17.6: Multiplicación y división de números firmados

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Visión general

Multiplicación de números firmados
División de Números Firmados

Multiplicación de números firmados

Consideremos primero el producto de dos números positivos.

Multiplicar:\(3 \cdot 5\)
\(3 \cdot 5\) medias\(5+5+5=15\).

Esto sugiere que

(número positivo)\(\cdot\) (número positivo) número\(=\) positivo.

Ahora considere el prod {ssssssssssssssssuct de un número positivo y un número negativo.

Multiplicar:\((3)(−5)\).
\((3)(−5)\)significa\((−5)+(−5)+(−5)=−15\).

Esto sugiere que

(número positivo)\(\cdot\) (número negativo) número\(=\) negativo

De manera más breve,\((+)(-) = -\).

Por la propiedad conmutativa de la multiplicación, obtenemos:

(número negativo)\(\cdot\) (número positivo) número\(=\) negativo)

Más brevemente,\((-)(+) = -\)

El signo del producto de dos números negativos se puede determinar utilizando la siguiente ilustración: Multiplicar\(−2\) por, respectivamente,\(4,3,2,1,0,−1,−2,−3,−4\). Observe que cuando el multiplicador disminuye en\(1\), el producto aumenta en\(2\).

\ (\ izquierda. \ begin {array} {l}
4 (-2) =-8\\
3 (-2) =-6\\
2 (-2) =-4\\
1 (-2) =-2
\ end {array}\ right\}\ rightarrow\ text {Como sabemos,} (+) (-) =-\)

\ (
(0) (-2) = 0\ fila derecha\ texto {Como sabemos,} 0\ cdot\ texto {(cualquier número)} = 0
\)

\ (\ izquierda. \ begin {array} {l}
-1 (-2) =2\\
-2 (-2) =4\\
-3 (-2) =6\\
-4 (-2) =8
\ end {array}\ right\}\ rightarrow\ text {Este patrón sugiere} (-) (-) =+.\)

Tenemos las siguientes reglas para multiplicar números firmados.

Reglas para multiplicar números firmados

Multiplicar dos números reales que tienen

el mismo signo, multiplican sus valores absolutos. El producto es positivo.
\((+)(+)=+\)
\((−)(−)=+\)
signos opuestos, multiplican sus valores absolutos. El producto es negativo.
\((+)(−)=−\)
\((−)(+)=−\)

Conjunto de Muestras A

Encuentra los siguientes productos.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

\(8 \cdot 6\)
Multiplique estos valores absolutos.

\ (\ izquierda. \ begin {array} {l}
|8|=8\\
|6|=6
\ end {array}\ right\}\ quad 8\ cdot 6=48\)

Dado que los números tienen el mismo signo, el producto es positivo.
\(8 \cdot 6=+48\)o\(8 \cdot 6=48\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

\((-8)(-6)\)
Multiplique estos valores absolutos.

\ (\ izquierda. \ begin {array} {l}
|-8|=8\\
|-6|=6
\ end {array}\ right\}\ quad 8\ cdot 6=48\)

Dado que los números tienen el mismo signo, el producto es positivo.
\((-8)(-6)=+48\)o\((-8)(-6)=48\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

\((-4)(7)\)
Multiplique estos valores absolutos.
\ (
\ izquierda. \ begin {array} {rl}
|-4| & =4\\
|7| & =7
\ end {array}\ right\}\ quad 4\ cdot 7=28
\)
Dado que los números tienen signos opuestos, el producto es negativo.
\ (
(-4) (7) =-28
\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

\(6(-3)\)
Multiplique estos valores absolutos.
\ (
\ izquierda. \ begin {array} {l}
|6|=6\\
|-3|=3
\ end {array}\ right\} 6\ cdot 3=18
\)
Dado que los números tienen signos opuestos, el producto es negativo.
\ (
6 (-3) =-18
\)

Conjunto de práctica A

Encuentra los siguientes productos.

Problema de práctica\(\PageIndex{1}\)

\(3(-8)\)

Responder: \(-24\)

Problema de práctica\(\PageIndex{2}\)

\(4(16)\)

Responder: \(64\)

Problema de práctica\(\PageIndex{3}\)

\((-6)(-5)\)

Responder: \(30\)

Problema de práctica\(\PageIndex{4}\)

\((-7)(-2)\)

Responder: \(14\)

Problema de práctica\(\PageIndex{5}\)

\((-1)(4)\)

Responder: \(-4\)

Problema de práctica\(\PageIndex{6}\)

\((-7)(7)\)

Responder: \(-49\)

División de Números Firmados

Podemos determinar el patrón de signos para la división relacionando la división con la multiplicación. La división se define en términos de multiplicación de la siguiente manera.

