13.2: Resolviendo más problemas de relación

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Lección

Comparemos todas nuestras estrategias para resolver problemas de ratio.

Ejercicio$\PageIndex{1}$: You Tell the Story

Describir una situación con dos cantidades que este diagrama de cinta podría representar.

Ejercicio$\PageIndex{2}$: A Trip to the Aquarium

Considera el problema: Un maestro está planeando un viaje de clase al acuario. El acuario requiere 2 chaperones por cada 15 alumnos. El maestro planifica en consecuencia y ordena un total de 85 boletos. ¿Cuántos boletos hay para chaperones y cuántos son para estudiantes?

Resolver este problema de una de tres maneras:

Utilice una línea numérica triple.

Figura$\PageIndex{2}$: Una línea numérica triple con 8 marcas de verificación espaciadas uniformemente. Para los niños los números 0 y 15 se indican en las primeras 2 marcas de verificación. Para los chaperones se indican los números 0 y 2 en las primeras 2 marcas de verificación. Para el total se indican los números 0 y 17 en las primeras 2 marcas de verificación.

Usa una mesa.
(Rellene filas según sea necesario.)

Mesa$\PageIndex{1}$
niños	chaperones	total
$15$	$2$	$17$

Usa un diagrama de cinta.

Después de tu clase se discuten las tres estrategias, ¿cuáles prefieres para este problema y por qué?

¿Estás listo para más?

Usa los dígitos del 1 al 9 para crear tres proporciones equivalentes. Usa cada dígito solo una vez.

$clipboard_e3232911b29e0b0bfd61c2ada86618f9e.png$ es equivalente a $clipboard_e1e2123f9478faa7431b681256deb13f2.png$ y $clipboard_eea7f451e48096c6c96d896d06143cb37.png$

Ejercicio$\PageIndex{3}$: Salad Dressing and Moving Boxes

Resuelve cada problema, y muestra tu pensamiento. Organízalo para que pueda ser seguido por otros. Si te atascas, considera dibujar un diagrama de doble línea numérica, tabla o cinta.

Una receta de aderezo para ensaladas requiere 4 partes de aceite por cada 3 partes de vinagre. ¿Cuánto aceite debes usar para hacer un total de 28 cucharaditas de aderezo?
Andre y Han están moviendo cajas. Andre puede mover 4 cajas cada media hora. Han puede mover 5 cajas cada media hora. ¿Cuánto tardarán Andre y Han en mover las 72 cajas?

Resumen

Al resolver un problema que involucra proporciones equivalentes, a menudo es útil usar un diagrama. Cualquier diagrama está bien siempre y cuando muestre correctamente las matemáticas y puedas explicarlo.

Comparemos tres formas diferentes de resolver el mismo problema: La proporción de adultos a niños en una escuela es$2:7$. Si hay un total de 180 personas, ¿cuántas de ellas son adultas?

Los diagramas de cinta son especialmente útiles para este tipo de problemas porque ambas partes de la relación tienen las mismas unidades (“número de personas”) y podemos ver el número total de partes.

Este diagrama de cinta tiene 9 partes iguales, y necesitan representar a 180 personas en total. Eso significa que cada parte representa$180\div 9$, o 20 personas.

Figura$\PageIndex{5}$: Un diagrama de cinta. Para número de adultos 2 partes iguales y el número 20 está etiquetado en cada parte. Para número de niños 7 partes iguales y el número 20 está etiquetado en cada parte igual. Un corsé desde el número de adultos hasta el número de niños está etiquetado como 180.

Dos partes del diagrama de cinta representan adultos. Hay 40 adultos en la escuela porque$2\cdot 20=40$.

Las líneas numéricas dobles o triples son útiles cuando queremos ver qué tan separados están los números entre sí. Son más difíciles de usar con números muy grandes o muy pequeños, pero podrían apoyar nuestro razonamiento.

Figura$\PageIndex{6}$: Una línea numérica triple con 4 marcas de verificación espaciadas uniformemente. Para los adultos se indican los números 0, 2, 4, y la última marca está en blanco. Para los niños se indican los números 0, 7, 14 y la última marca está en blanco. Para el total se indican los números 0, 9, 18 y la última marca está en blanco. Una flecha que apunta desde la segunda marca de garrapata de adultos hasta una marca en blanco más allá de la línea numérica está etiquetada por 20. Una segunda flecha que apunta desde la segunda marca de garrapata del total hasta una marca más allá de la línea numérica marcada 180 se etiqueta por 20.

