24.6: Resolver ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática

Forma estándar de una ecuación cuadrática

Hemos observado que una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma

$ax^2 + bx + c = 0, a \not = 0$.

donde

• $a$es el coeficiente del término cuadrático,
• $b$es el coeficiente del término lineal,
• $c$es el término constante.

Forma estándar

La ecuación$ax^2 + bc + c = 0$ es la forma estándar de una ecuación cuadrática.

Conjunto de Muestras A

Determinar los valores de$a, b$, y$c$.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

En la ecuación$3x^2 + 5x + 2 = 0$,

$a = 3$

$b = 5$

$c = 2$

Ejemplo$\PageIndex{2}$

En la ecuación$12x^2-2x-1 = 0$,

$a = 12$

$b = -2$

$c = -1$

Ejemplo$\PageIndex{3}$

En la ecuación$2y^2 + 3 = 0$,

$a = 2$

$b = 0$-> Porque la ecuación podría escribirse$2y^2 + 0y + 3 = 0$

$c = 3$

Ejemplo$\PageIndex{4}$

En la ecuación$-8y^2 + 11y = 0$,

$a = -8$

$b = 11$

$c = 0$-> Desde$-8y^2 + 11y + 0 = 0$

Ejemplo$\PageIndex{5}$

En la ecuación$z^2 = z + 8$,

$a = 1$

$b = -1$

$c = -8$

Cuando escribimos la ecuación en forma estándar, obtenemos$z^2 - z - 8 = 0$

Conjunto de práctica A

Determinar los valores de$a, b$, y$c$ en las siguientes ecuaciones cuadráticas.

Problema de práctica$\PageIndex{1}$

$4x^2 - 3x + 5 = 0$

Contestar

\ (\ begin {array} {flaqueado}
a &= 4\\
b &= -3\\
c &= 5
\ end {array}\)

Problema de práctica$\PageIndex{2}$

$3y^2 - 2y + 9 = 0$

Contestar

\ (\ begin {array} {flaqueado}
a &= 3\\
b &= -2\\
c &= 9
\ end {array}\)

Problema de práctica$\PageIndex{3}$

$x^2 - 5x - 1 = 0$

Contestar

\ (\ begin {array} {ruedado}
a &= 1\\
b &= -5\\
c &= -1
\ end {array}\)

Problema de práctica$\PageIndex{4}$

$x^2 - 4 = 0$

Contestar

\ (\ begin {array} {ruedado}
a &= 1\\
b &= 0\\
c &= -4
\ end {array}\)

Problema de práctica$\PageIndex{5}$

$x^2 - 2x = 0$

Contestar

\ (\ begin {array} {ruedado}
a &= 1\\
b &= -2\\
c &= 0
\ end {array}\)

Problema de práctica$\PageIndex{6}$

$y^2 = 5y - 6$

Contestar

\ (\ begin {array} {ruedado}
a &= 1\\
b &= -5\\
c &= 6
\ end {array}\)

Problema de práctica$\PageIndex{7}$

$2x^2 - 4x = -1$

Contestar

\ (\ begin {array} {ruedado}
a &= 2\\
b &= -4\\
c &= 1
\ end {array}\)

Problema de práctica$\PageIndex{8}$

$5x - 3 = -3x^2$

Contestar

\ (\ begin {array} {ruedado}
a &= 3\\
b &= 5\\
c &= -3
\ end {array}\)

Problema de práctica$\PageIndex{9}$

$2x - 11 - 3x^2 = 0$

Contestar

\ (\ begin {array} {ruedado}
a &= -3\\
b &= 2\\
c &= -11
\ end {array}\)

Problema de práctica$\PageIndex{10}$

$y^2 = 0$

Contestar

\ (\ begin {array} {flaqueado}
a &= 1\\
b &= 0\\
c &= 0
\ end {array}\)

Las soluciones a todas las ecuaciones cuadráticas dependen única y completamente de los valores$a, b$ y$c$

La fórmula cuadrática

Cuando una ecuación cuadrática se escribe en forma estándar para que los valores$a, b$, y$c$ se determinen fácilmente, la ecuación se puede resolver usando la fórmula cuadrática. Los valores que satisfacen la ecuación se encuentran sustituyendo los valores$a, b$, y$c$ en la fórmula

Fórmula cuadrática

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Ten en cuenta que el símbolo más o menos,\ pm, es solo una forma taquigráfica o denota las dos posibilidades:

$x = \dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$y$x = \dfrac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

La fórmula cuadrática se puede derivar utilizando el método de completar el cuadrado.