Si\(b \cdot c\), entonces\(\dfrac{a}{b} = c\),\(b \not = 0\)

Por ejemplo, ya que\(3 \cdot 4 = 12\), se deduce que\(\dfrac{12}{3} = 4\).

Observe el patrón:
\( \text { Since } \underbrace{3 \cdot 4}_{b \cdot c=a}=12, \text { it follows that } \underbrace{\dfrac{12}{3}}_{\dfrac{a}{b}=c}=4\)

El patrón de signos para la división sigue del patrón de signos para la multiplicación.

Dado que\(\underbrace{(+)(+)}_{b \cdot c=a}=+\), se deduce que\(\underbrace{\dfrac{(+)}{(+)}}_{\dfrac{a}{b}=c}=+\), es decir,
\(\dfrac{(\text { positive number })}{\text { (positive number) }}= \text{positive number}\)

Dado que\(\underbrace{(-)(-)}_{b \cdot c=a}=+\), se deduce que\(\underbrace{\dfrac{(+)}{(-)}}_{\dfrac{a}{b}=c}=-\), es decir,
\(\dfrac{\text { (positive number) }}{\text { (negative number) }}= \text{negative number}\)

Dado que\(\underbrace{(+)(-)}_{b \cdot c=a}=-\), se deduce que\(\underbrace{\dfrac{(-)}{(+)}}_{\dfrac{a}{b}=c}=-\), es decir,
\(\dfrac{(\text { negative number })}{\text { (positive number) }}= \text{negative number}\)

Ya que\(\underbrace{(-)(+)}_{b \cdot c=a}=-\), se deduce que\(\underbrace{\dfrac{(-)}{(-)}}_{\dfrac{a}{b}=c}=+\), es decir
\(\dfrac{(\text { negative number })}{(\text { negative number })}= \text{positive number}\)

Tenemos las siguientes reglas para dividir números firmados.

Reglas para dividir números firmados

Dividir dos números reales que tienen

el mismo signo, dividen sus valores absolutos. El cociente es positivo.
\(\dfrac{(+)}{(+)} = +\)\(\dfrac{(-)}{(-)} = +\)

signos opuestos, dividen sus valores absolutos. El cociente es negativo.
\(\dfrac{(-)}{(+)} = -\)\(\dfrac{(+)}{(-)} = -\)

Conjunto de Muestras B

Encuentra los siguientes cocientes.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

\(\dfrac{-10}{2}\)
\(\left.\begin{array}{rr}|-10|=10 \\ |2|=2\end{array}\right\}\)Dividir estos valores absolutos.

\(\dfrac{10}{2}=5\)

\(\dfrac{-10}{2}=-5 \quad\)Dado que los números tienen signos opuestos, el cociente es negativo.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

\(\dfrac{-35}{-7}\)
\(\left.\begin{array}{rr}|-35|=35 \\ |-7|=7\end{array}\right\}\)Dividir estos valores absolutos.

\(\dfrac{35}{7}=5\)

\(\dfrac{-35}{-7}=-5 \quad\)Dado que los números tienen los mismos signos, el cociente es positivo.

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

\(\dfrac{18}{-9}\)
\(\left.\begin{array}{rr}|18|=18 \\ |-9|=9\end{array}\right\}\)Dividir estos valores absolutos.

\(\dfrac{18}{9}=2\)

\(\dfrac{18}{-9}=-2 \quad\)Dado que los números tienen signos opuestos, el cociente es negativo.

Set de práctica B

Encuentra los siguientes cocientes.

Problema de práctica\(\PageIndex{7}\)

\(\dfrac{-24}{-6}\)

Responder: \(4\)

Problema de práctica\(\PageIndex{8}\)

\(\dfrac{30}{-5}\)

Responder: \(-6\)

Problema de práctica\(\PageIndex{9}\)

\(\dfrac{-54}{27}\)

Responder: \(-2\)

Problema de práctica\(\PageIndex{10}\)

\(\dfrac{51}{17}\)

Responder: \(3\)

Conjunto de Muestras C

Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

Encuentra el valor de\(\dfrac{-6(4-7)-2(8-9)}{-(4+1)+1}\)
Usando el orden de las operaciones y lo que sabemos de los números firmados, obtenemos

\ (\ begin {aligned}
\ dfrac {-6 (4-7) -2 (8-9)} {- (4+1) +1} &=\ dfrac {-6 (-3) -2 (-1)} {- (5) +1}\\
&=\ dfrac {18+2} {-5+1}\\
&=\ dfrac {20} {-4}\\
&=-5
\ end {alineado}
\)

