2.8: Galería de Funciones
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En esta sección veremos muchas de las funciones que conoces y amas como funciones dez. Para cada uno tendremos que hacer cuatro cosas.
- Definir cómo calcularlo.
- Especificar una rama (si es necesario) dando su rango.
- Especificar un dominio (con corte de rama si es necesario) donde sea analítico.
- Computar su derivada.
La mayoría de las veces, podemos calcular las derivadas de una función usando las reglas algebraicas como la regla del cociente. Si es necesario podemos utilizar las ecuaciones de Cauchy-Riemann o, como último recurso, incluso la definición de la derivada como límite.
Antes de comenzar en la galería definimos el término “función completa”.
Una función que es analítica en cada punto del plano complejo se denomina función completa. Veremos queez,zn,sin(z) son todas funciones enteras.
Galería de funciones, derivados y propiedades
La siguiente es una lista concisa de una serie de funciones y sus complejas derivadas. Ninguno de los derivados te sorprenderá. También damos propiedades importantes para algunas de las funciones. Las pruebas para cada uno siguen a continuación.
- f(z)=ez=excos(y)+iexsin(y).
Dominio = todoC (fes entero).
f′(z)=ez. - f(z)≡c(constante)
Dominio = todoC (fes entero).
f′(z)=0. - f(z)=zn(nun entero≥0)
Dominio = todo deC (fes entero).
f′(z)=nzn−1. - P(z)(polinomio)
Un polinomio tiene la formaP(z)=anzn+an−1zn−1+...+a0.
Domian = todoC (P(z)es entero).
P′(z)=nanzn−1+(n−1)an−1zn−1+...+2a2z+a1. - f(z)=1/z
Dominio =C - {0} (el plano perforado).
f′(z)=−1/z2. - f(z)=P(z)/Q(z)(función racional)
CuandoP yQ son polinomiosP(z)/Q(z) se llama una función racional.
Si asumimos esoP y noQ tenemos raíces comunes, entonces:
Dominio =C - {raíces deQ}
f′(z)=P′Q−PQ′Q2. - sin(z),cos(z)
Domian: estas funciones son enteras.
cos(z)=eiz+e−iz2,sin(z)=eiz−e−iz2i
(Por la fórmula de Euler sabemos que esto es consistentecos(x) ysin(x) cuándoz=x es real.)
dcos(z)dz=−sin(z), dsin(z)dz=cos(z).
Otras propiedades clave del pecado y cos:
- -cos2(z)+sin2(z)=1
ez=cos(z)+isin(z)
- Periódicos enx con periodo2π, e.gsin(x+2π+iy)=sin(x+iy).
- ¡No están acotados!
- En la formaf(z)=u(x,y)+iv(x,y) que tenemos
cos(z)=cos(x)cosh(y)−isin(x)sinh(y)sin(z)=sin(x)cosh(y)+icos(x)sinh(y)
(cosh y sinh se definen a continuación.)
- Los ceros desin(z) sonz=nπ paran cualquier entero.
Los ceros decos(z) sonz=π/2+nπ paran cualquier entero.
(Es decir, solo tienen ceros reales de los que aprendiste en tu clase trigonométrico.) - Otras funcionescot(z) trigoneras,sec(z) etc.
Dominio: Todo el plano menos los ceros del denominador.
Lo mismo que para las versiones reales de estas funciones, e.gsec(z)=1/cos(z).cot(z)=cos(z)/sin(z),.
Derivada: Calcular usando la regla del cociente, p. ej.
dtan(z)dz=ddz(sin(z)cos(z))=cos(z)cos(z)−sin(z)(−sin(z))cos2(z)=1cos2(z)=sec2z
(¡No hay sorpresas ahí!) - sinh(z),cosh(z)(seno hiperbólico y coseno)
Dominio: estas funciones son enteras.
cosh(z)=ez+e−z2, sinh(z)=ez−e−z2
dcosh(z)dz=sinh(z), dsinh(z)dz=cosh(z)
Otras propiedades clave de cosh y sinh:
-cosh2(z)−sinh2(z)=1
- De verdadx,cosh(x) es real y positivo,sinh(x) es real.
-cosh(iz)=cos(z),sinh(z)=−isin(iz). - log(z)(Ver Tema 1.)
