{U}_2)\), entonces\(a_N\) y\(b_N\) son positivos (Definición~), y\[ a_N\le N\left(\frac{\mathbf{X}}{\|\mathbf{X}\|_2}\right)\le b_N \mbox{\quad if \quad} \mathbf{X}\ne\mathbf{0}. \] Esto y Definición~

    implicar.

    Te dejamos la prueba del siguiente teorema a ti.

    A lo largo de esta sección se debe entender que\((A,\rho)\) es un espacio métrico y que los conjuntos en consideración son subconjuntos de\(A\).

    Decimos que una colección\({\mathcal H}\) de subconjuntos abiertos de\(A\) es un {} de\(T\) if\(T\subset\cup\set{H}{H\in{\mathcal H}}\). Decimos que\(T\) {} si cada cubierta abierta\({\mathcal H}\) de\(T\) contiene una colección finita\(\widehat{\mathcal H}\) tal que\[ T\subset\cup\set{H}{H\in\widehat{\mathcal H}}. \]

    Desde Teorem~, cada subconjunto cerrado y delimitado no vacío de los números reales tiene la propiedad Heine—Borel. Además, desde Exercise~, cualquier conjunto no vacío de reales que tenga la propiedad Heine—Borel está cerrado y acotado. Dados estos resultados, definimos un conjunto compacto de reales para ser un conjunto cerrado y acotado, y ahora sacamos la siguiente conclusión:

    {}.

    La definición de delimitación de un conjunto de números reales se basa en el orden de los números reales: si\(a\) y\(b\) son números reales distintos entonces cualquiera\(a<b\) o\(b<a\). Dado que no existe tal orden en un espacio métrico general, introducimos la siguiente definición.

    Como veremos a continuación, un subconjunto cerrado y delimitado de un espacio métrico general puede no tener la propiedad Heine—Borel. Como queremos compacto” y tiene la propiedad Heine—Borel” para ser sinónimo en relación con un espacio métrico general, simplemente hacemos la siguiente definición.

    Supongamos que\(T\) tiene un subconjunto infinito\(E\) sin punto límite en\(T\). Entonces, si\(t\in T\), hay un conjunto abierto\(H_t\) tal que\(t\in H_t\) y\(H_t\) contiene a lo sumo un miembro de\(E\). Entonces\({\mathcal H}=\cup\set{H_t}{t\in T}\) es una cubierta abierta de\(T\), pero ninguna colección finita\(\{H_{t_1},H_{t_2}, \dots,H_{t_k}\}\) de conjuntos de\({\mathcal H}\) puede cubrir\(E\), ya que\(E\) es infinita. Por lo tanto, ninguna colección de este tipo puede cubrir\(T\); es decir, no\(T\) es compacta.

    Ahora supongamos que cada subconjunto infinito de\(T\) tiene un punto límite en\(T\), y deja\({\mathcal H}\) ser una cubierta abierta de\(T\). Primero mostramos que hay una secuencia\(\{H_i\}_{i=1}^\infty\) de conjuntos a partir de\({\mathcal H}\) esas cubiertas\(T\).

    Si\(\epsilon>0\), entonces\(T\) puede ser cubierto por\(\epsilon\) -barrios de finitamente muchos puntos de\(T\). Esto lo demostramos por contradicción. Vamos\(t_1\in T\). Si\(N_\epsilon(t_1)\) no cubre\(T\), hay\(t_2\in T\) tal que\(\rho(t_1,t_2)\ge\epsilon\). Ahora supongamos eso\(n\ge 2\) y hemos elegido\(t_1\),\(t_2\),,\(t_n\) tal que\(\rho(t_i,t_j)\ge\epsilon\),\(1\le i<j\le n\). Si\(\cup_{i=1}^nN_\epsilon(t_i)\) no cubre\(T\), hay\(t_{n+1}\in T\) tal que\(\rho(t_i,t_{n+1})\ge\epsilon\),\(1\le i\le n\). Por lo tanto\(\rho(t_i,t_j)\ge\epsilon\),,\(1\le i<j\le n+1\). De ahí que por inducción, si no hay colección finita de\(\epsilon\) -barrios de puntos en\(T\) cubiertas\(T\), hay una secuencia infinita\(\{t_n\}_{n=1}^\infty\) en\(T\) tal que\(\rho(t_i,t_j)\ge\epsilon\),\(i\ne j\). Tal secuencia no podría tener un punto límite, contrario a nuestra suposición.