Derivación De La Fórmula Cuadrática

Nota

Resuelve$ax^2 + bx = -c = 0$$x$ por completando la plaza.

Restar$c$ de ambos lados.

$ax^2 + bx = -c$.

Dividir ambos lados por$a$, el coeficiente de$x^2$.

$x^2 + \dfrac{b}{a}x = \dfrac{-c}{a}$

Ahora tenemos la forma adecuada para completar la plaza. Tome la mitad del coeficiente de$x$, cuadráquelo y agregue el resultado a ambos lados de la ecuación que se encuentra en el paso 2.

a)$\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{b}{a} = \dfrac{b}{2a}$ es la mitad del coeficiente de$x$.

b)$(\dfrac{b}{2a})^2$ es el cuadrado de la mitad del coeficiente de$x$

$x^2 + \dfrac{b}{a} + (\dfrac{b}{2a})^2 = \dfrac{-c}{a} + (\dfrac{b}{2a})^2$

El lado izquierdo de la ecuación es ahora un trinomio cuadrado perfecto y se puede factorizar. Esto nos da:

$(x + \dfrac{b}{2a})^2 = \dfrac{-c}{a} + \dfrac{b^2}{4a^2}$

Sumar las dos fracciones en el lado derecho de la ecuación. La pantalla LCD$= 4a^2$.

\ (\ begin {array} {ras a la izquierda}
(x +\ dfrac {b} {2a}) ^2 &=\ dfrac {-4ac} {4a^2} +\ dfrac {b^2} {4a^2}\\
(x +\ dfrac {b} {2a}) ^2 &=\ dfrac {-4ac + b^2} {4a^ ^2}\\
(x +\ dfrac {b} {2a}) ^2 &=\ dfrac {b^2 - 4ac} {4a^2}
\ end {array}\)

Resuelve por$x$ usar el método de extracción de raíces.

\ (\ begin {array} {ras a la izquierda}
x +\ dfrac {b} {2a} &=\ pm\ sqrt {\ dfrac {b^2 - 4ac} {4a^2}}\\
x +\ dfrac {b} {2a} &=\ pm\ dfrac {\ sqrt {b^2 - 4ac}} {\ sqrt {4a^2}} &\ sqrt {4a^2} = |2a| = 2a| =\ pm 2a\\
x +\ dfrac {b} {2a} &=\ pm\ dfrac {\ sqrt {b^2 - 4ac}} {2a}\\
x &= -\ dfrac {b} {2a}\ pm\ dfrac {\ sqrt {b^2 - 4ac}} {2a} &\ text {Agrega estas dos fracciones}\\
x &=\ dfrac {-b\ pm\ sqrt {b^2 - 4ac}} {2a}
\ end {array}\)

Conjunto de Muestras B

Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática.

Ejemplo$\PageIndex{6}$

$3x^2 + 5x + 2 = 0$

1. Identificar$a, b$, y$c$.

$a = 3, b = 5, c = 2$

2. Escribe la fórmula cuadrática.

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

3. Sustituto.

\ (\ begin {array} {ras a la izquierda}
x &=\ dfrac {-5\ pm\ sqrt {(5) ^2 - 4 (3) (2)}} {2 (3)}\\
&=\ dfrac {-5\ pm\ sqrt {25 - 24}} {6}\
&=\ dfrac {-5\ pm\ sqrt {1}} {6}\\
&=\ dfrac {-5 + 1} {6} & -5 + 1 = -4\ texto {y} -5 - 1 = -6
&=\ dfrac {-4} {6},\ dfrac {-6} {6}\\
x &\ dfrac {-2} {3}, -1
\ end {array}\)

Nota: Dado que estas raíces son números racionales, esta ecuación podría haberse resuelto factorizando.

Ejemplo$\PageIndex{7}$

$12x^2 - 2x - 1 = 0$

1. Identificar$a, b$, y$c$.

$a = 12, b = -2, c = -1$

2. Escribe la fórmula cuadrática.

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

3. Sustituto.

\ (\ begin {array} {ras a la izquierda}
x &=\ dfrac {(-2)\ pm\ sqrt {(-2) ^2 - 4 (12) (-1)}} {2 (12)}\\
&=\ dfrac {2\ pm\ sqrt {4 + 48}} {24} &\ text {Simplificar}\\
&=\ dfrac {2\ pm\ sqrt {52}} {24} &\ text {Simplificar}\\
&=\ dfrac {2\ pm\ sqrt {4\ cdot 13}} { 24} &\ text {Simplificar}\\
&=\ dfrac {2\ pm 2\ sqrt {13}} {24} &\ text {Reducir. Factor} 2\ texto {de los términos del numerador.} \\
&=\ dfrac {2 (1\ pm\ sqrt {13})} {24}\\
x &=\ dfrac {1\ pm\ sqrt {13}} {12}
\ end {array}\)