Ejemplo\(\PageIndex{9}\)

Encontrar el valor de\(z = \dfrac{x-u}{s}\) if\(x = 57\),\(u = 51\), y\(s = 2\)

Sustituyendo estos valores obtenemos

\(z = \dfrac{57 - 51}{2} = \dfrac{6}{2} = 3\)

Set de práctica C

Problema de práctica\(\PageIndex{11}\)

Encuentra el valor de\(\dfrac{-7(4-8)+2(1-11)}{-5(1-6)-17}\)

Responder: \(1\)

Problema de práctica\(\PageIndex{11}\)

Encuentra el valor de\(P = \dfrac{n(n-3)}{2n}\), si\(n = 5\)

Responder: \(1\)

Ejercicios

Encuentra el valor de cada una de las siguientes expresiones.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

\((-2)(-8)\)

Responder: \(16\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

\((-3)(-9)\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

\((-4)(-8)\)

Responder: \(32\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

\((-5)(-2)\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

\((-6)(-9)\)

Responder: \(54\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

\((−3)(−11)\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

\((−8)(−4)\)

Responder: \(32\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

\((−1)(−6)\)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

\((3)(−12)\)

Responder: \(-36\)

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

\((4)(−18)\)

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

\(8(-4)\)

Responder: \(-32\)

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

\(5(−6)\)

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

\(9(−2)\)

Responder: \(-18\)

Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

\(7(−8)\)

Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

\((-6)4\)

Responder: \(-24\)

Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

\((−7)6\)

Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

\((−10)9\)

Responder: \(-90\)

Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

\((−4)12\)

Ejercicio\(\PageIndex{19}\)

\((10)(−6)\)

Responder: \(-60\)

Ejercicio\(\PageIndex{20}\)

\((−6)(4)\)

Ejercicio\(\PageIndex{21}\)

\((−2)(6)\)

Responder: \(-12\)

Ejercicio\(\PageIndex{22}\)

\((−8)(7)\)

Ejercicio\(\PageIndex{23}\)

\(\dfrac{21}{7}\)

Responder: \(3\)

Ejercicio\(\PageIndex{24}\)

\(\dfrac{42}{6}\)

Ejercicio\(\PageIndex{25}\)

\(\dfrac{-39}{3}\)

Responder: \(-13\)

Ejercicio\(\PageIndex{26}\)

\(\dfrac{-20}{10}\)

Ejercicio\(\PageIndex{27}\)

\(\dfrac{-45}{-5}\)

Responder: \(9\)

Ejercicio\(\PageIndex{28}\)

\(\dfrac{-16}{-8}\)

Ejercicio\(\PageIndex{29}\)

\(\dfrac{25}{-5}\)

Responder: \(-5\)

Ejercicio\(\PageIndex{30}\)

\(\dfrac{36}{-4}\)

Ejercicio\(\PageIndex{31}\)

\(8 -(-3)\)

Responder: \(11\)

Ejercicio\(\PageIndex{32}\)

\(14−(−20)\)

Ejercicio\(\PageIndex{33}\)

\(20−(−8)\)

Responder: \(28\)

Ejercicio\(\PageIndex{34}\)

\(−4−(−1)\)

Ejercicio\(\PageIndex{35}\)

\(0−4\)

Responder: \(-4\)

Ejercicio\(\PageIndex{36}\)

\(0−(−1)\)

Ejercicio\(\PageIndex{37}\)

\(−6+1−7\)

Responder: \(-12\)

Ejercicio\(\PageIndex{38}\)

\(15−12−20\)

Ejercicio\(\PageIndex{39}\)

\(1−6−7+8\)

Responder: \(-4\)

Ejercicio\(\PageIndex{40}\)

\(2+7−10+2\)

Ejercicio\(\PageIndex{41}\)

\(3(4−6)\)

Responder: \(-6\)

Ejercicio\(\PageIndex{42}\)

\(8(5−12)\)

Ejercicio\(\PageIndex{43}\)

\(−3(1−6)\)

Responder: \(15\)

Ejercicio\(\PageIndex{44}\)

\(−8(4−12)+2\)

Ejercicio\(\PageIndex{45}\)

\(−4(1−8)+3(10−3)\)

Responder: \(49\)

Ejercicio\(\PageIndex{46}\)

\(−9(0−2)+4(8−9)+0(−3)\)

Ejercicio\(\PageIndex{47}\)

\(6(−2−9)−6(2+9)+4(−1−1)\)

Responder: \(-140\)

Ejercicio\(\PageIndex{48}\)

\(\dfrac{3(4+1)-2(5)}{-2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{49}\)