    Al tomar\(\epsilon\) sucesivamente igual a\(1\),,\(1/2\),,\(1/n\), ahora podemos concluir que, para cada uno\(n\), hay puntos\(t_{1n}\),,\(t_{2n}\),\(t_{k_n,n}\) tal que\[ T\subset \bigcup_{i=1}^{k_n} N_{1/n}(t_{in}). \] denotan\(B_{in}=N_{1/n}(t_{in})\),\(1\le i\le n\),\(n\ge 1\), y definen\[ \{G_1,G_2,G_3,...\}=\{B_{11}, \dots, B_{k_1,1}, B_{12}, \dots, B_{k_2,2}, B_{13},\dots,B_{k_3,3}, \dots\}. \]

    Si\(t\in T\), hay una\(H\) en\({\mathcal H}\) tal que\(t\in H\). Ya que\(H\) está abierto, hay\(\epsilon>0\) tal que\(N_\epsilon(t)\subset H\). Ya que\(t\in G_j\) para infinitamente muchos valores de\(j\) y\(\lim_{j\to\infty}d(G_j)=0\),\[ G_j\subset N_\epsilon(t)\subset H \] para algunos\(j\). Por lo tanto, si\(\{G_{j_i}\}_{i=1}^\infty\) es la subsecuencia de\(\{G_j\}\) tal que\(G_{j_i}\) es un subconjunto de algunos\(H_i\) en\({\mathcal H}\) (los no\(\{H_i\}\) son necesariamente distintos), entonces\[\begin{equation} \label{eq:8.2.1} T\subset\bigcup_{i=1}^\infty H_i. \end{equation}\]

    Ahora vamos a mostrar eso\[\begin{equation} \label{eq:8.2.2} T\subset \bigcup_{i=1}^N H_i. \end{equation}\] para algún entero\(N\). Si esto no es así, hay una secuencia infinita\(\{t_n\}_{n=1}^\infty\) en\(T\) tal que\[\begin{equation} \label{eq:8.2.3} t_n\notin \bigcup_{i=1}^n H_i, \quad n\ge 1. \end{equation}\] De nuestra suposición,\(\{t_n\}_{n=1}^\infty\) tiene un límite\(\overline t\) en\(T\). De,\(\overline t\in H_k\) para algunos\(k\), así que\(N_\epsilon(\overline t)\subset H_k\) para algunos\(\epsilon>0\). Ya que\(\lim_{n\to\infty}t_n=\overline t\), hay un entero\(N\) tal\[ t_n\in N_\epsilon(\overline t)\subset H_k\subset \bigcup_{i=1}^nH_i,\quad n>k, \] que contradice. Esto verifica, por lo que\(T\) es compacto.

    Cualquier subconjunto finito de un espacio métrico obviamente tiene la propiedad Heine—Borel y, por lo tanto, es compacto. Dado que Theorem~ no trata de conjuntos finitos, a menudo es más conveniente trabajar con el siguiente criterio de compacidad, que también es aplicable a conjuntos finitos.

