Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Saltar al contenido principal
Library homepage
 

Text Color

Text Size

 

Margin Size

 

Font Type

Enable Dyslexic Font
LibreTexts Español

20.4: El mayor factor común

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Método de factorización

En los dos últimos tipos de problemas, conocíamos uno de los factores y pudimos determinar el otro factor a través de la división. Supongamos, ahora, se nos da el producto sin ningún factor. Nuestro problema es encontrar los factores, si es posible. Este procedimiento y los dos procedimientos anteriores se basan en la propiedad distributiva.

Una ecuación que muestra el producto de a y la suma de b y c igual a ab más ac. El producto de la izquierda se identifican como factores y la expresión a la derecha del signo igual se identifica como el producto.

Utilizaremos la propiedad distributiva en reversa.

ab+acproduct =a(b+c)factors 

Notamos que en el producto,a es común a ambos términos. (De hecho,a es un factor común de ambos términos.) Dado quea es común a ambos términos, lo factorizaremos y escribiremos

a()

Ahora necesitamos determinar qué colocar dentro de los paréntesis. Este es el procedimiento de la sección anterior. Dividir cada término del producto por el factor conocidoa.

aba=byaca=c

Así,b yc son los términos requeridos del otro factor. Por lo tanto,

ab+ac=a(b+c)

Al factorizar un monomio a partir de un polinomio, buscamos factores que no solo son comunes a cada término del polinomio sino factores que tienen estas propiedades:

- Los coeficientes numéricos son los mayores coeficientes numéricos comunes.
- Las variables poseen los mayores exponentes comunes a todas las variables.

Mayor factor común

Un factor monomial que cumple con los dos requisitos anteriores se denomina el mayor factor común del polinomio.

Conjunto de Muestras A

Ejemplo20.4.1

Factor3x18

El mayor factor común es3.

\ (\ begin {array} {ras a la izquierda}
3x-18&=&3\ cdot x - 3\ cdot 6&\ text {Factor de salida} 3\\
3x-18&=&3 () &\ text {Divide cada término del producto por} 3\\
&&&\ dfrac {3x} {3} = x\ text {y}\ dfrac {-18} {3} -6\\
&&&\ texto {( Intenta realizar esta división mentalmente.} \\
3x-18&=&3 (x-6)
\ end {array}\)

Ejemplo20.4.2

Factor9x3+18x2+27x

Observe que9x es el mayor factor común.

9x3+18x2+27x=9xx2+9x2x+9x3. Factor hacia fuera9x Dividir9x
9x3+18x2+27x=9x() mentalmente en cada término del producto\)
9x3+18x2+27x=9x(x2+2x+3)

Ejemplo20.4.3

Factor10x2y320xy435y5.

Observe que5y3 es el mayor factor común. Facturar hacia fuera5y3.

10x2y320xy435y5=5y3()

5y3Dividir mentalmente en cada término del producto y colocar los cocientes resultantes dentro del ().

10x2y320xy435y5=5y3(2x24xy7y2)

Ejemplo20.4.4

Factor12x5+8x34x2.

Vemos que el mayor factor común es4x2.

12x5+8x34x2=4x2()

4x2Dividiendo mentalmente en cada término del producto, obtenemos

12x5+8x34x2=4x2(3x32x+1

Conjunto de práctica A

Problema de práctica20.4.1

Factor4x48.

Responder

4(x12)

Problema de práctica20.4.2

Factor6y3+24y2+36y

Responder

6y(y2+4y+6)

Problema de práctica20.4.3

Factor10a5b414a4b58b6

Responder

2b4(5a57a4b4b2

Problema de práctica20.4.4

Factor14m4+28m27m

Responder

7m(2m24m+1

Considera este problema: factorAx+Ay. Seguramente,Ax+Ay=A(x+y). Sabemos desde el comienzo de nuestro estudio del álgebra que las letras representan cantidades únicas. También sabemos que una cantidad que ocurre dentro de un conjunto de paréntesis debe considerarse como una sola cantidad. Supongamos que la letraA está representando la cantidad(a+b). Entonces tenemos

Ax+Ay=A(x+y)
(a+b)x+(a+b)y=(a+b)(x+y)

Cuando observamos la expresión

(a+b)x+(a+b)y

notamos que(a+b) es común a ambos términos. Como es común, lo factorizamos.

(a+b)()

Como es habitual, determinamos qué colocar dentro de los paréntesis dividiendo cada término del producto por(a+b).

(a+b)x(a+b)=xy(a+b)y(a+b)=y

Se trata de un precursor del factoring que se realizará en la Sección 5.4.

Conjunto de Muestras B

Ejemplo20.4.5

Factor(x7)a+(x7)b.

