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Este texto es una adaptación de una clase impartida originalmente por Andre Nachbin, quien merece la mayor parte del crédito por el diseño del curso. Las notas temáticas fueron escritas por mí con muchas correcciones y mejoras aportadas por Jörn Dunkel. Por supuesto, cualquier responsabilidad por errores tipográficos y errores recae enteramente en mí.

Breve descripción del curso

El análisis complejo es un tema hermoso y estrechamente integrado. Gira en torno a funciones analíticas complejas. Estas son funciones que tienen una derivada compleja. A diferencia del cálculo que utiliza variables reales, la mera existencia de una derivada compleja tiene fuertes implicaciones para las propiedades de la función.

El análisis complejo es una herramienta básica en muchas teorías matemáticas. Por sí mismo y a través de algunas de estas teorías también tiene muchas aplicaciones prácticas.

Hay una pequeña cantidad de teoremas de largo alcance que exploraremos en la primera parte de la clase. En el camino, tocaremos algunas aplicaciones matemáticas y de ingeniería de estos teoremas. El último tercio de la clase estará dedicado a una mirada más profunda a las aplicaciones.

Los teoremas principales son el teorema de Cauchy, la fórmula integral de Cauchy y la existencia de las series Taylor y Laurent. Entre las aplicaciones estarán funciones armónicas, flujo de fluido bidimensional, métodos fáciles para computar (aparentemente) integrales duras, transformadas de Laplace y transformadas de Fourier con aplicaciones a ingeniería y física.

Temas necesarios de las clases de matemáticas prerrequisito

Revisaremos estos temas según los necesitemos:

Límites
Serie Power
Campos vectoriales
Integrales de línea
Teorema de Green

Nivel de rigor matemático Haremos argumentos cuidadosos para justificar nuestros resultados. Sin embargo, en muchos lugares nos vamos a permitir saltarnos algunos detalles técnicos si se interponen en la manera de entender el punto principal, pero notaremos lo que quedó fuera.

Velocidad de la clase

No se deje engañar por el hecho de que las cosas comiencen despacio. Este es el tipo de curso en el que las cosas siguen acumulándose continuamente, con cosas nuevas apareciendo bastante a menudo. Nada es realmente muy duro, pero la integración total puede ser asombrosa -y se te acercará sigilosamente si no la ves-. O, para expresarlo en una jerga que suene matemáticamente, este curso es “localmente fácil” pero “globalmente duro”. Eso significa que si te mantienes al día con las tareas y conferencias, y lees las notas de clase regularmente, no deberías tener ningún problema.

- Jeremey Orloff