    Supongamos que\(T\) es compacto y\(\{t_n\}\subset T\). Si sólo\(\{t_n\}\) tiene finitamente muchos términos distintos, hay un\(\overline t\) en\(T\) tal que\(t_n=\overline t\) para infinitamente muchos valores de\(n\); si esto es así para\(n_1<n_2<\cdots\), entonces\(\lim_{j\to\infty}t_{n_j}=\overline t\). Si\(\{t_n\}\) tiene infinitamente muchos términos distintos, entonces\(\{t_n\}\) tiene un punto límite\(\overline t\) en\(T\), entonces hay enteros\(n_1<n_2<\cdots\) tales que\(\rho(t_{n_j},\overline t)<1/j\); por lo tanto,\(\lim_{j\to\infty}t_{n_j}=\overline t\).

    Por el contrario, supongamos que cada secuencia en\(T\) tiene una subsecuencia que converge a un límite en\(T\). Si\(S\) es un subconjunto infinito de\(T\), podemos elegir una secuencia\(\{t_n\}\) de puntos distintos en\(S\). Por suposición,\(\{t_n\}\) tiene una subsecuencia que converge a un miembro\(\overline t\) de\(T\). Ya que\(\overline t\) es un punto límite de\(\{t_n\}\), y por lo tanto de\(T\),\(T\) es compacto.

    Por Teorem~,\(\{t_n\}\) tiene una subsecuencia\(\{t_{n_j}\}\) tal que\[\begin{equation} \label{eq:8.2.4} \lim_{j\to\infty}t_{n_j}=\overline t\in T. \end{equation}\] Vamos a mostrar eso\(\lim_{n\to\infty}t_n=\overline t\).

    Supongamos que\(\epsilon>0\). Ya que\(\{t_n\}\) es una secuencia de Cauchy, hay un entero\(N\) tal que\(\rho(t_n,t_m)<\epsilon\),\(n>m\ge N\). De, hay\(m=n_j\ge N\) tal que\(\rho(t_m,\overline t)<\epsilon\). Por lo tanto,\[ \rho(t_n,\overline t)\le \rho(t_n,t_m)+\rho(t_m,\overline t)<2\epsilon,\quad n\ge m. \] -2em2em

    Supongamos que\(\overline t\) es un punto límite de\(T\). Para cada uno\(n\), elija\(t_n\ne\overline t\in B_{1/n}(\overline t)\cap T\). Entonces\(\lim_{n\to\infty}t_n=\overline t\). Ya que cada subsecuencia de\(\{t_n\}\) también converge a\(\overline t\),\(\overline t\in T\), por Teorem~. Por lo tanto,\(T\) está cerrado.

    La familia de bolas abiertas unitarias\({\mathcal H}=\set{B_1(t)}{t\in T}\) es una cubierta abierta de\(T\). Ya que\(T\) es compacto, hay finitamente muchos miembros\(t_1\),\(t_2\),,\(t_n\) de\(T\) tal que\(S\subset \cup_{j=1}^nB_1(t_j)\). Si\(u\) y\(v\) son miembros arbitrarios de\(T\), entonces\(u\in B_1(t_r)\) y\(v\in B_1(t_s)\) para algunos\(r\) y\(s\) en\(\{1,2, \dots,n\}\), así\[\begin{eqnarray*} \rho(u,v)\ar\le \rho(u,t_r)+\rho(t_r,t_s)+\rho(t_s,v)\\ \ar\le 2+\rho(t_r,t_s)\le2+\max\set{\rho(t_i,t_j)}{1\le i<j\le n}. \end{eqnarray*}\] Por lo tanto,\(T\) está acotado.

    Lo contrario de Teorem~ es falso; por ejemplo, si\(A\) hay algún conjunto infinito equipado con la métrica discreta (Ejemplo~.), entonces cada subconjunto de\(A\) es acotado y cerrado. Sin embargo, si\(T\) es un subconjunto infinito de\(A\), entonces\({\mathcal H}=\set{\{t\}}{t\in T}\) es una cubierta abierta de\(T\), pero no una subfamilia finita de\({\mathcal H}\) cubiertas\(T\).

    Te dejamos a ti (Ejercicio~) demostrar que cada conjunto totalmente acotado está acotado y que lo contrario es falso.

