16.2: Símbolos y Notaciones
- Última actualización
- 28 mar 2023
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Variables y Constantes
Una característica básica del álgebra es el uso de símbolos (generalmente letras) para representar números.
Definición: Variable
Una letra o símbolo que representa a cualquier miembro de una colección de dos o más números se denomina variable.
Definición: Constante
Una letra o símbolo que representa un número específico, conocido o desconocido se denomina constante.
En los siguientes ejemplos, la letrax es una variable ya que puede ser cualquier miembro de la colección de números {35, 25, 10}. La letrah es una constante ya que sólo puede asumir el valor 5890.
Ejemplo16.2.1
Supongamos que las calles de camino de casa a la escuela tienen límites de velocidad de 35 mph, 25 mph y 10 mph. En álgebra podemos dejar que la letrax represente nuestra velocidad mientras viajamos de casa a la escuela. El valor máximo dex depende de en qué tramo de calle nos encontremos. La letrax puede asumir cualquiera de los diversos valores 35,25,10.
Ejemplo16.2.2
Supongamos que al escribir un trabajo de término para una clase de geografía necesitamos especificar la altura del monte Kilimanjaro. Si por casualidad no conocemos la altura de la montaña, podemos representarla (al menos temporalmente) en nuestro papel con la cartah. Posteriormente, buscamos la altura en un libro de referencia y encontramos que es de 5890 metros. La letra sóloh puede asumir el valor único, 5890, y ningún otro. El valor deh es constante.
Símbolos de Operación, Igualdad y Desigualdad
Operación binaria
Una operación binaria en una colección de números es un proceso que asigna un número a dos números dados en la colección. Las operaciones binarias utilizadas en álgebra son suma, resta, multiplicación y división.
Símbolos de Operación
Si dejamosx yy cada uno representa un número, tenemos las siguientes anotaciones:
- Adición:x+y
- Resta:x−y
- Multiplicación:x⋅y
- División:xyx/yx÷yy√x
Conjunto de Muestras A
a+brepresenta la suma dea yb.
4+yrepresenta la suma de4 yy.
8−xrepresenta la diferencia de8 yx.
6xrepresenta el producto de6 yx.
abrepresenta el producto dea yb.
h3representa el producto deh y3.
(14.2)arepresenta el producto de14.2 ya.
(8) (24)representa el producto de8 y24.
5⋅6(b)representa el producto de 5,6, yb.
6xrepresenta el cociente de6 yx.
Conjunto de práctica A
Problema de práctica16.2.1
Representar el producto de 29 yx cinco formas diferentes.
- Contestar
-
29⋅x,29x,(29)(x),29(x),(29)x
Si dejamosa yb representamos dos números, entoncesa yb se relacionan exactamente de una de tres maneras:
Símbolos de Igualdad y Desigualdad:
a=bayb son iguales
a>ba es estrictamente mayor queb
a<ba es estrictamente menor queb
Algunas variaciones de estos símbolos incluyen
a≠bano es igual ab
a≥ba es mayor que o igual ab
a≤ba es menor que o igual ab
Los últimos cinco de los símbolos anteriores son símbolos de desigualdad. Podemos negar (cambiar al contrario) cualquiera de las declaraciones anteriores dibujando una línea a través del símbolo de relación (como ena≠b), como se muestra a continuación:
ano es mayor de lo que seb puede expresar como cualquiera
a≯ oa \le b
ano esb menor de lo que puede expresarse como:
a \not < b oa \ge b
a < bya \not \ge b ambos indican quea es menor queb
Agrupación de símbolos
Los símbolos de agrupación se utilizan para indicar que una colección particular de números y operaciones significativas deben agruparse y considerarse como un número. Los símbolos de agrupación utilizados comúnmente en álgebra son
Paréntesis: ()
Corchetes: []
Tirantes: {}
Barra: __
En un cómputo en el que está involucrada más de una operación, los símbolos de agrupación nos ayudan a decirnos qué operaciones realizar primero. Si es posible, primero realizamos operaciones dentro de los símbolos de agrupación.
