22.2: ¿Cuántos grupos? (Parte 2)

Lección

Usemos bloques y diagramas para entender más sobre la división con fracciones.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Reasoning with Fraction Strips

Escribe una fracción o número entero como respuesta para cada pregunta. Si te atascas, usa las tiras de fracción. Esté preparado para compartir su razonamiento.

1. ¿Cuántos\(\frac{1}{2}\) s hay en\(2\)?
2. ¿Cuántos\(\frac{1}{5}\) s hay en\(3\)?
3. ¿Cuántos\(\frac{1}{8}\) s hay en\(1\frac{1}{4}\)?
4. \(1\div\frac{2}{6}=?\)
5. \(2\div\frac{2}{9}=?\)
6. \(4\div\frac{2}{10}=?\)

Figura\(\PageIndex{1}\): Tiras de fracción que representan 2 en 8 formas diferentes, por filas. Primera fila, dos 1s. Segunda fila, 4 de la fracción uno sobre dos. Tercera fila, 6 de la fracción uno sobre tres. Cuarta fila, 8 de la fracción uno sobre cuatro. Quinta fila, 10 de la fracción uno sobre cinco. Sexta fila, 12 de la fracción uno sobre seis. Séptima fila, 16 de la fracción uno sobre ocho. Octava fila, 18 de la fracción uno sobre nueve.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): More Reasoning with Pattern Blocks

Utilice los bloques de patrón en el applet para responder a las preguntas. (Si necesitas ayuda para alinear las piezas, puedes encender la rejilla).

1. Si el trapecio representa 1 entero, ¿qué representa cada una de estas otras formas? Esté preparado para explicar o mostrar su razonamiento.
   1. 1 triángulo
   2. 1 rombo
   3. 1 hexágono
2. Utilice bloques de patrón para representar cada ecuación de multiplicación. Usa el trapecio para representar 1 entero.
   1. \(3\cdot\frac{1}{3}=1\)
   2. \(3\cdot\frac{2}{3}=2\)
3. A Diego y Jada se les preguntó “¿Cuántos rombos hay en un trapecio?”
   • Diego dice: “\(1\frac{1}{3}\). Si pongo 1 rombo en un trapecio, la forma sobrante es un triángulo, que es\(\frac{1}{3}\) del trapecio”.
   • Dice Jada: “Creo que lo es\(1\frac{1}{2}\). Como queremos averiguar 'cuántos rombos', debemos comparar el triángulo sobrante con un rombo. Un triángulo es\(\frac{1}{2}\) de rombo”.
     ¿Estás de acuerdo con alguno de ellos? Explica o muestra tu razonamiento.
4. Selecciona todas las ecuaciones que se puedan usar para responder a la pregunta: “¿Cuántos rombos hay en un trapecio?”
   • \(\frac{2}{3}\div ?=1\)
   • \(?\cdot\frac{2}{3}=1\)
   • \(1\div\frac{2}{3}=?\)
   • \(1\cdot\frac{2}{3}=?\)
   • \(?\div\frac{2}{3}=1\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Drawing Diagrams to Show Equal-sized Groups

Para cada situación, dibuja un diagrama para la relación de las cantidades que te ayude a responder la pregunta. Después escribe una ecuación de multiplicación o una ecuación de división para la relación. Esté preparado para compartir su razonamiento.

1. La distancia alrededor de un parque es de\(\frac{3}{2}\) millas. Noé montó su bicicleta por el parque por un total de 3 millas. ¿Cuántas veces por el parque viajó?
2. Necesitas\(\frac{3}{4}\) yarda de cinta para una caja de regalo. Tienes 3 yardas de cinta. ¿Para cuántas cajas de regalo tienes cinta?
3. La manguera de agua llena un cubo a\(\frac{1}{3}\) galones por minuto. ¿Cuántos minutos se tarda en llenar un balde de 2 galones?

¿Estás listo para más?

¿Cuántas cucharaditas colmadas hay en una cucharada colmada? ¿Cómo dependería la respuesta de la forma de las cucharas?

Resumen

Supongamos que un lote de galletas requiere harina\(\frac{2}{3}\) de taza. ¿Cuántos lotes se pueden hacer con 4 tazas de harina?

Podemos pensar en la pregunta como: “¿Cuántos\(\frac{2}{3}\) hay en 4?” y representarlo usando ecuaciones de multiplicación y división.