\(\dfrac{4(8+1)-3(-2)}{-4-2}\)

Responder: \(-7\)

Ejercicio\(\PageIndex{50}\)

\(\dfrac{-1(3+2)+5}{-1}\)

Ejercicio\(\PageIndex{51}\)

\(\dfrac{-3(4-2)+(-3)(-6)}{-4}\)

Contestar: \(-3\)

Ejercicio\(\PageIndex{52}\)

\(−1(4+2)\)

Ejercicio\(\PageIndex{53}\)

\(−1(6−1)\)

Contestar: \(-5\)

Ejercicio\(\PageIndex{54}\)

\(−(8+21)\)

Ejercicio\(\PageIndex{55}\)

\(−(8−21)\)

Contestar: \(13\)

Ejercicio\(\PageIndex{56}\)

\(−(10−6)\)

Ejercicio\(\PageIndex{57}\)

\(−(5−2)\)

Contestar: \(-3\)

Ejercicio\(\PageIndex{58}\)

\(−(7−11)\)

Ejercicio\(\PageIndex{59}\)

\(−(8−12)\)

Contestar: \(4\)

Ejercicio\(\PageIndex{60}\)

\(−3[(−1+6)−(2−7)]\)

Ejercicio\(\PageIndex{61}\)

\(−2[(4−8)−(5−11)]\)

Contestar: \(-4\)

Ejercicio\(\PageIndex{62}\)

\(−5[(−1+5)+(6−8)]\)

Ejercicio\(\PageIndex{63}\)

\(−[(4−9)+(−2−8)]\)

Contestar: \(15\)

Ejercicio\(\PageIndex{64}\)

\(−3[−2(1−5)−3(−2+6)]\)

Ejercicio\(\PageIndex{65}\)

\(−2[−5(−10+11)−2(5−7)]\)

Contestar: \(2\)

Ejercicio\(\PageIndex{66}\)

\(P = R - C\). Encuentra\(P\) si\(R = 2000\) y\(C = 2500\).

Ejercicio\(\PageIndex{67}\)

\(z = \dfrac{x-u}{s}\). Encuentra\(z\) si\(x = 23\),\(u = 25\), y\(s = 1\).

Contestar: \(-2\)

Ejercicio\(\PageIndex{68}\)

\(z = \dfrac{x-u}{s}\). Encuentra\(z\) si\(x = 410\),\(u = 430\), y\(s = 2.5\).

Ejercicio\(\PageIndex{69}\)

\(m = \dfrac{2s + 1}{T}\). Encuentra\(m\) si\(s = -8\) y\(T = 5\).

Contestar: \(-3\)

Ejercicio\(\PageIndex{70}\)

\(m = \dfrac{2s + 1}{T}\). Encuentra\(m\) si\(s = -10\) y\(T = -5\).

Ejercicio\(\PageIndex{71}\)

\(F = (p_{1} - p_{2})r^{4} \cdot 9\). Encuentra\(F\) si\(p_{1} = 10\),\(p_{2} = 8\),\(r = 3\).

Contestar: \(1458\)

Ejercicio\(\PageIndex{72}\)

\(F = (p_{1} - p_{2})r^{4} \cdot 9\). Averiguar\(F\) si\(p_{1} = 12\),\(p_{2} = 7\),\(r = 2\)

Ejercicio\(\PageIndex{73}\)

\(P = n(n-1)(n-2)\). Averiguar\(P\) si\(n = -4\).

Contestar: \(-120\)

Ejercicio\(\PageIndex{74}\)

\(P = n(n-1)(n-2)(n-3)\). Averiguar\(P\) si\(n = -5\).

Ejercicio\(\PageIndex{75}\)

\(P = \dfrac{n(n-2)(n-4)}{2n}\). Averiguar\(P\) si\(n = -6\).

Contestar: \(40\)

Ejercicios para la revisión

Ejercicio\(\PageIndex{76}\)

¿Qué números naturales pueden reemplazar\(x\) para que la afirmación\(−4<x\le3\) sea verdadera?

Ejercicio\(\PageIndex{77}\)

Simplificar\(\dfrac{(x+2y)^5(3x-1)^7}{(x+2y)^3(3x-1)^6}\)

Contestar: \((x+2y)^2(3x-1)\)

Ejercicio\(\PageIndex{78}\)

Simplificar\((x^ny^{3t})^5\).

Ejercicio\(\PageIndex{79}\)

Encuentra la suma. \(-6 + (-5)\)

Contestar: \(-11\)

Ejercicio\(\PageIndex{80}\)

Encuentra la diferencia\(-2 -(-8)\)