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LibreTexts Español

16.6: Reglas de Exponentes

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Descripción general

  • La regla del producto para exponentes
  • La regla del cociente para los exponentes
  • Cero como exponente

Comenzaremos nuestro estudio de las reglas de los exponentes recordando la definición de exponentes.

Definición de Exponentes

Six es algún número real yn es un número natural, entonces
xn=xxxxn factors of x
Un exponente registra el número de factores idénticos en una multiplicación.

Potencia Exponente Base

Enxn,

xes la base
n
es el exponente
El número representado porxn se llama una potencia

El términoxn se lee como "xa lan th.”

La regla del producto para exponentes

La primera regla que deseamos desarrollar es la regla para multiplicar dos cantidades exponenciales que tengan la misma base y exponentes numéricos naturales. Los siguientes ejemplos sugieren esta regla:

\ (
\ begin {alineado}
&\ begin {array} {c}
x^ {2}\ cdot x^ {4} =\ underbrackets {x x} _ {2}\ cdot\ underbrackets {x x x} _ {4} =\ underbrackets {x x x x x x} _ {6} =x^ {6}\\
2+4=6
\ end {array}\\ end
\ {alineado}
\)

\ (
a\ cdot a^ {2} =\ underbrackets {a} _ {1}\ cdot\ underbrackets {aa} _ {2} =\ underbrackets {a a a} _ {3} =a^ {3}\\
1 + 2 = 3
\)

Regla de producto para exponentes

Six es un número real yn ym son números naturales,

xnxm=xn+m

Para multiplicar dos cantidades exponenciales que tengan la misma base, sumar los exponentes. Tenga en cuenta que las cantidades exponenciales que se multiplican deben tener la misma base para que se aplique esta regla.

Conjunto de Muestras A

Encuentra los siguientes productos. Todos los exponentes son números naturales.

Ejemplo16.6.1

x3x5=x3+5=x8

Ejemplo16.6.2

a6a14=a6+14=a20

Ejemplo16.6.3

y5y=y5y1=y5+1=y6

Ejemplo16.6.4

(x2y)8(x2y)5=(x2y)8+5=(x2y)13

Ejemplo16.6.5

x3y4(xy)3+4

Dado que las bases no son las mismas, no se aplica la regla del producto.

Conjunto de práctica A

Encuentra cada producto.

Problema de práctica16.6.1

x2x5

Contestar

x2+5=x7

Problema de práctica16.6.2

x9x4

Contestar

x9+4=x13

Problema de práctica16.6.3

y6y4

Contestar

y6+4=y10

Problema de práctica16.6.4

c12c8

Contestar

c12+8=c20

Problema de práctica16.6.5

(x+2)3(x+2)5

Contestar

(x+2)3+5=(x+2)8

Conjunto de Muestras B

Podemos usar la primera regla de exponentes (y las otras que desarrollaremos) junto con las propiedades de los números reales.

Ejemplo16.6.6

2x37x5=27x3+5=14x8

Se utilizaron las propiedades conmutativas y asociativas de la mulitplicación. En la práctica, utilizamos estas propiedades “mentalmente” (como se indica en el dibujo de la caja). En realidad no escribimos el segundo paso.

Ejemplo16.6.7

4y36y2=46y3+2=24y5

Ejemplo16.6.8

9a2b6(8ab42b3)=982a2+1b6+4+3=144a3b13

Ejemplo16.6.9

5(a+6)23(a+6)8=53(a+6)2+8=15(a+6)10

Ejemplo16.6.10

4x312y2=48x3y2

Set de práctica B

Realiza cada multiplicación en un solo paso.

Problema de práctica16.6.6

3x52x2

Contestar

6x7

Problema de práctica16.6.7

6y33y4

Contestar

18y7

Problema de práctica16.6.8

4a3b29a2b

Contestar

36a5b3

Problema de práctica16.6.9

x44y22x27y6

Contestar

56x6y8

Problema de práctica16.6.10

(xy)34(xy)2

Contestar

4(xy)5

Problema de práctica16.6.11

8x4y2xx3y5

Contestar

8x8y7

Problema de práctica16.6.12

2aaa3(ab2a3)b6ab2

Contestar

12a10b5

Problema de práctica16.6.13

anamar

Contestar

an+m+r

La regla del cociente para los exponentes

La segunda regla que deseamos desarrollar es la regla para dividir dos cantidades exponenciales que tengan la misma base y exponentes numéricos naturales.
Los siguientes ejemplos sugieren una regla para dividir dos cantidades exponenciales que tengan la misma base y exponentes numéricos naturales.