\(?\cdot\frac{2}{3}=4\)

\(4\div\frac{2}{3}=?\)

Usemos bloques de patrones para visualizar la situación y digamos que un hexágono es 1 entero.

Figura\(\PageIndex{2}\): Diagrama de 4 hexágonos. Cada hexágono se compone de 3 rombos utilizando bloques patrón. Se muestran 6 pares de rombos por pares de flechas y etiquetados con 1, 2, 3, 4, 5 y 6.

Dado que 3 rombos forman un hexágono, 1 rombo representa\(\frac{1}{3}\) y 2 rombos representan\(\frac{2}{3}\). Podemos ver que 6 pares de rombos hacen 4 hexágonos, por lo que hay 6 grupos de\(\frac{2}{3}\) en 4.

Otros tipos de diagramas también pueden ayudarnos a razonar sobre grupos de igual tamaño que involucran fracciones. Este ejemplo muestra cómo podríamos razonar sobre la misma pregunta desde arriba: “\(\frac{2}{3}\)¿Cuántas tazas hay en 4 tazas?”

Figura\(\PageIndex{3}\): Diagrama con 4 rectángulos, divididos en tercios. En el primer rectángulo se etiquetan dos partes cada una de ellas con un tercio. A lo largo de los 4 rectángulos, 6 pares de un tercio de piezas están rodeadas en un círculo.

Podemos ver cada “copa” particionada en tercios, y que hay 6 grupos de\(\frac{2}{3}\) -taza en 4 tazas. En ambos diagramas, vemos que el valor desconocido (o el “?” en las ecuaciones) es 6. Así que ahora podemos escribir:

\(6\cdot\frac{2}{3}=4\)

\(4\div\frac{2}{3}=6\)

Practica

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Utilice el diagrama de cinta para encontrar el valor de\(\frac{1}{2}\div\frac{1}{3}\). Muestra tu razonamiento.

Figura\(\PageIndex{4}\): Un diagrama de cinta sobre una cuadrícula cuadrada, compuesta por 6 cuadrados y se divide por una línea continua en dos partes iguales. El diagrama de cinta también está dividido por dos líneas discontinuas verticales que dan como resultado tres partes iguales. Un aparato ortopédico se extiende sobre los primeros 3 cuadrados y está etiquetado como la mitad.

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

¿Cuál es el valor de\(\frac{1}{2}\div\frac{1}{3}\)? Utilice bloques de patrón para representar y encontrar este valor. El hexágono amarillo representa 1 entero. Explica o muestra tu razonamiento.

Figura\(\PageIndex{5}\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Use una regla estándar en pulgadas para responder a cada pregunta. Después, escribe una ecuación de multiplicación y una ecuación de división que respondan a la pregunta.

1. ¿Cuántos\(\frac{1}{2}\) s hay en\(7\)?
2. ¿Cuántos\(\frac{3}{8}\) s hay en\(6\)?
3. ¿Cuántos\(\frac{5}{16}\) s hay en\(1\frac{7}{8}\)?

Figura\(\PageIndex{6}\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Usa el diagrama de cinta para responder a la pregunta: ¿Cuántas\(\frac{2}{5}\) s hay en\(1\frac{1}{2}\)? Muestra tu razonamiento.

Figura\(\PageIndex{7}\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Escribe una ecuación de multiplicación y una ecuación de división para representar cada oración o diagrama.

1. Hay\(12\) cuartas partes en\(3\).

Figura\(\PageIndex{8}\)

3. ¿Cuántos\(\frac{2}{3}\) s hay en\(6\)?

Figura\(\PageIndex{9}\)

(De la Unidad 4.2.1)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

En el mercado de un granjero, dos vendedores venden leche fresca. Un vendedor vende 2 litros por $3.80, y otro vendedor vende 1.5 litros por $2.70. ¿Cuál es el mejor trato? Explica tu razonamiento.

(De la Unidad 3.3.1)

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Una receta utiliza 5 tazas de harina por cada 2 tazas de azúcar.

1. ¿Cuánto azúcar se usa para 1 taza de harina?
2. ¿Cuánta harina se usa para 1 taza de azúcar?
3. ¿Cuánta harina se usa con 7 tazas de azúcar?
4. ¿Cuánto azúcar se usa con 6 tazas de harina?

(De la Unidad 3.3.2)