2.8: Galería de Funciones

En esta sección veremos muchas de las funciones que conoces y amas como funciones de\(z\). Para cada uno tendremos que hacer cuatro cosas.

1. Definir cómo calcularlo.
2. Especificar una rama (si es necesario) dando su rango.
3. Especificar un dominio (con corte de rama si es necesario) donde sea analítico.
4. Computar su derivada.

La mayoría de las veces, podemos calcular las derivadas de una función usando las reglas algebraicas como la regla del cociente. Si es necesario podemos utilizar las ecuaciones de Cauchy-Riemann o, como último recurso, incluso la definición de la derivada como límite.

Antes de comenzar en la galería definimos el término “función completa”.

Definición

Una función que es analítica en cada punto del plano complejo se denomina función completa. Veremos que\(e^z\),\(z^n\),\(\sin (z)\) son todas funciones enteras.

Galería de funciones, derivados y propiedades

La siguiente es una lista concisa de una serie de funciones y sus complejas derivadas. Ninguno de los derivados te sorprenderá. También damos propiedades importantes para algunas de las funciones. Las pruebas para cada uno siguen a continuación.

1. \(f(z) = e^z = e^x \cos (y) + ie^x \sin (y).\)
   Dominio = todo\(C\) (\(f\)es entero).
   \(f'(z) = e^z\).
2. \(f(z) \equiv c\)(constante)
   Dominio = todo\(C\) (\(f\)es entero).
   \(f'(z) = 0\).
3. \(f(z) = z^n\)(\(n\)un entero\(\ge 0\))
   Dominio = todo de\(C\) (\(f\)es entero).
   \(f'(z) = nz^{n - 1}\).
4. \(P(z)\)(polinomio)
   Un polinomio tiene la forma\(P(z) = a_n z^n + a_{n - 1} z^{n - 1} + ... + a_0\).
   Domian = todo\(C\) (\(P(z)\)es entero).
   \(P'(z) = na_n z^{n -1} + (n - 1)a_{n -1} z^{n - 1} + ... + 2 a_2 z + a_1.\)
5. \(f(z) = 1/z\)
   Dominio =\(C\) - {0} (el plano perforado).
   \(f'(z) = -1/z^2.\)
6. \(f(z) = P(z)/Q(z)\)(función racional)
   Cuando\(P\) y\(Q\) son polinomios\(P(z)/Q(z)\) se llama una función racional.
   Si asumimos eso\(P\) y no\(Q\) tenemos raíces comunes, entonces:
   Dominio =\(C\) - {raíces de\(Q\)}
   \(f'(z) = \dfrac{P'Q - PQ'}{Q^2}.\)
7. \(\sin (z), \cos (z)\)

   Definición

   \(\cos (z) = \dfrac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}\),\(\sin (z) = \dfrac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}\)

   (Por la fórmula de Euler sabemos que esto es consistente\(\cos (x)\) y\(\sin (x)\) cuándo\(z = x\) es real.)

   Domian: estas funciones son enteras.
   \[\dfrac{d \cos (z)}{dz} = -\sin (z), \ \dfrac{d \sin (z)}{dz} = \cos (z).\]
   Otras propiedades clave del pecado y cos:
   
   - -\(\cos ^2 (z) + \sin ^2 (z) = 1\)
   \(e^z = \cos (z) + i \sin (z)\)
   - Periódicos en\(x\) con periodo\(2\pi\), e.g\(\sin (x + 2\pi + iy) = \sin (x + iy)\).
   - ¡No están acotados!
   - En la forma\(f(z) = u(x, y) + iv(x, y)\) que tenemos
   \[\cos (z) = \cos (x) \cosh (y) - i \sin (x) \sinh (y) \\ \sin (z) = \sin (x) \cosh (y) + i \cos (x) \sinh (y)\]
   (cosh y sinh se definen a continuación.)
   - Los ceros de\(\sin (z)\) son\(z = n \pi\) para\(n\) cualquier entero.
   Los ceros de\(\cos (z)\) son\(z = \pi /2 + n\pi\) para\(n\) cualquier entero.
   (Es decir, solo tienen ceros reales de los que aprendiste en tu clase trigonométrico.)
8. Otras funciones\(\cot (z)\) trigoneras,\(\sec (z)\) etc.