Conjunto de Muestras B
(4 + 17) - 6 = 21 - 6 = 15
8 (3 + 6) = 8 (9) = 72
5 [8 + (10 - 4)] = 5 [8 + 6] = 5 [14] = 70
2 {3 [4 (17 - 11)]} = 2 {3 [4 (6)]} = 2 {3 [24]} = 2 {72} = 144
\dfrac{9(5+1)}{24+3}
La barra de fracción separa los dos grupos de números 9 (5 + 1) y 24 + 3. Realizar las operaciones en el numerador y denominador por separado.
\dfrac{9(5+1)}{24+3}=\dfrac{9(6)}{24+3}=\dfrac{54}{24+3}=\dfrac{54}{27}=2
Set de práctica B
Utilice los símbolos de agrupación para ayudar a realizar las siguientes operaciones.
Problema de práctica\PageIndex{2}
3(1 + 8)
- Contestar
-
27
Problema de práctica\PageIndex{3}
4[2(11 - 5)]
- Contestar
-
48
Problema de práctica\PageIndex{4}
6{2[2(10 - 9)]}
- Contestar
-
24
Problema de práctica\PageIndex{5}
\dfrac{1+19}{2+3}
- Contestar
-
4
Los siguientes ejemplos muestran cómo usar la notación algebraica para escribir cada expresión.
Ejemplo\PageIndex{3}
9 menosy se convierte9 - y
Ejemplo\PageIndex{4}
46 vecesx se convierte46x
Ejemplo\PageIndex{5}
7 veces(x + y) se convierte7(x + y)
Ejemplo\PageIndex{6}
4 dividido por 3, los tiemposz se convierten(\dfrac{4}{3})z
Ejemplo\PageIndex{7}
(a - b)tiempos(b-a) divididos por (2 vecesa) se convierte\dfrac{(a-b)(b-a)}{2a}
Ejemplo\PageIndex{8}
Introducir una variable (cualquier letra servirá pero aquí vamos a dejarx representar el número) y utilizar símbolos algebraicos apropiados para escribir la declaración: Un número más 4 es estrictamente mayor que 6. La respuesta esx + 4 > 6.
El orden de operaciones
Supongamos que deseamos encontrar el valor de16 + 4 \cdot 9. Podríamos
sumar 16 y 4, luego multiplicar esta suma por 9.
16 + 4 \cdot 9 = 20 \cdot = 180
multiplica 4 y 9, luego agrega 16 a este producto.
16 + 4 \cdot 9 = 16 + 36 = 52
Ahora tenemos dos valores para un número. Para determinar el valor correcto debemos usar el orden estándar de operaciones.
Orden de Operaciones
- Realizar todas las operaciones dentro de los símbolos de agrupación, comenzando por el conjunto más interno.
- Realiza todas las multiplicaciones y divisiones, a medida que llegas a ellas, moviéndote de izquierda a derecha.
- Realiza todas las adiciones y restas, a medida que llegas a ellas, moviéndote de izquierda a derecha.
A medida que avancemos en nuestro estudio del álgebra, nos toparemos con otra operación, la exponenciación, que habrá que insertar antes de la multiplicación y división.
Conjunto de Muestras C
Utilice el orden de las operaciones para encontrar el valor de cada número.
Ejemplo\PageIndex{9}
16 + 4 \cdot 9. Multiplicar primero.
=16 + 36 Ahora agrega.
=52
Ejemplo\PageIndex{10}
(27 - 8) + 7(6 + 12). Combinar entre paréntesis.
=19 + 7(18) Multiplicar.
=19 + 126 Ahora agrega.
= 145
Ejemplo\PageIndex{11}
8 + 2[4 + 3(6-1)]. Comience con el conjunto más interno de símbolos de agrupación, ().
=8 + 2[4 + 3(5)] Ahora trabajar dentro del siguiente conjunto de símbolos de agrupación, [].