    Vamos a demostrar que si no\(T\) está totalmente acotado, entonces no\(T\) es compacto. Si no\(T\) está totalmente acotado, hay\(\epsilon>0\) tal que no hay una\(\epsilon\) red finita para\(T\). Vamos\(t_1\in T\). Entonces debe haber una\(t_2\) en\(T\) tal que\(\rho(t_1,t_2)>\epsilon\). (Si no, el conjunto singleton\(\{t_1\}\) sería una\(\epsilon\) red finita para\(T\).) Ahora supongamos eso\(n\ge 2\) y hemos elegido\(t_1\),\(t_2\),,\(t_n\) tal que\(\rho(t_i,t_j)\ge\epsilon\),\(1\le i<j\le n\). Entonces debe haber\(t_{n+1}\in T\) tal que\(\rho(t_i,t_{n+1})\ge\epsilon\),\(1\le i\le n\). (Si no,\(\{t_1,t_2, \dots,t_n\}\) sería una finita\(\epsilon\) -net para\(T\).) Por lo tanto\(\rho(t_i,t_j)\ge\epsilon\),,\(1\le i<j\le n+1\). De ahí que por inducción, hay una secuencia infinita\(\{t_n\}_{n=1}^\infty\) en\(T\) tal que\(\rho(t_i,t_j)\ge\epsilon\),\(i\ne j\). Dado que tal secuencia no tiene punto límite, no\(T\) es compacta, por Teoremo~.

    Dejar\(S\) ser un subconjunto infinito de\(T\), y dejar\(\{s_i\}_{i=1}^\infty\) ser una secuencia de distintos miembros de\(S\). Mostraremos que\(\{s_i\}_{i=1}^\infty\) tiene una subsecuencia convergente. Ya que\(T\) está cerrado, el límite de esta subsecuencia está en\(T\), lo que implica que\(T\) es compacto, por Teorem~.

    Para\(n\ge1\), deja\(T_{1/n}\) ser una finita\(1/n\) -net para\(T\). Vamos\(\{s_{i0}\}_{i=1}^\infty=\{s_i\}_{i=1}^\infty\). Ya que\(T_1\) es finito y\(\{s_{i0}\}_{i=1}^\infty\) es infinito, debe haber un miembro\(t_1\) de\(T_1\) tal que\(\rho(s_{i0},t_1)\le1\) para infinitamente muchos valores de\(i\). \(\{s_{i1}\}_{i=1}^\infty\)Sea la subsecuencia de\(\{s_{i0}\}_{i=1}^\infty\) tal que\(\rho(s_{i1},t_1)\le1\).

    Seguimos por inducción. Supongamos que\(n>1\) y hemos elegido una subsecuencia infinita\(\{s_{i,n-1}\}_{i=1}^\infty\) de\(\{s_{i,n-2}\}_{i=1}^\infty\). Ya que\(T_{1/n}\) es finito y\(\{s_{i,n-1}\}_{i=1}^\infty\) es infinito, debe haber miembro\(t_n\) de\(T_{1/n}\) tal que\(\rho(s_{i,n-1},t_n)\le1/n\) para infinitamente muchos valores de\(i\). \(\{s_{in}\}_{i=1}^\infty\)Sea la subsecuencia de\(\{s_{i,n-1}\}_{i=1}^\infty\) tal que\(\rho(s_{in},t_n)\le1/n\). Desde el triángulo de la desigualdad,\[\begin{equation} \label{eq:8.2.5} \rho(s_{in},s_{jn})\le2/n,\quad i,j\ge1,\quad n\ge 1. \end{equation}\] Ahora vamos\(\widehat s_i=s_{ii}\),\(i\ge 1\). Entonces\(\{\widehat s_i\}_{i=1}^\infty\) es una secuencia infinita de miembros de\(T\). Moroever, si\(i,j\ge n\), entonces\(\widehat s_i\) y ambos\(\widehat s_j\) están incluidos en\(\{s_{in}\}_{i=1}^\infty\), así implica eso\(\rho(\widehat s_i,\widehat s_j)\le2/n\); es decir,\(\{\widehat s_i\}_{i=1}^\infty\) es una secuencia de Cauchy y por lo tanto tiene un límite, ya que\((A,\rho)\) es completa.

