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LibreTexts Español

16.2: Símbolos y Notaciones

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Variables y Constantes

Una característica básica del álgebra es el uso de símbolos (generalmente letras) para representar números.

Definición: Variable

Una letra o símbolo que representa a cualquier miembro de una colección de dos o más números se denomina variable.

Definición: Constante

Una letra o símbolo que representa un número específico, conocido o desconocido se denomina constante.

En los siguientes ejemplos, la letrax es una variable ya que puede ser cualquier miembro de la colección de números {35, 25, 10}. La letrah es una constante ya que sólo puede asumir el valor 5890.

Ejemplo16.2.1

Supongamos que las calles de camino de casa a la escuela tienen límites de velocidad de 35 mph, 25 mph y 10 mph. En álgebra podemos dejar que la letrax represente nuestra velocidad mientras viajamos de casa a la escuela. El valor máximo dex depende de en qué tramo de calle nos encontremos. La letrax puede asumir cualquiera de los diversos valores 35,25,10.

Ejemplo16.2.2

Supongamos que al escribir un trabajo de término para una clase de geografía necesitamos especificar la altura del monte Kilimanjaro. Si por casualidad no conocemos la altura de la montaña, podemos representarla (al menos temporalmente) en nuestro papel con la cartah. Posteriormente, buscamos la altura en un libro de referencia y encontramos que es de 5890 metros. La letra sóloh puede asumir el valor único, 5890, y ningún otro. El valor deh es constante.

Símbolos de Operación, Igualdad y Desigualdad

Operación binaria

Una operación binaria en una colección de números es un proceso que asigna un número a dos números dados en la colección. Las operaciones binarias utilizadas en álgebra son suma, resta, multiplicación y división.

Símbolos de Operación

Si dejamosx yy cada uno representa un número, tenemos las siguientes anotaciones:

  • Adición:x+y
  • Resta:xy
  • Multiplicación:xy
  • División:xyx/yx÷yyx

Conjunto de Muestras A

a+brepresenta la suma dea yb.

4+yrepresenta la suma de4 yy.

8xrepresenta la diferencia de8 yx.

6xrepresenta el producto de6 yx.

abrepresenta el producto dea yb.

h3representa el producto deh y3.

(14.2)arepresenta el producto de14.2 ya.

(8)(24)representa el producto de8 y24.

56(b)representa el producto de 5,6, yb.

6xrepresenta el cociente de6 yx.

Conjunto de práctica A

Problema de práctica16.2.1

Representar el producto de 29 yx cinco formas diferentes.

Contestar

29x,29x,(29)(x),29(x),(29)x

Si dejamosa yb representamos dos números, entoncesa yb se relacionan exactamente de una de tres maneras:

Símbolos de Igualdad y Desigualdad:

a=bayb son iguales
a>ba es estrictamente mayor queb
a<ba es estrictamente menor queb

Algunas variaciones de estos símbolos incluyen

abano es igual ab
aba es mayor que o igual ab
aba es menor que o igual ab

Los últimos cinco de los símbolos anteriores son símbolos de desigualdad. Podemos negar (cambiar al contrario) cualquiera de las declaraciones anteriores dibujando una línea a través del símbolo de relación (como enab), como se muestra a continuación:

ano es mayor de lo que seb puede expresar como cualquiera
a oa \le b

ano esb menor de lo que puede expresarse como:
a \not < b oa \ge b

a < bya \not \ge b ambos indican quea es menor queb

Agrupación de símbolos

Los símbolos de agrupación se utilizan para indicar que una colección particular de números y operaciones significativas deben agruparse y considerarse como un número. Los símbolos de agrupación utilizados comúnmente en álgebra son

Paréntesis: ()
Corchetes: []
Tirantes: {}
Barra: __

En un cómputo en el que está involucrada más de una operación, los símbolos de agrupación nos ayudan a decirnos qué operaciones realizar primero. Si es posible, primero realizamos operaciones dentro de los símbolos de agrupación.