=8 + 2[4 + 15]
=8 + 2[19]
=8 + 38
=46
Ejemplo\PageIndex{12}
\ (
\ begin {alineado}
\ dfrac {6+4 [2+3 (19-17)]} {18-2 [2 (3) +2]} &=\ dfrac {6+4 [2+3 (2)]} {18-2 [6+2]}\\
&=\ dfrac {6+4 [2+6]} {18-2 [8]}\\
&=\ dfrac {6+4 [8]} {18-16}\\
&=\ dfrac {6+32} {2}\\
&=\ dfrac {38} {2}\\
&=19
\ end {alineado}
\)
Set de práctica C
Utilice el orden de las operaciones para encontrar cada valor.
Problema de práctica\PageIndex{6}
25 + 8(3)
- Contestar
-
49
Problema de práctica\PageIndex{7}
2 + 3(18 - 5 \cdot 2)
- Contestar
-
26
Problema de práctica\PageIndex{8}
4 + 3[2 + 3(1 + 8 \div 4
- Contestar
-
37
Problema de práctica\PageIndex{9}
\dfrac{19+2\{5+2[18+6(4+1)]\}}{5 \cdot 6-3(5)-2}
- Contestar
-
17
Ejercicios
Para los siguientes problemas, utilice el orden de las operaciones para encontrar cada valor.
Ejercicio\PageIndex{1}
2 + 3(6)
- Contestar
-
20
Ejercicio\PageIndex{1}
18 - 7(8 - 3)
Ejercicio\PageIndex{1}
8 \cdot \div 16 + 5
- Contestar
-
7
Ejercicio\PageIndex{1}
(21 + 4) \div 5 \cdot 2
Ejercicio\PageIndex{1}
3(8 + 2) \div 6 + 3
- Contestar
-
8
Ejercicio\PageIndex{1}
6(4 + 1) \div (16 \div 8) - 15
Ejercicio\PageIndex{1}
6(4 - 1) + 8(3 + 7) - 20
- Contestar
-
78
Ejercicio\PageIndex{1}
(8)(5) + 2(14) + (1)(10)
Ejercicio\PageIndex{1}
61 - 22 + 4[3(10) + 11]
- Contestar
-
203
Ejercicio\PageIndex{1}
\dfrac{(1+16-3)}{7} + 5(12)
Ejercicio\PageIndex{1}
\dfrac{8(6+20)}{8} + \dfrac{3(6+16)}{22}
- Contestar
-
29
Ejercicio\PageIndex{1}
18 \div 2 + 55
Ejercicio\PageIndex{1}
21 \div 7 \div 3
- Contestar
-
1
Ejercicio\PageIndex{1}
85 \div 5 \cdot 5 - 85
Ejercicio\PageIndex{1}
(300 - 25) \div (6 - 3)
- Contestar
-
91\dfrac{2}{3}
Ejercicio\PageIndex{1}
4 \cdot 3 + 8 \cdot 28 - (3 + 17) + 11(6)
Ejercicio\PageIndex{1}
2{(7 + 7) + 6[4(8 + 2)]}
- Contestar
-
508
Ejercicio\PageIndex{1}
0 + 10(0) + 15[4(3) + 1]
Ejercicio\PageIndex{1}
6.1(2.2 + 1.8)
- Contestar
-
22.4
Ejercicio\PageIndex{1}
\dfrac{5.9}{2} + 0.6
Ejercicio\PageIndex{1}
(4 + 7)(8 - 3)
- Contestar
-
55
Ejercicio\PageIndex{1}
(10 + 5)(10 + 5) - 4(60 - 4)
Ejercicio\PageIndex{1}
(\dfrac{5}{12} - \dfrac{1}{4}) + (\dfrac{1}{6} + \dfrac{2}{3})
- Contestar
-
1
Ejercicio\PageIndex{1}
4(\dfrac{3}{5} - \dfrac{8}{15}) + 9(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4})
Ejercicio\PageIndex{1}
\dfrac{0}{5} + \dfrac{0}{1} + 0[2 + 4(0)]
- Contestar
-
0
Ejercicio\PageIndex{1}
0 \cdot 9 + 4 \cdot 0 \div 7 + 0[2(2-2)]
Para los siguientes problemas, indíquense si las declaraciones dadas son iguales o diferentes.