Las tablas son especialmente útiles cuando el problema tiene números muy grandes o muy pequeños.

Figura$\PageIndex{7}$: Una tabla de 3 columnas con 2 filas de datos. La columna 1 está etiquetada como adultos, la columna 2 está etiquetada como niños y la columna 3 está etiquetada como total. Fila 1:2, 7, 9; Fila 2: en blanco, en blanco, 180. Una flecha de la fila 1 a la fila 2 está etiquetada por 20.

Nos preguntamos: “¿9 veces qué es 180?” La respuesta es 20. A continuación, multiplicamos 2 por 20 para obtener el número total de adultos en la escuela.

Otra razón para hacer diagramas es comunicar nuestro pensamiento a los demás. Estos son algunos buenos hábitos a la hora de hacer diagramas:

Etiquete cada parte del diagrama con lo que representa.
Etiquetar cantidades importantes.
Asegúrate de leer lo que hace la pregunta y responderla.
Asegúrate de que la respuesta sea fácil de encontrar.
Incluya unidades en su respuesta. Por ejemplo, escribe “4 tazas” en lugar de solo “4”.
Comprueba que el idioma de tu ratio sea correcto y que coincida con tu diagrama.

Entradas en el glosario

Definición: Diagrama de cinta

Un diagrama de cinta es un grupo de rectángulos juntos para representar una relación entre cantidades.

Por ejemplo, este diagrama de cinta muestra una relación de 30 galones de pintura amarilla a 50 galones de pintura azul.

Si cada rectángulo estuviera etiquetado como 5, en lugar de 10, entonces la misma imagen podría representar la relación equivalente de 15 galones de pintura amarilla a 25 galones de pintura azul.

Practica

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Describir una situación que podría representarse con este diagrama de cinta.

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Hay algunas monedas de cinco centavos, monedas de diez centavos y cuartos en una gran alcancía. Por cada 2 monedas de cinco centavos hay 3 dimes. Por cada 2 centavos hay 5 trimestres. Hay 500 monedas en total.

¿Cuántas monedas de cinco centavos, diez centavos y cuartos hay en la alcancía? Explica tu razonamiento.
¿Cuánto valen las monedas en la alcancía?

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Dos caballos inician una carrera al mismo tiempo. El Caballo A galopa a una velocidad constante de 32 pies por segundo y el Caballo B galopa a una velocidad constante de 28 pies por segundo. Después de 5 segundos, ¿cuánto más habrá viajado el Caballo A? Explica o muestra tu razonamiento.

Ejercicio$\PageIndex{7}$

Andre pagó 13 dólares por 3 libros. Diego compró 12 libros con un precio igual. ¿Cuánto pagó Diego por los 12 libros? Explica tu razonamiento.

(Desde la Unidad 2.3.5)

Ejercicio$\PageIndex{8}$

¿Qué poliedro se puede ensamblar a partir de esta red?

Una pirámide triangular
Un prisma trapezoidal
Una pirámide rectangular
Un prisma triangular

(De la Unidad 1.5.4)

Ejercicio$\PageIndex{9}$

Encuentra el área del triángulo. Muestra tu razonamiento. Si te quedas atascado, considera dibujar un rectángulo alrededor del triángulo.

Figura$\PageIndex{11}$: Un triángulo inclinado dibujado en una cuadrícula de 7 por 7. El vértice inferior izquierdo es de 1 unidad por encima y 3 unidades hacia arriba desde la esquina inferior izquierda de la rejilla. El vértice superior es de 3 unidades por encima y 6 unidades hacia arriba desde la esquina inferior izquierda de la rejilla. El vértice inferior derecho es de 6 unidades por encima y 1 unidad hacia arriba desde la esquina inferior izquierda de la rejilla.

(De la Unidad 1.3.4)

Mesa\(\PageIndex{1}\)
niños	chaperones	total
\(15\)	\(2\)	\(17\)