    Vamos a demostrar que\(T\) está totalmente acotado en\(\ell_\infty\). Ya que\(\ell_\infty\) está completo (Ejercicio), el Teorema implicará entonces que\(T\) es compacto.

    Vamos\(\epsilon>0\). Elige\(N\) para que\(\mu_i\le\epsilon\) si\(i>N\). Dejar\(\mu=\max\set{\mu_i}{1\le i\le n}\) y dejar\(p\) ser un entero tal que\(p\epsilon>\mu\). Vamos\(Q_\epsilon=\set{r_i\epsilon}{r_i= \mbox{integer in}[-p,p]}\). Entonces el subconjunto de\(\ell_\infty\) tal que\(x_i\in Q_\epsilon\),\(1\le i\le N\), y\(x_i=0\),\(i>N\), es una finita\(\epsilon\) -net para\(T\).

    En Ejemplo~ mostramos que\(C[a,b]\) es un espacio métrico completo bajo la métrica Ahora\[ \rho(f,g)=\|f-g\|=\max\set{|f(x)-g(x)|}{a\le x\le b}. \] daremos condiciones necesarias y suficientes para\(C[a,b]\) que un subconjunto de sea compacto.

    Teoremo~ implica que para cada uno\(f\) en\(C[a,b]\) hay una constante\(M_f\) {}\(f\), tal que\[ |f(x)|\le M_f \mbox{\quad if \quad} a\le x\le b, \] y Teorem~ implica que hay una constante\(\delta_f\) {} tal que\[ |f(x_1)-f(x_2)|\le \epsilon \mbox{\quad if \quad} x_1,x_2\in [a,b]\mbox{\quad and \quad} |x_1-x_2|<\delta_f. \] La diferencia en Definición~ es que la {}\(M\) y se\(\delta\) aplican a {}\(f\) en \(T\).

    Por necesidad, supongamos que\(T\) es compacto. Después\(T\) se cierra (Teoremo~) y totalmente acotado (Teoremo~). Por lo tanto\(\epsilon>0\), si, hay un subconjunto finito\(T_\epsilon=\{g_1,g_2, \dots,g_k\}\) de\(C[a,b]\) tal que si\(f\in T\), entonces\(\|f-g_i\|\le \epsilon\) para algunos\(i\) en\(\{1,2, \dots,k\}\). Si dejamos temporalmente\(\epsilon=1\), esto implica lo\[ \|f\|=\|(f-g_i)+g_i\|\le\|f-g_i\|+\|g_i\|\le 1+\|g_i\|, \] que implica con\[ M=1+\max\set{\|g_i\|}{1\le i\le k}. \]

    Para, nuevamente dejamos\(\epsilon\) ser arbitrarios, y escribimos\[\begin{equation} \label{eq:8.2.8} \begin{array}{rcl} |f(x_1)-f(x_2)| \ar\le |f(x_1)-g_i(x_1)|+|g_i(x_1)-g_i(x_2)|+|g_i(x_2)-f(x_2)|\\ \ar\le |g_i(x_1)-g_i(x_2)|+2\|f-g_i\|\\ \ar< |g_i(x_1)-g_i(x_2)|+2\epsilon. \end{array} \end{equation}\] Dado que cada una de las finitamente muchas funciones\(g_1\)\(g_2\),,,\(g_k\) es uniformemente continua en\([a,b]\) (Teorem~), hay\(\delta>0\) tal que\[ |g_i(x_1)-g_i(x_2)|<\epsilon\mbox{\quad if \quad} |x_1-x_2|<\delta,\quad 1\le i\le k. \] Esto e implica con\(\epsilon\) reemplazado por\(3\epsilon\). Dado que esta sustitución no tiene ninguna consecuencia, esto demuestra la necesidad.