Sucursal: Cualquier sucursal dearg(z).
log(z)=log(|z|)+iarg(z).
Dominio:C menos un corte de rama donde la rama elegida dearg(z) es discontinua.
ddzlog(z)=1z - za(cualquier complejoa) (Ver Tema 1.)
Sucursal: Cualquier sucursal dearg(z).
za=ealog(z).
Dominio: Generalmente el dominio esC menos un corte de rama de log. Sia es un entero≥0 entoncesza es entero. Sia es un entero negativo entoncesza se define y analítico enC - {0}.
dzadz=aza−1. - sin−1(z)
Se elige la definición para quesin(sin−1(z))=z. La derivación de la fórmula es la siguiente.
sin−1(z)=−ilog(iz+√1−z2).
Vamosw=sin−1(z), entoncesz=sin(w). Entonces,
z=eiw−e−iw2i ⇒ e2iw−2izeiw−1=0
Resolviendo la cuadrática eneiw da
eiw=2iz+√−4z2+42=iz+√1−z2.
Tomando el log da
iw=log(iz+√1−z2) ⇔ w=−ilog(iz+√1−z2.
A partir de la definición podemos computar la derivada:
ddzsin−1(z)=1√1−z2.
Elegir una rama es complicado porque tanto la raíz cuadrada como el tronco requieren opciones. Veremos esto con más detenimiento en el futuro.Por ahora, la siguiente discusión y figura son para tu diversión.
Seno (igualmente coseno) no es una función 1-1, así que sisin−1(z) queremos ser de un solo valor entonces tenemos que elegir una región dondesin(z) esté 1-1. (Esta será una rama desin−1(z), es decir, un rango para la imagen,) La siguiente figura muestra un dominio dondesin(z) es 1-1. El dominio consiste en la franja verticalz=x+iy con−π/2<x<π/2 junto con los dos rayos en el límite dondey≥0 (se muestra como líneas rojas). La figura indica cómo las regiones que componen el dominio en elz plano se mapean a los cuadrantes en elw plano.
pruebas
Aquí probamos al menos algunos de los hechos señalados en la lista que acaba de arriba.
- f(z)=ez. Esto se hizo en el Ejemplo 2.7.1 usando las ecuaciones de Cauchy-Riemann.
- f(z)≡c(constante). Este caso es trivial.
- f(z)=zn(nun entero≥0): show Probablementef′(z)=nzn−1
sea más fácil usar la definición de derivado directamente. Antes de hacer eso notamos la factorización
zn−zn0=(z−z0)(zn−1+zn−2z0+zn−3z20+...+z2zn−30+zzn−20+zn−10)
Ahora
f′(z0)=limz→z0f(z)−f(z0)z−z0=limz→z0zn−zn0z−z0=limz→z0(zn−1+zn−2z0+zn−3z20+...+z2zn−30+zzn−20+zn−10=nzn−10.
Ya que demostramos directamente que la derivada existe para todosz, la función debe ser entera. - P(z)(polinomio). Dado que un polinomio es una suma de monomios, la fórmula para la derivada se deriva de la regla derivada para las sumas y el casof(z)=zn. De igual manera el hecho de que elP(z) es entero.
- f(z)=1/z. Esto se desprende de la regla del cociente.
- f(z)=P(z)/Q(z). Esto también se desprende de la regla del cociente.
- sin(z),cos(z). Todos los hechos sobresin(z) y secos(z) derivan de su definición en términos de exponenciales.
- Otras funcionescot(z) trigonométricas,sec(z) etc. Dado que todas estas están definidas en términos de cos y pecado, todos los hechos sobre estas funciones se derivan de las reglas derivadas.
- sinh(z),cosh(z). Todos los hechos sobresinh(z) y secosh(z) derivan de su definición en términos de exponenciales.
- log(z). La derivada de selog(z) puede encontrar diferenciando la relaciónelog(z)=z usando la regla de la cadena. Vamosw=log(z), asíew=z y
ddzew=dzdz=1 ⇒ dewdwdwdz=1 ⇒ ewdwdz=1 ⇒ dwdz=1ew
Usandow=log(z) obtenemos
dlog(z)dz=1z. - za(cualquier complejoa). El derivado para esto se deriva de la fórmula
za=ealog(z) ⇒ dzadz=ealog(z)⋅az=azaz=aza−1