Observe que(x7) es el mayor factor común. Facturar hacia fuera(x7).

(x7)a+(x7)b=(x7)()
Entonces,(x7)a(xy)=a and (x7)b(x7)=b
(x7)a+(x7)b=(x7)(a+b)

Ejemplo20.4.6

Factor3x2(x+1)5x(x+1).

Observe quex y(x+1) son comunes a ambos términos. Factorializarlos. Realizaremos esta factorización dejandoA=x(x+1). Entonces tenemos

3xA5A=A(3x5)
PeroA=x(x+1), entonces
3x2(x+1)5x(x+1)=x(x+1)(3x5)

Set de práctica B

Problema de práctica20.4.5

Factor(y+4)a+(y+4)b.

Responder

(y+4)(a+b)

Problema de práctica20.4.6

Factor8m3(n4)6m2(n4)

Responder

2m2(n4)(4m3)

Ejercicios

Para los siguientes problemas, factorizar los polinomios.

Ejercicio20.4.1

9a+18

Responder

9(a+2)

Ejercicio20.4.2

6a+24

Ejercicio20.4.3

8b+12

Responder

4(2b+3)

Ejercicio20.4.4

16x+12

Ejercicio20.4.5

4x6

Responder

2(2x3)

Ejercicio20.4.6

8x14

Ejercicio20.4.7

21y28

Responder

7(3y4)

Ejercicio20.4.8

16f36

Ejercicio20.4.9

12x2+18x

Responder

6x(2x+3)

Ejercicio20.4.10

10y2+15y

Ejercicio20.4.11

8y2+18

Responder

2(4y2+9)

Ejercicio20.4.12

7x221

Ejercicio20.4.13

3y26

Responder

3(y22)

Ejercicio20.4.14

2x22

Ejercicio20.4.15

6y26y

Responder

6y(y1)

Ejercicio20.4.16

ax2a

Ejercicio20.4.17

by2+b

Responder

b(y2+1)

Ejercicio20.4.18

7by2+14b

Ejercicio20.4.19

5a2x2+10x

Responder

5x(a2x+2)

Ejercicio20.4.20

24ax2+28a

Ejercicio20.4.21

10x2+5x15

Responder

5(2x2+x3)

Ejercicio20.4.22

12x28x16

Ejercicio20.4.23

15y324y+9

Responder

3(5y38y+3)

Ejercicio20.4.24

ax2+ax+a

Ejercicio20.4.25

by3+by2+by+b

Responder

b(y3+y2+y+1)

Ejercicio20.4.26

2y2+6y+4xy

Ejercicio20.4.27

9x2+6xy+4x

Responder

x(9x+6y+4)

Ejercicio20.4.28

30a2b2+40a2b2+50a2b2

Ejercicio20.4.29

13x2y5c26x2y5c39x2y5

Responder

13x2y5(c3)

Ejercicio20.4.30

4x212x8

Ejercicio20.4.31

6y38y214y+10

Responder

2(3y3+4y2+7y5)

Ejercicio20.4.32

Ab+Ac

Ejercicio20.4.33

Nx+Ny

Contestar

N(x+y)

Ejercicio20.4.34

Qx+Qy

Ejercicio20.4.35

AxAy

Contestar

A(xy)

Ejercicio20.4.36

(x+4)b+(x+4)c

Ejercicio20.4.37

(x9)a+(x9)b

Contestar

(x9)(a+b)

Ejercicio20.4.38

(2x+7)a+(2x+7)b

Ejercicio20.4.39

(9ab)w(9ab)x

Contestar

(9ab)(wx)

Ejercicio20.4.40

(5v)X+(5v)Y

Ejercicio20.4.41

3x5y412x3y4+27x5y36x2y6

Contestar

3x2y3(x3y4xy+9x32y3)

Ejercicio20.4.42

8a3b15+24a2b14+48a3b620a3b7+80a4b64a3b64a3b7+4a2b

Ejercicio20.4.43

8x3y23x3y2+16x4y3+2x2y

Contestar

x2y(11xy16x2y22)

Ejercicios para la revisión

Ejercicio20.4.44

Una cantidad más21% más de esa cantidad es26.25. ¿Cuál es la cantidad original?

Ejercicio20.4.45

Resuelve la ecuación6(t1)=4(5s) sis=2.

Contestar

t=3

Ejercicio20.4.46

Dado que4a3 es un factor de8a312a2, encontrar el otro factor.


This page titled 20.4: El mayor factor común is shared under a CC BY license and was authored, remixed, and/or curated by Denny Burzynski & Wade Ellis, Jr. (OpenStax CNX) .

Support Center

How can we help?