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LibreTexts Español

20.7: Factorización de Trinomios con Coeficiente Líder 1

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Método

Consideremos el producto de los dos binomios(x+4) y(x+7).

El producto de dos binomios, x más cuatro y x más siete, es igual a x cuadrado más siete x más cuatro x más veintiocho, lo que se simplifica a x cuadrado más once x más veintiocho. El método FOIL se muestra mediante flechas desde el primer binomio hasta el segundo binomio en el producto.

Observe que el primer término en el trinomio resultante proviene del producto de los primeros términos en los binomios:xx=x2. El último término en el trinomio proviene del producto de los últimos términos en los binomios:47=28. El término medio proviene de la adición de los productos externos e internos:7x+4x=11x. También, observe que el coeficiente del término medio es exactamente la suma de los últimos términos en los binomios:4+7=11.

El problema que nos interesa es que dado un trinomio, ¿cómo podemos encontrar los factores? Cuando el coeficiente principal (el coeficiente del término cuadrático) es 1, las observaciones que hicimos anteriormente nos llevan al siguiente método de factorización.

Método de Factoraje
  1. Escribe dos conjuntos de paréntesis: () ().
  2. Coloque un binomio en cada conjunto de paréntesis. El primer término de cada binomio es un factor del primer término del trinomio.
  3. Determinar los segundos términos de los binomios determinando los factores del tercer término que al sumarse juntos producen el coeficiente del término medio.

Conjunto de Muestras A

Factorizar los siguientes trinomios.

Ejemplo20.7.1

x2+5x+6

1. Escribe dos conjuntos de paréntesis: () ().

2. Coloque los factores dex2 en la primera posición de cada conjunto de paréntesis:
(x) (x)
3. El tercer término del trinomio es6. Buscamos dos números cuyo
(a) producto es6
(b) suma es5
Los números requeridos son3 y2. +2Colocar+3 y entre paréntesis.
x2+5x+6=(x+3)(x+2)
La factorización está completa. Verificaremos para estar seguros:

\ (\ begin {array} {ruedado}
(x+3) (x+2) &=&x^2 + 2x + 3x + 6\\
&=&x^2 + 5x + 6
\ end {array}\)

Ejemplo20.7.2

y22y24

1. Escribe dos conjuntos de paréntesis: () ().

2. Coloque los factores dey2 en la primera posición de cada conjunto de paréntesis:
(y) (y)

3. El tercer término del trinomio es24. Buscamos dos números cuyo
(a) producto es24 y
(b) suma es2
Los números requeridos son6 y4. +4Colocar6 y entre paréntesis.
y22y24=(y6)(y+4)
La factorización está completa. Lo comprobaremos para estar seguros.

\ (\ begin {array} {ras a la izquierda}
(y-6) (y+4) &=&y^2+4y-6y-24\\
&=&y^2-2y-24
\ end {array}\)

Observe que las otras combinaciones de24 (algunas de las cuales son2,12;3,8;4,6), no funcionan. Por ejemplo,

\ (\ begin {array} {ras a la izquierda}
(y-2) (y+12) &=&y^2+10y-24\\
(y+3) (y-8) &=&y^2-5y-24\\
(y-4) (y+6) &=&y^2+2y-24
\ end {array}\)

En todas estas ecuaciones, los términos medios son incorrectos.

Ejemplo20.7.3

a211a+30

1. Escribe dos conjuntos de paréntesis: () ().

2. Coloque los factores dea2 en la primera posición de cada conjunto de paréntesis:
(a) (a)

3. El tercer término del trinomio es+30. Buscamos dos números cuyo:
(a) producto es30 y
(b) suma es11.
Los números requeridos son5 y6. 6Colocar5 y entre paréntesis.
a211a+30=(a5)(a6)
La factorización está completa. Verificaremos para estar seguros

\ (\ begin {array} {ruedado}
(a-5) (a-6) &=&a^2 - 6a - 5a + 30\\
&=&a^2 - 11a + 30
\ end {array}\)

Ejemplo20.7.4

3x215x42

Antes de comenzar, recordemos la regla más básica de factorización: factorizar primero los factores monomiales comunes. Observe que3 es el mayor factor monomio común de cada término. Factorizar hacia fuera3.

3x215x42=3(x25x14)

Ahora podemos continuar.

1. Escribe dos conjuntos de paréntesis:3 () ().

2. Coloque los factores dex2 en la primera posición de cada conjunto de paréntesis:
3 (x) (x)

3. El tercer término del trinomio es14. Buscamos dos números cuyo
(a) producto es14 y
(b) suma es5.
Los números requeridos son7 y2. +2Colocar7 y entre paréntesis.
3x215x42=3(x7)(x+2)
La factorización está completa. Lo comprobaremos para estar seguros.

\ (\ begin {array} {arrojar a la izquierda}
3 (x-7) (x+2) &=&3 (x^2+2x-7x-14)\\
&=&3 (x^2-5x-14)\\
&=&3x^2 - 15x - 42
\ end {array}\)

Conjunto de práctica A

Factorizar, si es posible, los siguientes trinomios.