Conjunto de Muestras B

(4 + 17) - 6 = 21 - 6 = 15

8 (3 + 6) = 8 (9) = 72

5 [8 + (10 - 4)] = 5 [8 + 6] = 5 [14] = 70

2 {3 [4 (17 - 11)]} = 2 {3 [4 (6)]} = 2 {3 [24]} = 2 {72} = 144

\dfrac{9(5+1)}{24+3}
La barra de fracción separa los dos grupos de números 9 (5 + 1) y 24 + 3. Realizar las operaciones en el numerador y denominador por separado.
\dfrac{9(5+1)}{24+3}=\dfrac{9(6)}{24+3}=\dfrac{54}{24+3}=\dfrac{54}{27}=2

Set de práctica B

Utilice los símbolos de agrupación para ayudar a realizar las siguientes operaciones.

Problema de práctica\PageIndex{2}

3(1 + 8)

Contestar

27

Problema de práctica\PageIndex{3}

4[2(11 - 5)]

Contestar

48

Problema de práctica\PageIndex{4}

6{2[2(10 - 9)]}

Contestar

24

Problema de práctica\PageIndex{5}

\dfrac{1+19}{2+3}

Contestar

4

Los siguientes ejemplos muestran cómo usar la notación algebraica para escribir cada expresión.

Ejemplo\PageIndex{3}

9 menosy se convierte9 - y

Ejemplo\PageIndex{4}

46 vecesx se convierte46x

Ejemplo\PageIndex{5}

7 veces(x + y) se convierte7(x + y)

Ejemplo\PageIndex{6}

4 dividido por 3, los tiemposz se convierten(\dfrac{4}{3})z

Ejemplo\PageIndex{7}

(a - b)tiempos(b-a) divididos por (2 vecesa) se convierte\dfrac{(a-b)(b-a)}{2a}

Ejemplo\PageIndex{8}

Introducir una variable (cualquier letra servirá pero aquí vamos a dejarx representar el número) y utilizar símbolos algebraicos apropiados para escribir la declaración: Un número más 4 es estrictamente mayor que 6. La respuesta esx + 4 > 6.

El orden de operaciones

Supongamos que deseamos encontrar el valor de16 + 4 \cdot 9. Podríamos
sumar 16 y 4, luego multiplicar esta suma por 9.
16 + 4 \cdot 9 = 20 \cdot = 180
multiplica 4 y 9, luego agrega 16 a este producto.
16 + 4 \cdot 9 = 16 + 36 = 52

Ahora tenemos dos valores para un número. Para determinar el valor correcto debemos usar el orden estándar de operaciones.

Orden de Operaciones
  1. Realizar todas las operaciones dentro de los símbolos de agrupación, comenzando por el conjunto más interno.
  2. Realiza todas las multiplicaciones y divisiones, a medida que llegas a ellas, moviéndote de izquierda a derecha.
  3. Realiza todas las adiciones y restas, a medida que llegas a ellas, moviéndote de izquierda a derecha.

A medida que avancemos en nuestro estudio del álgebra, nos toparemos con otra operación, la exponenciación, que habrá que insertar antes de la multiplicación y división.

Conjunto de Muestras C

Utilice el orden de las operaciones para encontrar el valor de cada número.

Ejemplo\PageIndex{9}

16 + 4 \cdot 9. Multiplicar primero.

=16 + 36 Ahora agrega.

=52

Ejemplo\PageIndex{10}

(27 - 8) + 7(6 + 12). Combinar entre paréntesis.

=19 + 7(18) Multiplicar.

=19 + 126 Ahora agrega.

= 145

Ejemplo\PageIndex{11}

8 + 2[4 + 3(6-1)]. Comience con el conjunto más interno de símbolos de agrupación, ().

=8 + 2[4 + 3(5)] Ahora trabajar dentro del siguiente conjunto de símbolos de agrupación, [].

