20.4: El mayor factor común
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Método de factorización
En los dos últimos tipos de problemas, conocíamos uno de los factores y pudimos determinar el otro factor a través de la división. Supongamos, ahora, se nos da el producto sin ningún factor. Nuestro problema es encontrar los factores, si es posible. Este procedimiento y los dos procedimientos anteriores se basan en la propiedad distributiva.
Utilizaremos la propiedad distributiva en reversa.
ab+ac⏟product =a(b+c)⏟factors
Notamos que en el producto,a es común a ambos términos. (De hecho,a es un factor común de ambos términos.) Dado quea es común a ambos términos, lo factorizaremos y escribiremos
a()
Ahora necesitamos determinar qué colocar dentro de los paréntesis. Este es el procedimiento de la sección anterior. Dividir cada término del producto por el factor conocidoa.
aba=byaca=c
Así,b yc son los términos requeridos del otro factor. Por lo tanto,
ab+ac=a(b+c)
Al factorizar un monomio a partir de un polinomio, buscamos factores que no solo son comunes a cada término del polinomio sino factores que tienen estas propiedades:
- Los coeficientes numéricos son los mayores coeficientes numéricos comunes.
- Las variables poseen los mayores exponentes comunes a todas las variables.
Mayor factor común
Un factor monomial que cumple con los dos requisitos anteriores se denomina el mayor factor común del polinomio.
Conjunto de Muestras A
Factor3x−18
El mayor factor común es3.
\ (\ begin {array} {ras a la izquierda}
3x-18&=&3\ cdot x - 3\ cdot 6&\ text {Factor de salida} 3\\
3x-18&=&3 () &\ text {Divide cada término del producto por} 3\\
&&&\ dfrac {3x} {3} = x\ text {y}\ dfrac {-18} {3} -6\\
&&&\ texto {( Intenta realizar esta división mentalmente.} \\
3x-18&=&3 (x-6)
\ end {array}\)
Factor9x3+18x2+27x
Observe que9x es el mayor factor común.
9x3+18x2+27x=9x⋅x2+9x⋅2x+9x⋅3. Factor hacia fuera9x Dividir9x
9x3+18x2+27x=9x() mentalmente en cada término del producto\)
9x3+18x2+27x=9x(x2+2x+3)
Factor10x2y3−20xy4−35y5.
Observe que5y3 es el mayor factor común. Facturar hacia fuera5y3.
10x2y3−20xy4−35y5=5y3()
5y3Dividir mentalmente en cada término del producto y colocar los cocientes resultantes dentro del ().
10x2y3−20xy4−35y5=5y3(2x2−4xy−7y2)
Factor−12x5+8x3−4x2.
Vemos que el mayor factor común es−4x2.
−12x5+8x3−4x2=−4x2()
−4x2Dividiendo mentalmente en cada término del producto, obtenemos
−12x5+8x3−4x2=−4x2(3x3−2x+1
Conjunto de práctica A
Factor4x−48.
- Responder
-
4(x−12)
Factor6y3+24y2+36y
- Responder
-
6y(y2+4y+6)
Factor10a5b4−14a4b5−8b6
- Responder
-
2b4(5a5−7a4b−4b2
Factor−14m4+28m2−7m
- Responder
-
−7m(2m2−4m+1
Considera este problema: factorAx+Ay. Seguramente,Ax+Ay=A(x+y). Sabemos desde el comienzo de nuestro estudio del álgebra que las letras representan cantidades únicas. También sabemos que una cantidad que ocurre dentro de un conjunto de paréntesis debe considerarse como una sola cantidad. Supongamos que la letraA está representando la cantidad(a+b). Entonces tenemos
Ax+Ay=A(x+y)
(a+b)x+(a+b)y=(a+b)(x+y)
Cuando observamos la expresión
(a+b)x+(a+b)y
notamos que(a+b) es común a ambos términos. Como es común, lo factorizamos.
(a+b)()
Como es habitual, determinamos qué colocar dentro de los paréntesis dividiendo cada término del producto por(a+b).
(a+b)x(a+b)=xy(a+b)y(a+b)=y
Se trata de un precursor del factoring que se realizará en la Sección 5.4.
Conjunto de Muestras B
Factor(x−7)a+(x−7)b.
Observe que(x−7) es el mayor factor común. Facturar hacia fuera(x−7).
(x−7)a+(x−7)b=(x−7)()
Entonces,(x−7)a(x−y)=a and (x−7)b(x−7)=b
(x−7)a+(x−7)b=(x−7)(a+b)
Factor3x2(x+1)−5x(x+1).
Observe quex y(x+1) son comunes a ambos términos. Factorializarlos. Realizaremos esta factorización dejandoA=x(x+1). Entonces tenemos
3xA−5A=A(3x−5)
PeroA=x(x+1), entonces
3x2(x+1)−5x(x+1)=x(x+1)(3x−5)
Set de práctica B
Factor(y+4)a+(y+4)b.
- Responder
-
(y+4)(a+b)
Factor8m3(n−4)−6m2(n−4)
- Responder
-
2m2(n−4)(4m−3)
Ejercicios
Para los siguientes problemas, factorizar los polinomios.
9a+18
- Responder
-
9(a+2)
6a+24
8b+12
- Responder
-
4(2b+3)
16x+12
4x−6
- Responder
-
2(2x−3)
8x−14
21y−28
- Responder
-
7(3y−4)
16f−36
12x2+18x
- Responder
-
6x(2x+3)
10y2+15y
8y2+18
- Responder
-
2(4y2+9)
7x2−21
3y2−6
- Responder
-
3(y2−2)
2x2−2
6y2−6y
- Responder
-
6y(y−1)
ax2−a
by2+b
- Responder
-
b(y2+1)
7by2+14b
5a2x2+10x
- Responder
-
5x(a2x+2)
24ax2+28a
10x2+5x−15
- Responder
-
5(2x2+x−3)
12x2−8x−16
15y3−24y+9
- Responder
-
3(5y3−8y+3)
ax2+ax+a
by3+by2+by+b
- Responder
-
b(y3+y2+y+1)
2y2+6y+4xy
9x2+6xy+4x
- Responder
-
x(9x+6y+4)
30a2b2+40a2b2+50a2b2
13x2y5c−26x2y5c−39x2y5
- Responder
-
13x2y5(−c−3)
−4x2−12x−8
−6y3−8y2−14y+10
- Responder
-
−2(3y3+4y2+7y−5)
Ab+Ac
Nx+Ny
- Contestar
-
N(x+y)
Qx+Qy
Ax−Ay
- Contestar
-
A(x−y)
(x+4)b+(x+4)c
(x−9)a+(x−9)b
- Contestar
-
(x−9)(a+b)
(2x+7)a+(2x+7)b
(9a−b)w−(9a−b)x
- Contestar
-
(9a−b)(w−x)
(5−v)X+(5−v)Y
3x5y4−12x3y4+27x5y3−6x2y6
- Contestar
-
3x2y3(x3y−4xy+9x3−2y3)
8a3b15+24a2b14+48a3b6−20a3b7+80a4b6−4a3b6−4a3b7+4a2b
−8x3y2−3x3y2+16x4y3+2x2y
- Contestar
-
−x2y(11xy−16x2y2−2)
Ejercicios para la revisión
Una cantidad más21% más de esa cantidad es26.25. ¿Cuál es la cantidad original?
Resuelve la ecuación6(t−1)=4(5−s) sis=2.
- Contestar
-
t=3
Dado que4a3 es un factor de8a3−12a2, encontrar el otro factor.