Problema de práctica20.7.1

k2+8k+15

Contestar

(k+3)(k+5)

Problema de práctica20.7.2

y2+7y30

Contestar

(y+10)(y3)

Problema de práctica20.7.3

m2+10m+24

Contestar

(m+6)(m+4)

Problema de práctica20.7.4

m210m+16

Contestar

(m8)(m2)

Consejos de factorización

Factorizar trinomios puede requerir algo de práctica, pero con el tiempo y la experiencia, podrás factorizar mucho más rápidamente.

Hay algunas pistas que son útiles para determinar los factores del tercer término que al agregarse arrojan el coeficiente del término medio.

Consejos de factorización

Mira el signo del último término:

  1. Si el signo es positivo, sabemos que los dos factores deben tener el mismo signo, ya que(+)(+)=(+) y()()=(+). Los dos factores tendrán el mismo signo que el signo del mediano plazo.
  2. Si el signo es negativo, sabemos que dos factores deben tener signos opuestos, ya que(+)()=() y()(+)=().

Conjunto de Muestras B

Ejemplo20.7.5

Factorx27x+12

1. Escribe dos conjuntos de paréntesis: () ().

2. El tercer término del trinomio es+12. El signo es potitivo, por lo que los dos factores de12 que estamos buscando deben tener el mismo signo. Tendrán el signo del término medio. El signo del término medio es negativo, por lo que ambos factores de12 son negativos. Ellos son12 y1,6 y2, o4 y3. Sólo los factores4 y se3 suman a7, así4 y3 son los factores adecuados de12 para ser utilizados.

x27x+12=(x4)(x3)

Set de práctica B

Factorizar, si es posible, los siguientes trinomios.

Problema de práctica20.7.5

4k2+32k+28

Contestar

4(k+7)(k+1)

Problema de práctica20.7.5

3y4+24y3+36y2

Contestar

3y2(y+2)(y+6)

Problema de práctica20.7.5

x2xy6y2

Contestar

(x+2y)(x3y)

Problema de práctica20.7.5

5a5b10a4b2+15a3b3

Contestar

5a3b(a+3b)(ab)

Ejercicios

Para los siguientes problemas, factorizar los trinomios cuando sea posible.

Ejercicio20.7.1

x2+4x+3

Contestar

(x+3)(x+1)

Ejercicio20.7.2

x2+6x+8

Ejercicio20.7.3

x2+7x+12

Contestar

(x+3)(x+4)

Ejercicio20.7.4

x2+6x+5

Ejercicio20.7.5

y2+8y+12

Contestar

(y+6)(y+2)

Ejercicio20.7.6

y25y+6

Ejercicio20.7.7

y25y+4

Contestar

(y4)(y1)

Ejercicio20.7.8

a2+a6

Ejercicio20.7.9

a2+3a4

Contestar

(a+4)(a1)

Ejercicio20.7.10

x2+4x21

Ejercicio20.7.11

x24x21

Contestar

(x7)(x+3)

Ejercicio20.7.12

x2+7x+12

Ejercicio20.7.13

y2+10y+16

Contestar

(y+8)(y+2)

Ejercicio20.7.14

x2+6x16

Ejercicio20.7.15

y28y+7

Contestar

(y7)(y1)

Ejercicio20.7.16

y25y24

Ejercicio20.7.17

a2+a30

Contestar

(a+6)(a5)

Ejercicio20.7.18

a23a+2

Ejercicio20.7.19

a212a+20

Contestar

(a10)(a2)

Ejercicio20.7.20

y24y32

Ejercicio20.7.21

x2+13x+42

Contestar

(x+6)(x+7)

Ejercicio20.7.22

x2+2x35

Ejercicio20.7.23

x2+13x+40

Contestar

(x+5)(x+8)

Ejercicio20.7.24

y2+6y27

Ejercicio20.7.25

b2+15b+56

Contestar

(b+8)(b+7)

Ejercicio20.7.26

3a2+24a+36

(Pista: Siempre busque un factor común.)

Ejercicio20.7.27

4x2+12x+8

Contestar

4(x+2)(x+1)

Ejercicio20.7.28

2a218a+40

Ejercicio20.7.29

5y270y+440

Contestar

5(y214y+88)

Ejercicio20.7.30

6x254x+48

Ejercicio20.7.31

x3+6x2+8x

Contestar

x(x+4)(x+2)

Ejercicio20.7.32

x38x2+15x

Ejercicio20.7.33

x4+9x3+14x2

Contestar

x2(x+7)(x+2)

Ejercicio20.7.34

2a3+12a2+10a

Ejercicio20.7.35

4a340a2+84a

Contestar

4a(a7)(a3)

Ejercicio20.7.36

3xm2+33xm+54x

Ejercicio20.7.37

2y2n210y2n48y2

Contestar

2y2(n8)(n+3)

Ejercicio20.7.38

4x442x3+144x2

Ejercicio20.7.39

y5+13y4+42y3

Contestar

y3(y+6)(y+7)

Ejercicio20.7.40

4x2a648x2a5+252x2a4

Ejercicios para la revisión

Ejercicio20.7.41

Factor6xy+2ax3aya2.

Contestar

(2xa)(3y+a)

Ejercicio20.7.42

Factor8a250.

Ejercicio20.7.43

Factor4x2+17x15.

Contestar

(4x3)(x+5)


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