    Por suficiencia, vamos a demostrar que\(T\) está totalmente acotado. Ya que\(T\) está cerrado por suposición y\(C[a,b]\) está completo, Teorem~ implicará entonces que\(T\) es compacto.

    Dejar\(m\) y\(n\) ser enteros positivos y dejar\[ \xi_r=a+\frac{r}{m}(b-a),\quad 0\le r\le m, \mbox{\quad and \quad} \eta_s=\frac{sM}{n},\quad -n\le s\le n; \] que es decir,\(a=\xi_0<\xi_1<\cdots<\xi_m=b\) es una partición de\([a,b]\) en subintervalos de longitud\((b-a)/m\), y\(-M=\eta_{-n}<\eta_{-n+1}<\cdots<\eta_{n-1}<\eta_n=M\) es una partición de la

    segmento del\(y\) eje -entre\(y=-M\) y\(y=M\) en subsegmentos de longitud\(M/n\). Dejar\(S_{mn}\) ser el subconjunto de\(C[a,b]\) que consiste en funciones\(g\) tales que\[ \{g(\xi_0), g(\xi_1), \dots, g(\xi_m)\} \subset\{\eta_{-n},\eta_{-n+1} \dots,\eta_{n-1}, \eta_n\} \] y\(g\) es lineal en\([\xi_{i-1},\xi_i]\),\(1\le i\le m\). Dado que sólo hay\((m+1)(2n+1)\) puntos de la forma\((\xi_r,\eta_s)\),\(S_{mn}\) es un subconjunto finito de\(C[a,b]\).

    Ahora supongamos eso\(\epsilon>0\), y elige\(\delta>0\) satisfacer. Elige\(m\) y\(n\) para que\((b-a)/m<\delta\) y\(2M/n<\epsilon\). Si\(f\) es un miembro arbitrario de\(T\), hay un\(g\) en\(S_{mn}\) tal que\[\begin{equation} \label{eq:8.2.9} |g(\xi_i)-f(\xi_i)|<\epsilon,\quad 0\le i\le m. \end{equation}\] Si\(0\le i\le m-1\),\[\begin{equation} \label{eq:8.2.10} |g(\xi_i)-g(\xi_{i+1})|=|g(\xi_i)-f(\xi_i)|+|f(\xi_i)-f(\xi_{i+1})| +|f(\xi_{i+1})-g(\xi_{i+1})|. \end{equation}\] Desde,\(\xi_{i+1}-\xi_i<\delta\),, e implica que\[ |g(\xi_i)-g(\xi_{i+1})|<3\epsilon. \] Por lo tanto,\[\begin{equation} \label{eq:8.2.11} |g(\xi_i)-g(x)|<3\epsilon,\quad \xi_i\le x\le \xi_{i+1}, \end{equation}\] ya que\(g\) es lineal en\([\xi_i,\xi_{i+1}]\).

    Ahora vamos a\(x\) ser un punto arbitrario en\([a,b]\), y elegir\(i\) así que\(x\in[\xi_i,\xi_{i+1}]\). Entonces\[ |f(x)-g(x)|\le|f(x)-f(\xi_i)|+|f(\xi_i)-g(\xi_i)|+|g(\xi_i)-g(x)|, \] así,, e insinuar que\(|f(x)-g(x)|<5\epsilon\),\(a\le x\le b\). Por lo tanto,\(S_{mn}\) es una finita\(5\epsilon\) -net para\(T\), por lo que\(T\) está totalmente acotada.