=8 + 2[4 + 15]

=8 + 2[19]

=8 + 38

=46

Ejemplo\PageIndex{12}

\ (
\ begin {alineado}
\ dfrac {6+4 [2+3 (19-17)]} {18-2 [2 (3) +2]} &=\ dfrac {6+4 [2+3 (2)]} {18-2 [6+2]}\\
&=\ dfrac {6+4 [2+6]} {18-2 [8]}\\
&=\ dfrac {6+4 [8]} {18-16}\\
&=\ dfrac {6+32} {2}\\
&=\ dfrac {38} {2}\\
&=19
\ end {alineado}
\)

Set de práctica C

Utilice el orden de las operaciones para encontrar cada valor.

Problema de práctica\PageIndex{6}

25 + 8(3)

Contestar

49

Problema de práctica\PageIndex{7}

2 + 3(18 - 5 \cdot 2)

Contestar

26

Problema de práctica\PageIndex{8}

4 + 3[2 + 3(1 + 8 \div 4

Contestar

37

Problema de práctica\PageIndex{9}

\dfrac{19+2\{5+2[18+6(4+1)]\}}{5 \cdot 6-3(5)-2}

Contestar

17

Ejercicios

Para los siguientes problemas, utilice el orden de las operaciones para encontrar cada valor.

Ejercicio\PageIndex{1}

2 + 3(6)

Contestar

20

Ejercicio\PageIndex{1}

18 - 7(8 - 3)

Ejercicio\PageIndex{1}

8 \cdot \div 16 + 5

Contestar

7

Ejercicio\PageIndex{1}

(21 + 4) \div 5 \cdot 2

Ejercicio\PageIndex{1}

3(8 + 2) \div 6 + 3

Contestar

8

Ejercicio\PageIndex{1}

6(4 + 1) \div (16 \div 8) - 15

Ejercicio\PageIndex{1}

6(4 - 1) + 8(3 + 7) - 20

Contestar

78

Ejercicio\PageIndex{1}

(8)(5) + 2(14) + (1)(10)

Ejercicio\PageIndex{1}

61 - 22 + 4[3(10) + 11]

Contestar

203

Ejercicio\PageIndex{1}

\dfrac{(1+16-3)}{7} + 5(12)

Ejercicio\PageIndex{1}

\dfrac{8(6+20)}{8} + \dfrac{3(6+16)}{22}

Contestar

29

Ejercicio\PageIndex{1}

18 \div 2 + 55

Ejercicio\PageIndex{1}

21 \div 7 \div 3

Contestar

1

Ejercicio\PageIndex{1}

85 \div 5 \cdot 5 - 85

Ejercicio\PageIndex{1}

(300 - 25) \div (6 - 3)

Contestar

91\dfrac{2}{3}

Ejercicio\PageIndex{1}

4 \cdot 3 + 8 \cdot 28 - (3 + 17) + 11(6)

Ejercicio\PageIndex{1}

2{(7 + 7) + 6[4(8 + 2)]}

Contestar

508

Ejercicio\PageIndex{1}

0 + 10(0) + 15[4(3) + 1]

Ejercicio\PageIndex{1}

6.1(2.2 + 1.8)

Contestar

22.4

Ejercicio\PageIndex{1}

\dfrac{5.9}{2} + 0.6

Ejercicio\PageIndex{1}

(4 + 7)(8 - 3)

Contestar

55

Ejercicio\PageIndex{1}

(10 + 5)(10 + 5) - 4(60 - 4)

Ejercicio\PageIndex{1}

(\dfrac{5}{12} - \dfrac{1}{4}) + (\dfrac{1}{6} + \dfrac{2}{3})

Contestar

1

Ejercicio\PageIndex{1}

4(\dfrac{3}{5} - \dfrac{8}{15}) + 9(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4})

Ejercicio\PageIndex{1}

\dfrac{0}{5} + \dfrac{0}{1} + 0[2 + 4(0)]

Contestar

0

Ejercicio\PageIndex{1}

0 \cdot 9 + 4 \cdot 0 \div 7 + 0[2(2-2)]

Para los siguientes problemas, indíquense si las declaraciones dadas son iguales o diferentes.