   Definición

   Lo mismo que para las versiones reales de estas funciones, e.g\(\sec (z) = 1/ \cos (z)\).\(\cot (z) = \cos (z) / \sin (z)\),.

   Dominio: Todo el plano menos los ceros del denominador.
   Derivada: Calcular usando la regla del cociente, p. ej.
   \[\dfrac{d \tan (z)}{dz} = \dfrac{d}{dz} (\dfrac{\sin (z)}{\cos (z)}) = \dfrac{\cos (z) \cos (z) - \sin (z) (-\sin (z))}{\cos ^2 (z)} = \dfrac{1}{\cos ^2 (z)} = \sec ^2 z\]
   (¡No hay sorpresas ahí!)
9. \(\sinh (z), \cosh (z)\)(seno hiperbólico y coseno)

   Definición

   \[\cosh (z) = \dfrac{e^z + e^{-z}}{2}, \ \ \sinh (z) = \dfrac{e^z - e^{-z}}{2}\]

   Dominio: estas funciones son enteras.
   \[\dfrac{d \cosh (z)}{dz} = \sinh (z), \ \dfrac{d \sinh (z)}{dz} = \cosh (z)\]
   Otras propiedades clave de cosh y sinh:
   -\(\cosh ^2 (z) - \sinh ^2 (z) = 1\)
   - De verdad\(x\),\(\cosh (x)\) es real y positivo,\(\sinh (x)\) es real.
   -\(\cosh (iz) = \cos (z)\),\(\sinh (z) = -i \sin (iz).\)
10. \(\log (z)\)(Ver Tema 1.)

    Definición

    \[\log (z) = \log (|z|) + i \text{arg} (z).\]

    Sucursal: Cualquier sucursal de\(\text{arg} (z)\).
    Dominio:\(C\) menos un corte de rama donde la rama elegida de\(\text{arg} (z)\) es discontinua.
    \[\dfrac{d}{dz} \log (z) = \dfrac{1}{z}\]
11. \(z^a\)(cualquier complejo\(a\)) (Ver Tema 1.)

    Definición

    \[z^a = e^{a \log (z)}.\]

    Sucursal: Cualquier sucursal de\(\text{arg} (z)\).
    Dominio: Generalmente el dominio es\(C\) menos un corte de rama de log. Si\(a\) es un entero\(\ge 0\) entonces\(z^a\) es entero. Si\(a\) es un entero negativo entonces\(z^a\) se define y analítico en\(C\) - {0}.
    \[\dfrac{dz^a}{dz} = a z^{a - 1}.\]
12. \(\sin ^{-1} (z)\)

    Definición

    \[\sin ^{-1} (z) = -i \log (iz + \sqrt{1 - z^2}).\]

    Se elige la definición para que\(\sin(\sin ^{-1} (z)) = z\). La derivación de la fórmula es la siguiente.
    Vamos\(w = \sin ^{-1} (z)\), entonces\(z = \sin (w)\). Entonces,
    \[z = \dfrac{e^{iw} - e^{-iw}}{2i} \ \Rightarrow\ e^{2iw} - 2ize^{iw} - 1 = 0\]
    Resolviendo la cuadrática en\(e^{iw}\) da
    \[e^{iw} = \dfrac{2iz + \sqrt{-4z^2 + 4}}{2} = iz + \sqrt{1 - z^2}.\]
    Tomando el log da
    \[iw = \log (iz + \sqrt{1 - z^2}) \ \Leftrightarrow \ w = - i \log (iz + \sqrt{1 - z^2}.\]
    A partir de la definición podemos computar la derivada:
    \[\dfrac{d}{dz} \sin ^{-1} (z) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - z^2}}.\]
    Elegir una rama es complicado porque tanto la raíz cuadrada como el tronco requieren opciones. Veremos esto con más detenimiento en el futuro.

    Por ahora, la siguiente discusión y figura son para tu diversión.