Ejemplo$\PageIndex{8}$

$2y^2 + 3 = 0$

1. Identificar$a, b$, y$c$.

$a = 2, b = 0, c = 3$

2. Escribe la fórmula cuadrática.

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

3. Sustituto.

\ (\ begin {array} {ras a la izquierda}
x &=\ dfrac {-0\ pm\ sqrt {0^2 - 4 (2) (3)}} {2 (2)}\\
x &=\ dfrac {0\ pm\ sqrt {-24}} {4}
\ end {array}\)

Esta ecuación no tiene solución de número real ya que hemos obtenido un número negativo bajo el signo radical.

Ejemplo$\PageIndex{9}$

$-8x^2 + 11x = 0$

1. Identificar$a, b$, y$c$.

$a = -8, b = 11, c = 0$

2. Escribe la fórmula cuadrática.

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

3. Sustituto.

\ (\ begin {array} {ras a la izquierda}
x &=\ dfrac {-11\ pm\ sqrt {11^2 - 4 (-8) (0)}} {2 (-8)}\\
&=\ dfrac {-11\ pm\ sqrt {121 - 0}} {-16} &\ text {Simplificar}\\
&=\ dfrac {-11\ pm\ sqrt {121}} {-16} &\ text {Simplificar}\\
&=\ dfrac {-11\ pm 11} {-16}
x &= 0,\ dfrac {11} {8}
\ end {array}\)

Ejemplo$\PageIndex{10}$

$(3x + 1)(x - 4) = x^2 + x - 2$

1. Escribe la ecuación en forma estándar.

\ (\ begin {array} {ruedado}
3x^2 - 11x - 4 &= x^2 + x - 2\\
2x^2 - 12x - 2 &= 0\
x^2 - 6x - 1 &= 0
\ end {array}\)

2. Identificar$a, b$, y$c$.

$a = 1, b = -6, c = -1$

3. Escribe la fórmula cuadrática.

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

4. Sustituto.

\ (\ begin {array} {ras a la izquierda}
x &=\ dfrac {- (-6)\ pm\ sqrt {(-6) ^2 - 4 (1) (-1)}} {2 (1)}\\
&=\ dfrac {6\ pm\ sqrt {36 + 4}} {2}\\
&=\ dfrac {6\ pm\ sqrt {40}} 2}\\
&=\ dfrac {6\ pm\ sqrt {4\ cdot 10}} {2}\\
&=\ dfrac {6\ pm 2\ sqrt {10}} { 2}\\
&=\ dfrac {2 (3\ pm\ sqrt {10}} {2}
\ end {array}\)

$x = 3 \pm \sqrt{10}$

Set de práctica B

Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática.

Problema de práctica$\PageIndex{11}$

$2x^2 + 3x - 7 = 0$

Contestar

$x = \dfrac{-3 \pm \sqrt{65}}{4}$

Problema de práctica$\PageIndex{12}$

$5a^2 - 2a - 1 = 0$

Contestar

$a = \dfrac{1 \pm \sqrt{6}}{5}$

Problema de práctica$\PageIndex{13}$

$6y^2 + 5 = 0$

Contestar

sin solución de número real

Problema de práctica$\PageIndex{14}$

$-3m^2 + 2m = 0$

Contestar

Agrega textos aquí. No elimine primero este texto.

Ejercicios

Para los siguientes problemas, resuelve las ecuaciones usando la fórmula cuadrática.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Contestar

