6.1: Mejores aproximaciones lineales
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Decimos que una función\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) es lineal si por cada\(x, y \in \mathbb{R}\),
\[f(x+y)=f(x)+f(y)\]
y para todos\(\alpha \in \mathbb{R}\) y\(x \in \mathbb{R}\),
\[f(\alpha x)=\alpha f(x).\]
Mostrar que si\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) es lineal, entonces existe\(m \in \mathbb{R}\) tal que\(f(x)=m x\) para todos\(x \in \mathbb{R}\).
Supongamos\(D \in \mathbb{R}, f: D \rightarrow \mathbb{R},\) y\(a\) es un punto interior de\(D\). Decimos que\(f\) es diferenciable en\(a\) si existe una función lineal\(d f_{a}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) tal que
\[\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)-d f_{a}(x-a)}{x-a}=0.\]
Llamamos a\(d f_{a}\) la función la mejor aproximación lineal a\(f\) at\(a,\) o el diferencial de\(f\) at\(a .\)
Supongamos\(D \subset \mathbb{R}, f: D \rightarrow \mathbb{R},\) y\(a\) es un punto interior de\(D .\) Entonces\(f\) es diferenciable en\(a\) si y solo si
\[\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\]
existe, en cuyo caso\(d f_{a}(x)=m x\) donde
\[m=\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}.\]
- Prueba
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Dejar\(m \in \mathbb{R}\) y dejar\(L: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) ser la función lineal\(L(x)=m x .\) Entonces
\[\begin{aligned} \frac{f(x)-f(a)-L(x-a)}{x-a} &=\frac{f(x)-f(a)-m(x-a)}{x-a} \\ &=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-m. \end{aligned}\]
De ahí
\[\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)-L(x-a)}{x-a}=0\]
si y solo si
\[\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=m.\]
Q.E.D.