11: Transformaciones conformes

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En este tema veremos la noción geométrica de los mapas conformes. Resulta que las funciones analíticas son conformes automáticamente. Una vez entendida la noción general, veremos una familia específica de mapas conformales llamados transformaciones lineales fraccionarias y, en particular, sus propiedades geométricas. Como aplicación utilizaremos transformaciones lineales fraccionarias para resolver el problema de Dirichlet para funciones armónicas en el disco de la unidad con valores especificados en el círculo unitario. Al final volveremos a algunas preguntas de flujo de fluidos.

11.1: Definición geométrica de asignaciones conformadas
Los mapas conformes son funciones en C que preservan los ángulos entre curvas.
11.2: Vectores tangentes como números complejos
11.3: Las funciones analíticas son conformes
11.4: Digresión a funciones armónicas
11.5: Teorema de Mapeo de Riemann
El teorema de mapeo de Riemann es un teorema importante en mapas conformes.
11.6: Ejemplos de mapas conformes y ejercicios
11.7: Transformaciones lineales fraccionarias
11.8: Reflexión y simetría
11.9: Flujos alrededor de los cilindros
11.10: Resolviendo el problema de Dirichlet para funciones armónicas

Miniatura: Una cuadrícula rectangular bajo un mapa conforme. Se observa que mapea pares de líneas que se cruzan a 90° con pares de curvas que aún se cruzan a 90°. (Dominio público; Oleg Alexandrov vía Wikipedia)