    \(T\)Sea el cierre de\({\mathcal F}\); es decir,\(f\in T\) si y sólo si cualquiera\(f\in T\) o\(f\) es el límite uniforme de una secuencia de miembros de\({\mathcal F}\). Entonces también\(T\) está uniformemente acotada y equicontinua (verificar), y\(T\) se cierra. De ahí,\(T\) es compacto, por Teorem~. Por lo tanto,\({\mathcal F}\) tiene un punto límite en\(T\). (En este contexto, el punto límite es una función\(f\) en\(T\).) Dado que\(f\) es un punto límite de\({\mathcal F}\), hay para cada entero\(n\) una función\(f_n\) en\({\mathcal F}\) tal que\(\|f_n-f\|<1/n\); es decir,\(\{f_n\}\) converge uniformemente a\(f\) on\([a,b]\).

    En Capíto~ estudiamos funciones de valor real definidas en subconjuntos de\(\R^n\), y en Capíto~6.4. estudiamos funciones definidas en subconjuntos de\(\R^n\) con valores en\(\R^m\). Estos son ejemplos de funciones definidas en un espacio métrico con valores en otro espacio métrico. (Por supuesto, los dos espacios son iguales si\(n=m\).)

    En esta sección consideramos brevemente las funciones definidas en subconjuntos de un espacio métrico\((A,\rho)\) con valores en un espacio métrico\((B,\sigma)\). Indicamos que\(f\) es tal función escribiendo\[ f:(A,\rho)\to(B,\sigma). \] Los {} y {} de\(f\) son los conjuntos\[ D_f=\set{u\in A}{f(u)\mbox{ is defined}} \] y\[ R_f=\set{v\in B}{v=f(u)\mbox{ for some }u\mbox{ in }D_f}. \]

    Tenga en cuenta que se puede escribir como\[ f(D_f\cap N_\delta(\widehat u))\subset N_\epsilon(f(\widehat u)). \] También,\(f\) es automáticamente continuo en cada punto aislado de\(D_f\). (¿Por qué?)

    Supongamos que eso es cierto, y dejar que\(\{u_n\}\) sea una secuencia en la\(D_f\) que satisfaga. Deja\(\epsilon>0\) y elige\(\delta>0\) satisfacer. De, hay un entero\(N\) tal que\(\rho(u_n,\widehat u)<\delta\) si\(n\ge N\). Por lo tanto,\(\sigma(f(u_n),\widehat v)<\epsilon\) si\(n\ge N\), lo que implica.

    Por lo contrario, supongamos que eso es falso. Entonces hay una\(\epsilon_0>0\) y una secuencia\(\{u_n\}\) en\(D_f\) tal que\(\rho(u_n,\widehat u)<1/n\) y\(\sigma(f(u_n),\widehat v)\ge\epsilon_0\), así es falsa.

    Te dejamos la prueba de los dos siguientes teoremas a ti.

    Dejar\(\{v_n\}\) ser una secuencia infinita en\(f(T)\). Para cada uno\(n\),\(v_n=f(u_n)\) para algunos\(u_n\in T\). Ya que\(T\) es compacto,\(\{u_n\}\) tiene una subsecuencia\(\{u_{n_j}\}\) tal que\(\lim_{j\to\infty}u_{n_j}=\widehat u\in T\) (Teorem~). Del Teorem~,\(\lim_{j\to\infty}f(u_{n_j})=f(\widehat u)\); es decir,\(\lim_{j\to\infty}v_{n_j}=f(\widehat u)\). Por lo tanto,\(f(T)\) es compacto, nuevamente por Teorem~.

    Si no\(f\) es uniformemente continuo encendido\(T\), entonces para algunos\(\epsilon_0>0\) hay secuencias\(\{u_n\}\) y\(\{v_n\}\) en\(T\) tal que\(\rho(u_n,v_n)<1/n\) y\[\begin{equation} \label{eq:8.3.6} \sigma(f(u_n),f(v_n))\ge\epsilon_0. \end{equation}\] Since\(T\) es compacto,\(\{u_n\}\) tiene una subsecuencia\(\{u_{n_k}\}\) que converge a un límite\(\widehat u\) en\(T\) (Teoremo~). Ya que\(\rho(u_{n_k},v_{n_k})<1/n_k\),\(\lim_{k\to\infty}v_{n_k}=\widehat u\) también. Entonces\[ \lim_{k\to\infty}f(u_{n_k})=\dst\lim_{k\to \infty}f(v_{n_k})=f(\widehat u) \] (Teorem~~), lo que contradice.

