16.6: Reglas de Exponentes
- Última actualización
- 28 mar 2023
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- 161238
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Descripción general
- La regla del producto para exponentes
- La regla del cociente para los exponentes
- Cero como exponente
Comenzaremos nuestro estudio de las reglas de los exponentes recordando la definición de exponentes.
Definición de Exponentes
Six es algún número real yn es un número natural, entonces
xn=x⋅x⋅x⋅…⋅x⏟n factors of x
Un exponente registra el número de factores idénticos en una multiplicación.
Potencia Exponente Base
Enxn,
xes la base
n es el exponente
El número representado porxn se llama una potencia
El términoxn se lee como "xa lan th.”
La regla del producto para exponentes
La primera regla que deseamos desarrollar es la regla para multiplicar dos cantidades exponenciales que tengan la misma base y exponentes numéricos naturales. Los siguientes ejemplos sugieren esta regla:
\ (
\ begin {alineado}
&\ begin {array} {c}
x^ {2}\ cdot x^ {4} =\ underbrackets {x x} _ {2}\ cdot\ underbrackets {x x x} _ {4} =\ underbrackets {x x x x x x} _ {6} =x^ {6}\\
2+4=6
\ end {array}\\ end
\ {alineado}
\)
\ (
a\ cdot a^ {2} =\ underbrackets {a} _ {1}\ cdot\ underbrackets {aa} _ {2} =\ underbrackets {a a a} _ {3} =a^ {3}\\
1 + 2 = 3
\)
Regla de producto para exponentes
Six es un número real yn ym son números naturales,
xnxm=xn+m
Para multiplicar dos cantidades exponenciales que tengan la misma base, sumar los exponentes. Tenga en cuenta que las cantidades exponenciales que se multiplican deben tener la misma base para que se aplique esta regla.
Conjunto de Muestras A
Encuentra los siguientes productos. Todos los exponentes son números naturales.
Ejemplo16.6.1
x3⋅x5=x3+5=x8
Ejemplo16.6.2
a6⋅a14=a6+14=a20
Ejemplo16.6.3
y5⋅y=y5⋅y1=y5+1=y6
Ejemplo16.6.4
(x−2y)8(x−2y)5=(x−2y)8+5=(x−2y)13
Ejemplo16.6.5
x3y4≠(xy)3+4
Dado que las bases no son las mismas, no se aplica la regla del producto.
Conjunto de práctica A
Encuentra cada producto.
Problema de práctica16.6.1
x2⋅x5
- Contestar
-
x2+5=x7
Problema de práctica16.6.2
x9⋅x4
- Contestar
-
x9+4=x13
Problema de práctica16.6.3
y6⋅y4
- Contestar
-
y6+4=y10
Problema de práctica16.6.4
c12⋅c8
- Contestar
-
c12+8=c20
Problema de práctica16.6.5
(x+2)3⋅(x+2)5
- Contestar
-
(x+2)3+5=(x+2)8
Conjunto de Muestras B
Podemos usar la primera regla de exponentes (y las otras que desarrollaremos) junto con las propiedades de los números reales.
Ejemplo16.6.6
2x3⋅7x5=2⋅7⋅x3+5=14x8
Se utilizaron las propiedades conmutativas y asociativas de la mulitplicación. En la práctica, utilizamos estas propiedades “mentalmente” (como se indica en el dibujo de la caja). En realidad no escribimos el segundo paso.
Ejemplo16.6.7
4y3⋅6y2=4⋅6⋅y3+2=24y5
Ejemplo16.6.8
9a2b6(8ab42b3)=9⋅8⋅2a2+1b6+4+3=144a3b13
Ejemplo16.6.9
5(a+6)2⋅3(a+6)8=5⋅3(a+6)2+8=15(a+6)10
Ejemplo16.6.10
4x3⋅12⋅y2=48x3y2
Set de práctica B
Realiza cada multiplicación en un solo paso.
Problema de práctica16.6.6
3x5⋅2x2
- Contestar
-
6x7
Problema de práctica16.6.7
6y3⋅3y4
- Contestar
-
18y7
Problema de práctica16.6.8
4a3b2⋅9a2b
- Contestar
-
36a5b3
Problema de práctica16.6.9
x4⋅4y2⋅2x2⋅7y6
- Contestar
-
56x6y8
Problema de práctica16.6.10
(x−y)3⋅4(x−y)2
- Contestar
-
4(x−y)5
Problema de práctica16.6.11
8x4y2xx3y5
- Contestar
-
8x8y7
Problema de práctica16.6.12
2aaa3(ab2a3)b6ab2
- Contestar
-
12a10b5
Problema de práctica16.6.13
an⋅am⋅ar
- Contestar
-
an+m+r
La regla del cociente para los exponentes
La segunda regla que deseamos desarrollar es la regla para dividir dos cantidades exponenciales que tengan la misma base y exponentes numéricos naturales.