\ (
\ dfrac {x^ {5}} {x^ {2}} =\ dfrac {x x x x} {x x} =\ dfrac {\ cancel {(x x)} x x x} {\ cancelar {(x x)}} =x x x=x^ {3}. \ text {Observe que} 5-2=3
\)

\ (
\ dfrac {a^8} {a^3} =\ dfrac {aaaaaaaa} {aaa} =\ dfrac {(\ cancel {aaa}) aaaaa} {(\ cancel {aaa})} = aaaaa = a^5. \ text {Observe que} 8-3=5
\)

Regla de cociente para exponentes

Six es un número real yn ym son números naturales,

xnxm=xnm,x0.

Conjunto de Muestras C

Encuentra los siguientes cocientes. Todos los exponentes son números naturales.

Ejemplo16.6.11

x5x2=x52=x3

Ejemplo16.6.12

27a3b6c23a2bc=9a32b61c21=9ab5c

Ejemplo16.6.13

15x3x=5x
Las bases son las mismas, por lo que restamos los exponentes. Aunque no sabemos exactamente qué es, la notación, indica la resta.

Set de práctica C

Encuentra cada cociente

Problema de práctica16.6.14

y9y5

Contestar

y4

Problema de práctica16.6.15

a7a

Contestar

a6

Problema de práctica16.6.16

(x+6)5(x+6)3

Contestar

(x+6)2

Problema de práctica16.6.17

26x4y6z213x2y2z

Contestar

2x2y4z

Cuando hacemos la restanm, en la divisiónxnxm, hay tres posibilidades para los valores de los exponentes:

El exponente del numerador es mayor que el exponente del denominador, es decir,n>m. Así, el exponente,nm, es un número natural.

Los exponentes son los mismos, es decir,n=m. Así, el exponente,nm, es cero, un número entero.

El exponente del denominador es mayor que el exponente del numerador, es decir,n<m. Así, el exponente,nm, es un entero.

Cero como exponente

En el Conjunto de Muestras C, los exponentes de los numeradores fueron mayores que los exponentes de los denominadores. Estudiemos el caso cuando los exponentes son los mismos.

Cuando los exponentes son iguales, digamosn, la restann produce0.

Así, por la segunda regla de exponentes,xnxn=xnn=x0

Pero, ¿qué número real, si lo hay,x0 representa? Pensemos por un momento en nuestra experiencia con la división en aritmética. Sabemos que cualquier número distinto de cero dividido por sí mismo es uno.

88=1,4343=1,258258=1

Ya que la letrax representa algún número real distinto de cero dividido por sí misma. Entoncesxnxn=1.

Pero también hemos establecido que six0,xnxn=x0. Ahora tenemos esoxnxn=x0 yxnxn=1. Esto implica quex0=1,x0.

Los exponentes ahora pueden ser números naturales y cero. Hemos ampliado nuestra colección de números que pueden ser utilizados como exponentes desde la colección de números naturales hasta la colección de números enteros.

Cero como exponente

Six0,x0=1

Cualquier número, que no sea0, elevado al poder de0, es1. 00no tiene sentido (no representa un número).

Conjunto de Muestras D

Encuentra cada valor. Supongamos que la base no es cero.

Ejemplo16.6.14

60=1

Ejemplo16.6.15

2460=1

Ejemplo16.6.16

(2a+5)0=1

Ejemplo16.6.17

4y0=41=4

Ejemplo16.6.18

y6y6=y0=1

Ejemplo16.6.19

2x2x2=2x0=21=2

Ejemplo16.6.20

\ (
\ begin {alineado}
\ dfrac {5 (x+4) ^ {8} (x-1) ^ {5}} {5} {5 (x+4) ^ {3} (x-1) ^ {5}} & =( x+4) ^ {8-3} (x-1) ^ {5-5}\
& =( x+4) ^ {5} (x-1) ^ {0}\\
& =( x+4) ^ {5}
\ final {alineado}
\)

Set de Práctica D

Encuentra cada valor. Supongamos que la base no es cero.