Ejercicio\PageIndex{1}
x \ge yyx > y
- Contestar
-
Diferente
Ejercicio\PageIndex{1}
x < yyx \not \ge y
Ejercicio\PageIndex{1}
x = yyy = x
- Contestar
-
Mismo
Ejercicio\PageIndex{1}
Representar el producto de 3 yx cinco formas diferentes.
Ejercicio\PageIndex{1}
Representar la suma dea yb dos formas diferentes.
- Contestar
-
a + b,b + a
Para los siguientes problemas, reescriba cada frase usando notación algebraica.
Ejercicio\PageIndex{1}
Diez menos tres
Ejercicio\PageIndex{1}
xmás dieciséis
- Contestar
-
x + 16
Ejercicio\PageIndex{1}
51 dividido pora
Ejercicio\PageIndex{1}
81 vecesx
- Contestar
-
81x
Ejercicio\PageIndex{1}
3 vecesx + y
Ejercicio\PageIndex{1}
(x + b)tiempos(x + 7)
- Contestar
-
(x + b)(x+7)
Ejercicio\PageIndex{1}
3x vecesy
Ejercicio\PageIndex{1}
xdividido por (7 vecesb)
- Contestar
-
\dfrac{x}{7b}
Ejercicio\PageIndex{1}
(a + b)dividido por(a + 4)
Para los siguientes problemas, introduzca una variable (cualquier letra servirá) y use símbolos algebraicos apropiados para escribir la declaración dada.
Ejercicio\PageIndex{1}
Un número menos ocho es igual a diecisiete
- Responder
-
x - 8 = 17
Ejercicio\PageIndex{1}
Cinco veces un número, menos uno, es igual a cero.
Ejercicio\PageIndex{1}
Un número dividido por seis es mayor o igual a cuarenta y cuatro.
- Responder
-
\dfrac{x}{6} \ge 44
Ejercicio\PageIndex{1}
Dieciséis menos dos veces un número equivale a cinco.
Determinar si las afirmaciones para los siguientes problemas son verdaderas o falsas.
Ejercicio\PageIndex{1}
6 - 4(4)(1) \le 10
- Responder
-
true
Ejercicio\PageIndex{1}
5(4 + 2 \cdot 10) \ge 110
Ejercicio\PageIndex{1}
8 \cdot 6 - 48 \le 0
- Responder
-
true
Ejercicio\PageIndex{1}
\dfrac{20+4.3}{16} < 5
Ejercicio\PageIndex{1}
2[6(1 + 4) - 8] > 2(11 + 6)
- Responder
-
false
Ejercicio\PageIndex{1}
6[4 + 8 + 3(26 - 15) \not \le 3[7(10 - 4)]
Ejercicio\PageIndex{1}
El número de diferentes formas en las que se pueden organizar 5 personas seguidas es5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1. ¿De cuántas maneras es esto?
- Responder
-
120
Ejercicio\PageIndex{1}
Una caja contiene 10 chips de computadora. Se van a elegir tres fichas al azar. La cantidad de formas en que esto se puede hacer es
\dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}
¿De cuántas maneras es esto?
Ejercicio\PageIndex{1}
La probabilidad de obtener cuatro de un tipo en una mano de póquer de cinco cartas es
\dfrac{13 \cdot 48}{(52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48) \div(5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)}
¿Cuál es esta probabilidad?
- Responder
-
0.00024, o\dfrac{1}{4165}
Ejercicio\PageIndex{1}
Tres personas están en un elevador en un edificio de cinco pisos. Si cada persona selecciona aleatoriamente un piso en el que bajar, la probabilidad de que al menos dos personas bajen en el mismo piso es
1 - \dfrac{1 \cdot 4 \cdot 3}{5 \cdot 5 \cdot 5}
¿Cuál es esta probabilidad?