Los siguientes ejemplos sugieren una regla para dividir dos cantidades exponenciales que tengan la misma base y exponentes numéricos naturales.
\ (
\ dfrac {x^ {5}} {x^ {2}} =\ dfrac {x x x x} {x x} =\ dfrac {\ cancel {(x x)} x x x} {\ cancelar {(x x)}} =x x x=x^ {3}. \ text {Observe que} 5-2=3
\)
\ (
\ dfrac {a^8} {a^3} =\ dfrac {aaaaaaaa} {aaa} =\ dfrac {(\ cancel {aaa}) aaaaa} {(\ cancel {aaa})} = aaaaa = a^5. \ text {Observe que} 8-3=5
\)
Regla de cociente para exponentes
Six es un número real yn ym son números naturales,
xnxm=xn−m,x≠0.
Conjunto de Muestras C
Encuentra los siguientes cocientes. Todos los exponentes son números naturales.
Ejemplo16.6.11
x5x2=x5−2=x3
Ejemplo16.6.12
27a3b6c23a2bc=9a3−2b6−1c2−1=9ab5c
Ejemplo16.6.13
15x□3x△=5x□−△
Las bases son las mismas, por lo que restamos los exponentes. Aunque no sabemos exactamente qué es, la notación, indica la resta.
Set de práctica C
Encuentra cada cociente
Problema de práctica16.6.14
y9y5
- Contestar
-
y4
Problema de práctica16.6.15
a7a
- Contestar
-
a6
Problema de práctica16.6.16
(x+6)5(x+6)3
- Contestar
-
(x+6)2
Problema de práctica16.6.17
26x4y6z213x2y2z
- Contestar
-
2x2y4z
Cuando hacemos la restan−m, en la divisiónxnxm, hay tres posibilidades para los valores de los exponentes:
El exponente del numerador es mayor que el exponente del denominador, es decir,n>m. Así, el exponente,n−m, es un número natural.
Los exponentes son los mismos, es decir,n=m. Así, el exponente,n−m, es cero, un número entero.
El exponente del denominador es mayor que el exponente del numerador, es decir,n<m. Así, el exponente,n−m, es un entero.
Cero como exponente
En el Conjunto de Muestras C, los exponentes de los numeradores fueron mayores que los exponentes de los denominadores. Estudiemos el caso cuando los exponentes son los mismos.
Cuando los exponentes son iguales, digamosn, la restan−n produce0.
Así, por la segunda regla de exponentes,xnxn=xn−n=x0
Pero, ¿qué número real, si lo hay,x0 representa? Pensemos por un momento en nuestra experiencia con la división en aritmética. Sabemos que cualquier número distinto de cero dividido por sí mismo es uno.
88=1,4343=1,258258=1
Ya que la letrax representa algún número real distinto de cero dividido por sí misma. Entoncesxnxn=1.
Pero también hemos establecido que six≠0,xnxn=x0. Ahora tenemos esoxnxn=x0 yxnxn=1. Esto implica quex0=1,x≠0.
Los exponentes ahora pueden ser números naturales y cero. Hemos ampliado nuestra colección de números que pueden ser utilizados como exponentes desde la colección de números naturales hasta la colección de números enteros.
Cero como exponente
Six≠0,x0=1
Cualquier número, que no sea0, elevado al poder de0, es1. 00no tiene sentido (no representa un número).
Conjunto de Muestras D
Encuentra cada valor. Supongamos que la base no es cero.
Ejemplo16.6.14
60=1
Ejemplo16.6.15
2460=1
Ejemplo16.6.16
(2a+5)0=1
Ejemplo16.6.17
4y0=4⋅1=4
Ejemplo16.6.18
y6y6=y0=1
Ejemplo16.6.19
2x2x2=2x0=2⋅1=2
Ejemplo16.6.20
\ (
\ begin {alineado}
\ dfrac {5 (x+4) ^ {8} (x-1) ^ {5}} {5} {5 (x+4) ^ {3} (x-1) ^ {5}} & =( x+4) ^ {8-3} (x-1) ^ {5-5}\
& =( x+4) ^ {5} (x-1) ^ {0}\\
& =( x+4) ^ {5}
\ final {alineado}
\)
Set de Práctica D
Encuentra cada valor. Supongamos que la base no es cero.
Problema de práctica16.6.18
y7y3
- Contestar
-
y7−3=y4
Problema de práctica16.6.19
6x42x3
- Contestar
-
3x4−3=3x
Problema de práctica16.6.20
14a77a2
- Contestar
-
2a7−2=2a5
Problema de práctica16.6.21
26x2y54xy2
- Contestar
-
132xy3
Problema de práctica16.6.22
36a4b3c88ab3c6
- Contestar
-
92a3c2
Problema de práctica16.6.23
51(a−4)317(a−4)
- Contestar
-
3(a−4)2
Problema de práctica16.6.24
52a7b3(a+b)826a2b(a+b)8
- Contestar
-
2a5b2
Problema de práctica16.6.25
ana3
- Contestar
-
an−3
Problema de práctica16.6.26
14xrypzq2xryhz5
- Contestar
-
7yp−hzq−5
Ejercicios
Utilice la regla de producto y la regla de cociente de exponentes para simplificar los siguientes problemas. Supongamos que todas las bases son diferentes de cero y que todos los exponentes son números enteros.