    Seno (igualmente coseno) no es una función 1-1, así que si\(\sin ^{-1} (z)\) queremos ser de un solo valor entonces tenemos que elegir una región donde\(\sin (z)\) esté 1-1. (Esta será una rama de\(\sin ^{-1} (z)\), es decir, un rango para la imagen,) La siguiente figura muestra un dominio donde\(\sin (z)\) es 1-1. El dominio consiste en la franja vertical\(z = x + iy\) con\(-\pi /2 < x < \pi /2\) junto con los dos rayos en el límite donde\(y \ge 0\) (se muestra como líneas rojas). La figura indica cómo las regiones que componen el dominio en el\(z\) plano se mapean a los cuadrantes en el\(w\) plano.

Figura\(\PageIndex{1}\): Un dominio donde\(z \mapsto w = \sin (z)\) es uno a uno. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

pruebas

Aquí probamos al menos algunos de los hechos señalados en la lista que acaba de arriba.

1. \(f(z) = e^z\). Esto se hizo en el Ejemplo 2.7.1 usando las ecuaciones de Cauchy-Riemann.
2. \(f(z) \equiv c\)(constante). Este caso es trivial.
3. \(f(z) = z^n\)(\(n\)un entero\(\ge 0\)): show Probablemente\(f'(z) = nz^{n - 1}\)
   sea más fácil usar la definición de derivado directamente. Antes de hacer eso notamos la factorización
   \[z^n - z_0^n = (z - z_0) (z^{n - 1} + z^{n - 2} z_0 + z^{n - 3} z_0^2 + ... + z^2 z_0^{n - 3} + zz_0^{n - 2} + z_0^{n - 1})\]
   Ahora
   \[\begin{array} {rcl} {f'(z_0)} & = & {\lim_{z \to z_0} \dfrac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} = \lim_{z \to z_0} \dfrac{z^n - z_0^n}{z - z_0}} \\ {} & = & {\lim_{z \to z_0} (z^{n - 1} + z^{n - 2} z_0 + z^{n - 3} z_0^2 + ... + z^2 z_0^{n - 3} + zz_0^{n - 2} + z_0^{n - 1}} \\ {} & = & {nz_0^{n - 1}.} \end{array}\]
   Ya que demostramos directamente que la derivada existe para todos\(z\), la función debe ser entera.
4. \(P(z)\)(polinomio). Dado que un polinomio es una suma de monomios, la fórmula para la derivada se deriva de la regla derivada para las sumas y el caso\(f(z) = z^n\). De igual manera el hecho de que el\(P(z)\) es entero.
5. \(f(z) = 1/z\). Esto se desprende de la regla del cociente.
6. \(f(z) = P(z)/Q(z)\). Esto también se desprende de la regla del cociente.
7. \(\sin (z)\),\(\cos (z)\). Todos los hechos sobre\(\sin (z)\) y se\(\cos (z)\) derivan de su definición en términos de exponenciales.
8. Otras funciones\(\cot (z)\) trigonométricas,\(\sec (z)\) etc. Dado que todas estas están definidas en términos de cos y pecado, todos los hechos sobre estas funciones se derivan de las reglas derivadas.
9. \(\sinh (z)\),\(\cosh (z)\). Todos los hechos sobre\(\sinh (z)\) y se\(\cosh (z)\) derivan de su definición en términos de exponenciales.
10. \(\log (z)\). La derivada de se\(\log (z)\) puede encontrar diferenciando la relación\(e^{\log (z)} = z\) usando la regla de la cadena. Vamos\(w = \log (z)\), así\(e^w = z\) y
    \[\dfrac{d}{dz} e^w = \dfrac{dz}{dz} = 1 \ \Rightarrow \ \dfrac{de^w}{dw} \dfrac{dw}{dz} = 1 \ \Rightarrow \ e^w \dfrac{dw}{dz} = 1 \ \Rightarrow \ \dfrac{dw}{dz} = \dfrac{1}{e^w}\]
    Usando\(w = \log (z)\) obtenemos
    \[\dfrac{d \log (z)}{dz} = \dfrac{1}{z}.\]
11. \(z^a\)(cualquier complejo\(a\)). El derivado para esto se deriva de la fórmula
    \[z^a = e^{a \log (z)} \ \Rightarrow \ \dfrac{dz^a}{dz} = e^{a \log (z)} \cdot \dfrac{a}{z} = \dfrac{az^a}{z} = az^{a - 1}\]