Problema de práctica16.6.18

y7y3

Contestar

y73=y4

Problema de práctica16.6.19

6x42x3

Contestar

3x43=3x

Problema de práctica16.6.20

14a77a2

Contestar

2a72=2a5

Problema de práctica16.6.21

26x2y54xy2

Contestar

132xy3

Problema de práctica16.6.22

36a4b3c88ab3c6

Contestar

92a3c2

Problema de práctica16.6.23

51(a4)317(a4)

Contestar

3(a4)2

Problema de práctica16.6.24

52a7b3(a+b)826a2b(a+b)8

Contestar

2a5b2

Problema de práctica16.6.25

ana3

Contestar

an3

Problema de práctica16.6.26

14xrypzq2xryhz5

Contestar

7yphzq5

Ejercicios

Utilice la regla de producto y la regla de cociente de exponentes para simplificar los siguientes problemas. Supongamos que todas las bases son diferentes de cero y que todos los exponentes son números enteros.

Ejercicio16.6.1

3233

Contestar

35=243

Ejercicio16.6.2

5254

Ejercicio16.6.3

9092

Contestar

92=81

Ejercicio16.6.4

7370

Ejercicio16.6.5

2425

Contestar

29=512

Ejercicio16.6.6

x5x4

Ejercicio16.6.7

x2x3

Contestar

x5

Ejercicio16.6.8

a9a7

Ejercicio16.6.9

y5y7

Contestar

y12

Ejercicio16.6.10

m10m2

Ejercicio16.6.11

k8k3

Contestar

k11

Ejercicio16.6.12

y3y4y6

Ejercicio16.6.13

3x22x5

Contestar

6x7

Ejercicio16.6.14

a2a3a8

Ejercicio16.6.15

4y45y6

Contestar

20y10

Ejercicio16.6.16

2a3b23ab

Ejercicio16.6.17

12xy3z24x2y2z3x

Contestar

144x4y5z3

Ejercicio16.6.18

(3ab)(2a2b)

Ejercicio16.6.19

(4x2)(8xy3)

Contestar

32x3y3

Ejercicio16.6.20

(2xy)(3y)(4x2y5)

Ejercicio16.6.21

(14a2b4)(12b4)

Contestar

18a2b8

Ejercicio16.6.22

(38)(1621x2y3)(x3y2)

Ejercicio16.6.23

8583

Contestar

82=64

Ejercicio16.6.24

6463

Ejercicio16.6.25

2924

Contestar

25=32

Ejercicio16.6.26

416413

Ejercicio16.6.27

x5x3

Contestar

x2

Ejercicio16.6.28

y4y3

Ejercicio16.6.29

y9y4

Contestar

y5

Ejercicio16.6.30

k16k13

Ejercicio16.6.31

x4x2

Contestar

x2

Ejercicio16.6.32

y5y2

Ejercicio16.6.33

m16m9

Contestar

m7

Ejercicio16.6.34

a9b6a5b2

Ejercicio16.6.35

y3w10yw5

Contestar

y2w5

Ejercicio16.6.36

m17n12m16n10

Ejercicio16.6.37

x5y7x3y4

Contestar

x2y3

Ejercicio16.6.38

15x20y24z45x19yz

Ejercicio16.6.39

e11e11

Contestar

e0=1

Ejercicio16.6.40

6r46r4

Ejercicio16.6.41

x0x0

Contestar

x0=1

Ejercicio16.6.42

a0b0c0

Ejercicio16.6.43

8a4b04a3

Contestar

2a

Ejercicio16.6.44

24x4y4z0w89xyw7

Ejercicio16.6.45

t2(y4)

Contestar

t2y4

Ejercicio16.6.46

x3(x6x3)

Ejercicio16.6.47

a4b6(a10b16a5b7)

Contestar

a9b15

Ejercicio16.6.48

3a2b3(14a2b52b)

Ejercicio16.6.49

(x+3y)11(2x1)4(x+3y)3(2x1)

Contestar

(x+3y)8(2x1)3

Ejercicio16.6.50

40x5z10(zx4)12(x+z)210z7(zx4)5

Ejercicio16.6.51

xnxr

Contestar

xn+r

Ejercicio16.6.52

axbyz5z

Ejercicio16.6.53

xnxn+3

Contestar

x2n+3

Ejercicio16.6.54

xn+3xn

Ejercicio16.6.55

xn+2x3x4xn

Contestar

x

Ejercicios para la revisión

Ejercicio16.6.56

¿Qué números naturales pueden reemplazarx para que la afirmación5<x3 sea verdadera?

Ejercicio16.6.57

Utilice la propiedad distributiva para expandir4x(2a+3b)

Contestar

8ax+12bx

Ejercicio16.6.58

xxxyyyy(a+b)(a+b)Exprese usando exponentes.

Ejercicio16.6.59

Encuentra el valor de42+3223108

Contestar

8

Ejercicio16.6.60

Encuentra el valor de42+(3+2)21235+24(3223+42.


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