Ejercicio16.6.1
32⋅33
- Contestar
-
35=243
Ejercicio16.6.2
52⋅54
Ejercicio16.6.3
90⋅92
- Contestar
-
92=81
Ejercicio16.6.4
73⋅70
Ejercicio16.6.5
24⋅25
- Contestar
-
29=512
Ejercicio16.6.6
x5x4
Ejercicio16.6.7
x2x3
- Contestar
-
x5
Ejercicio16.6.8
a9a7
Ejercicio16.6.9
y5y7
- Contestar
-
y12
Ejercicio16.6.10
m10m2
Ejercicio16.6.11
k8k3
- Contestar
-
k11
Ejercicio16.6.12
y3y4y6
Ejercicio16.6.13
3x2⋅2x5
- Contestar
-
6x7
Ejercicio16.6.14
a2a3a8
Ejercicio16.6.15
4y4⋅5y6
- Contestar
-
20y10
Ejercicio16.6.16
2a3b2⋅3ab
Ejercicio16.6.17
12xy3z2⋅4x2y2z⋅3x
- Contestar
-
144x4y5z3
Ejercicio16.6.18
(3ab)(2a2b)
Ejercicio16.6.19
(4x2)(8xy3)
- Contestar
-
32x3y3
Ejercicio16.6.20
(2xy)(3y)(4x2y5)
Ejercicio16.6.21
(14a2b4)(12b4)
- Contestar
-
18a2b8
Ejercicio16.6.22
(38)(1621x2y3)(x3y2)
Ejercicio16.6.23
8583
- Contestar
-
82=64
Ejercicio16.6.24
6463
Ejercicio16.6.25
2924
- Contestar
-
25=32
Ejercicio16.6.26
416413
Ejercicio16.6.27
x5x3
- Contestar
-
x2
Ejercicio16.6.28
y4y3
Ejercicio16.6.29
y9y4
- Contestar
-
y5
Ejercicio16.6.30
k16k13
Ejercicio16.6.31
x4x2
- Contestar
-
x2
Ejercicio16.6.32
y5y2
Ejercicio16.6.33
m16m9
- Contestar
-
m7
Ejercicio16.6.34
a9b6a5b2
Ejercicio16.6.35
y3w10yw5
- Contestar
-
y2w5
Ejercicio16.6.36
m17n12m16n10
Ejercicio16.6.37
x5y7x3y4
- Contestar
-
x2y3
Ejercicio16.6.38
15x20y24z45x19yz
Ejercicio16.6.39
e11e11
- Contestar
-
e0=1
Ejercicio16.6.40
6r46r4
Ejercicio16.6.41
x0x0
- Contestar
-
x0=1
Ejercicio16.6.42
a0b0c0
Ejercicio16.6.43
8a4b04a3
- Contestar
-
2a
Ejercicio16.6.44
24x4y4z0w89xyw7
Ejercicio16.6.45
t2(y4)
- Contestar
-
t2y4
Ejercicio16.6.46
x3(x6x3)
Ejercicio16.6.47
a4b6(a10b16a5b7)
- Contestar
-
a9b15
Ejercicio16.6.48
3a2b3(14a2b52b)
Ejercicio16.6.49
(x+3y)11(2x−1)4(x+3y)3(2x−1)
- Contestar
-
(x+3y)8(2x−1)3
Ejercicio16.6.50
40x5z10(z−x4)12(x+z)210z7(z−x4)5
Ejercicio16.6.51
xnxr
- Contestar
-
xn+r
Ejercicio16.6.52
axbyz5z
Ejercicio16.6.53
xn⋅xn+3
- Contestar
-
x2n+3
Ejercicio16.6.54
xn+3xn
Ejercicio16.6.55
xn+2x3x4xn
- Contestar
-
x
Ejercicios para la revisión
Ejercicio16.6.56
¿Qué números naturales pueden reemplazarx para que la afirmación−5<x≤3 sea verdadera?
Ejercicio16.6.57
Utilice la propiedad distributiva para expandir4x(2a+3b)
- Contestar
-
8ax+12bx
Ejercicio16.6.58
xxxyyyy(a+b)(a+b)Exprese usando exponentes.
Ejercicio16.6.59
Encuentra el valor de42+32⋅23−10⋅8
- Contestar
-
8
Ejercicio16.6.60
Encuentra el valor de42+(3+2)2−123⋅5+24(32−23+42.