$x=3, −1$

Ejercicio$\PageIndex{2}$

$x^2 + 5x + 6 = 0$

Ejercicio$\PageIndex{3}$

$y^2 - 5y + 4 = 0$

Contestar

$y=1, 4$

Ejercicio$\PageIndex{4}$

$a^2 + 4a - 21 = 0$

Ejercicio$\PageIndex{5}$

$a^2 + 12a + 20 = 0$

Contestar

$a=−2, −10$

Ejercicio$\PageIndex{6}$

$b^2 - 4b + 4 = 0$

Ejercicio$\PageIndex{7}$

$b^2 + 4b + 4 = 0$

Contestar

$b=−2$

Ejercicio$\PageIndex{8}$

$x^2 + 10x + 25 = 0$

Ejercicio$\PageIndex{9}$

$2x^2 - 5x - 3 = 0$

Contestar

$x = 3, -\dfrac{1}{2}$

Ejercicio$\PageIndex{10}$

$6y^2 + y - 2 = 0$

Ejercicio$\PageIndex{11}$

$4x^2 - 2x - 1 = 0$

Contestar

$x = \dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$

Ejercicio$\PageIndex{12}$

$3y^2 + 2y - 1 = 0$

Ejercicio$\PageIndex{13}$

$5a^2 - 2a - 3 = 0$

Contestar

$a = 1, -\dfrac{3}{5}$

Ejercicio$\PageIndex{14}$

$x^2 - 3x + 1 = 0$

Ejercicio$\PageIndex{15}$

$x^2 - 5x - 4 = 0$

Contestar

$x = \dfrac{5 \pm \sqrt{41}}{2}$

Ejercicio$\PageIndex{16}$

$(x+2)(x−1)=1$

Ejercicio$\PageIndex{17}$

$(a+4)(a−5)=2$

Contestar

$a = \dfrac{1 \pm \sqrt{89}}{2}$

Ejercicio$\PageIndex{18}$

$(x−3)(x+3)=7$

Ejercicio$\PageIndex{19}$

$(b−4)(b+4)=9$

Contestar

$b = \pm 5$

Ejercicio$\PageIndex{20}$

$x^2 + 8x = 2$

Ejercicio$\PageIndex{21}$

$y^2 = -5y + 4$

Contestar

$y = \dfrac{-5 \pm \sqrt{41}}{2}$

Ejercicio$\PageIndex{22}$

$x^2 = -3x + 7$

Ejercicio$\PageIndex{23}$

$x^2 = -2x - 1$

Contestar

$x=−1$

Ejercicio$\PageIndex{24}$

$x^2 + x + 1 = 0$

Ejercicio$\PageIndex{25}$

$a^2 + 3a - 4 = 0$

Contestar

$a=−4, 1$

Ejercicio$\PageIndex{26}$

$y^2 + y = -4$

Ejercicio$\PageIndex{27}$

$b^2 + 3b = -2$

Contestar

$b=−1, −2$

Ejercicio$\PageIndex{28}$

$x^2 + 6x + 8 = -x - 2$

Ejercicio$\PageIndex{29}$

$x^2 + 4x = 2x - 5$

Contestar

Sin solución de números reales.

Ejercicio$\PageIndex{30}$

$6b^2 + 5b - 4 = b^2 + b + 1$

Ejercicio$\PageIndex{31}$

$4a^2 + 7a - 2 = -2a + a$

Contestar

$\dfrac{-2 \pm \sqrt{6}}{2}$

Ejercicio$\PageIndex{32}$

$(2x + 5)(x - 4) = x^2 -x + 2$

Ejercicio$\PageIndex{33}$

$(x-4)^2 = 3$

Contestar

$x = 4 \pm \sqrt{3}$

Ejercicio$\PageIndex{34}$

$(b - 6)^2 = 8$

Contestar

$b = 6 \pm 2\sqrt{2}$

Ejercicio$\PageIndex{35}$

$(3-x)^2 = 6$

Ejercicio$\PageIndex{36}$

$3(x^2 + 1) = 2(x+7)$

Contestar

$x = \dfrac{1 \pm \sqrt{34}}{3}$

Ejercicio$\PageIndex{37}$

$2(y^2 - 3) = -3(y - 1)$

Ejercicio$\PageIndex{38}$

$(x + 2)^2 = 4$

Ejercicio$\PageIndex{39}$

$-4(a^2 + 2) + 3 = 5$

Contestar

Sin solución de número real

Ejercicio$\PageIndex{40}$

$-(x^2 + 3x - 1) = 2$

Ejercicios para revisión

Ejercicio$\PageIndex{41}$

Simplificar$(\dfrac{x^8y^7z^5}{x^4y^6z^2})^2$

Contestar

$x^8y^2z^6$

Ejercicio$\PageIndex{42}$

Escribe$4a^{-6}b^2c^3a^5b^{-3}$ para que solo aparezcan exponentes positivos

Ejercicio$\PageIndex{43}$

Encuentra el producto:$(2y + 7)(3y - 1)$

Contestar

$6y^2 + 19y - 7$

Ejercicio$\PageIndex{44}$

Simplificar:$\sqrt{80} - \sqrt{45}$

Ejercicio$\PageIndex{45}$

Resuelve$x^2 - 4x - 12 = 0$ completando la plaza.

Contestar

$x=−2, 6$