Ejercicio\PageIndex{1}

x \ge yyx > y

Contestar

Diferente

Ejercicio\PageIndex{1}

x < yyx \not \ge y

Ejercicio\PageIndex{1}

x = yyy = x

Contestar

Mismo

Ejercicio\PageIndex{1}

Representar el producto de 3 yx cinco formas diferentes.

Ejercicio\PageIndex{1}

Representar la suma dea yb dos formas diferentes.

Contestar

a + b,b + a

Para los siguientes problemas, reescriba cada frase usando notación algebraica.

Ejercicio\PageIndex{1}

Diez menos tres

Ejercicio\PageIndex{1}

xmás dieciséis

Contestar

x + 16

Ejercicio\PageIndex{1}

51 dividido pora

Ejercicio\PageIndex{1}

81 vecesx

Contestar

81x

Ejercicio\PageIndex{1}

3 vecesx + y

Ejercicio\PageIndex{1}

(x + b)tiempos(x + 7)

Contestar

(x + b)(x+7)

Ejercicio\PageIndex{1}

3x vecesy

Ejercicio\PageIndex{1}

xdividido por (7 vecesb)

Contestar

\dfrac{x}{7b}

Ejercicio\PageIndex{1}

(a + b)dividido por(a + 4)

Para los siguientes problemas, introduzca una variable (cualquier letra servirá) y use símbolos algebraicos apropiados para escribir la declaración dada.

Ejercicio\PageIndex{1}

Un número menos ocho es igual a diecisiete

Responder

x - 8 = 17

Ejercicio\PageIndex{1}

Cinco veces un número, menos uno, es igual a cero.

Ejercicio\PageIndex{1}

Un número dividido por seis es mayor o igual a cuarenta y cuatro.

Responder

\dfrac{x}{6} \ge 44

Ejercicio\PageIndex{1}

Dieciséis menos dos veces un número equivale a cinco.

Determinar si las afirmaciones para los siguientes problemas son verdaderas o falsas.

Ejercicio\PageIndex{1}

6 - 4(4)(1) \le 10

Responder

true

Ejercicio\PageIndex{1}

5(4 + 2 \cdot 10) \ge 110

Ejercicio\PageIndex{1}

8 \cdot 6 - 48 \le 0

Responder

true

Ejercicio\PageIndex{1}

\dfrac{20+4.3}{16} < 5

Ejercicio\PageIndex{1}

2[6(1 + 4) - 8] > 2(11 + 6)

Responder

false

Ejercicio\PageIndex{1}

6[4 + 8 + 3(26 - 15) \not \le 3[7(10 - 4)]

Ejercicio\PageIndex{1}

El número de diferentes formas en las que se pueden organizar 5 personas seguidas es5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1. ¿De cuántas maneras es esto?

Responder

120

Ejercicio\PageIndex{1}

Una caja contiene 10 chips de computadora. Se van a elegir tres fichas al azar. La cantidad de formas en que esto se puede hacer es

\dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}

¿De cuántas maneras es esto?

Ejercicio\PageIndex{1}

La probabilidad de obtener cuatro de un tipo en una mano de póquer de cinco cartas es

\dfrac{13 \cdot 48}{(52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48) \div(5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)}

¿Cuál es esta probabilidad?

Responder

0.00024, o\dfrac{1}{4165}

Ejercicio\PageIndex{1}

Tres personas están en un elevador en un edificio de cinco pisos. Si cada persona selecciona aleatoriamente un piso en el que bajar, la probabilidad de que al menos dos personas bajen en el mismo piso es

1 - \dfrac{1 \cdot 4 \cdot 3}{5 \cdot 5 \cdot 5}

¿Cuál es esta probabilidad?


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