    Observamos que una contracción de\((A,\rho)\) es uniformemente continua en\(A\).

    Para ver que no puede tener más de una solución, supongamos que\(u=f(u)\) y\(v=f(v)\). Entonces\[\begin{equation} \label{eq:8.3.9} \rho(u,v)=\rho(f(u),f(v)). \end{equation}\] Sin embargo, implica que\[\begin{equation} \label{eq:8.3.10} \rho(f(u),f(v))\le\alpha\rho(u,v). \end{equation}\] Desde e implica eso\[ \rho(u,v)\le\alpha\rho(u,v) \] y\(\alpha<1\), de ello se deduce que\(\rho(u,v)=0\). De ahí\(u=v\).

    Ahora vamos a mostrar que tiene una solución. Con\(u_0\) arbitrario, definir\[\begin{equation}\label{eq:8.3.11} u_n=f(u_{n-1}),\quad n\ge1. \end{equation}\] Vamos a mostrar que\(\{u_n\}\) converge. Desde y,\[\begin{equation} \label{eq:8.3.12} \rho(u_{n+1},u_n)=\rho(f(u_n),f(u_{n-1}))\le\alpha\rho(u_n,u_{n-1}). \end{equation}\]

    La desigualdad\[\begin{equation}\label{eq:8.3.13} \rho(u_{n+1},u_n)\le \alpha^n \rho(u_1,u_0),\quad n\ge0, \end{equation}\] se deriva por inducción de. Si\(n>m\), aplicación repetida del triángulo la desigualdad rinde\[ \rho(u_n,u_m) \le \rho(u_n,u_{n-1})+\rho(u_{n-1},u_{n-2})+\cdots+\rho(u_{m+1},u_m), \] y rinde\[ \rho(u_n,u_m)\le\rho(u_1,u_0)\alpha^m(1+\alpha+\cdots+\alpha^{n-m-1})< \frac{\alpha^m}{1-\alpha}. \] Ahora se deduce eso\[ \rho(u_n,u_m)<\frac{\rho(u_1,u_0)}{1-\alpha}\alpha^N\mbox{\quad if\quad} n,m>N, \] y, ya que\(\lim_{N\to\infty} \alpha^N=0\),\(\{u_n\}\) es una secuencia de Cauchy. Ya que\(A\) está completo,\(\{u_n\}\) tiene un límite\(\widehat u\). Ya que\(f\) es continuo en\(\widehat u\),\[ f(\widehat u)=\lim_{n\to\infty}f(u_{n-1})=\lim_{n\to\infty}u_n=\widehat u, \] donde Teorem~~ implica la primera igualdad e implica la segunda.

    Let\(A\) Be\(C[a,b]\), que está completo. Si\(u\in C[a,b]\), vamos\(f(u)=v\), donde\[ v(x)=h(x)+\lambda\int_a^bK(x,y)u(y)\,dy,\quad a\le x\le b. \] Desde\(v\in C[a,b]\),\(f:C[a,b]\to C[a,b]\). Si\(u_1\),\(u_2\in C[a,b]\), entonces\[ |v_1(x)-v_2(x)|\le|\lambda|\int_a^b|K(x,y)||u_1(y)-v_1(y)|\,dy, \] entonces\[ \|v_1-v_2\|\le |\lambda|M(b-a)\|u_1-u_2\|. \] Desde\(|\lambda|M(b-a)<1\),\(f\) es una contracción. De ahí que haya un único\(u\) en\(C[a,b]\) tal que\(f(u)=u\). Esto\(u\) satisface.

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