22.4: ¿Qué Fracción de un Grupo?

Lección

Pensemos en dividir las cosas en grupos cuando ni siquiera podemos hacer un grupo completo.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Estimating a Fraction of a Number

1. Estimar las cantidades:
   1. ¿Qué es\(\frac{1}{3}\) de\(7\)?
   2. ¿Qué es\(\frac{4}{5}\) de\(9\frac{2}{3}\)?
   3. ¿Qué es\(2\frac{4}{7}\) de\(10\frac{1}{9}\)?
2. Escribir una expresión de multiplicación para cada una de las preguntas anteriores.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Fractions of Ropes

Los segmentos en el applet representan 4 longitudes diferentes de cuerda. Compara una cuerda con otra, moviendo la cuerda arrastrando el círculo abierto en un punto final. Puedes usar los pines amarillos para marcar longitudes.

1. Completa cada oración comparando las longitudes de las cuerdas. Luego, use las mediciones que se muestran en la cuadrícula para escribir una ecuación de multiplicación y una ecuación de división para cada comparación.
   1. La cuerda B es _______ veces más larga que la cuerda A.
   2. La cuerda C es _______ veces más larga que la cuerda A.
   3. La cuerda D es _______ veces más larga que la cuerda A.
2. Cada ecuación puede ser utilizada para responder a una pregunta sobre las cuerdas C y D. ¿Cuál podría ser cada pregunta?
   1. \(?\cdot 3=9\)y\(9\div 3=?\)
   2. \(?\cdot 9=3\)y\(3\div 9=?\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Fractional Batches of Ice Cream

Un lote de una receta de helado usa 9 tazas de leche. Un chef hace diferentes cantidades de helado en diferentes días. Aquí están las cantidades de leche que usó:

• Lunes:\(12\) tazas
• Martes:\(22\frac{1}{2}\) tazas
• Jueves:\(6\) tazas
• Viernes:\(7\frac{1}{2}\) tazas

1. ¿Cuántos lotes de helado hizo en estos días? Para cada día, escribe una ecuación de división, dibuja un diagrama de cinta y encuentra la respuesta.

1. Lunes

Figura\(\PageIndex{1}\)

2. martes

Figura\(\PageIndex{2}\)

2. ¿En qué fracción de lote de helado hizo en estos días? Para cada día, escribe una ecuación de división, dibuja un diagrama de cinta y encuentra la respuesta.

1. jueves

Figura\(\PageIndex{3}\)

2. Viernes

Figura\(\PageIndex{4}\)

3. Para cada pregunta, escribe una ecuación de división, dibuja un diagrama de cinta y encuentra la respuesta.

1. ¿Qué fracción de\(9\) es\(3\)?

Figura\(\PageIndex{5}\)

2. ¿Qué fracción de\(5\) es\(\frac{1}{2}\)?

Figura\(\PageIndex{6}\)

Resumen

Es natural pensar en grupos cuando tenemos más de un grupo, pero también podemos tener una fracción de un grupo.

Para encontrar la cantidad en una fracción de un grupo, podemos multiplicar la fracción por la cantidad en todo el grupo. Si una bolsa de arroz pesa 5 kg,\(\frac{3}{4}\) de una bolsa pesaría\(\left(\frac{3}{4}\cdot 5\right)\) kg.

Figura\(\PageIndex{7}\): Diagrama de barras de fracciones. 4 partes iguales. 3 partes sombreadas. Total etiquetado 1 bolsa y 5 kilogramos. 3 partes etiquetaron la fracción 3 sobre 4 bolsa y entre paréntesis la fracción 3 sobre 4 veces 5 kilogramos.

A veces necesitamos encontrar qué fracción de un grupo es una cantidad. Supongamos que una bolsa llena de harina pesa 6 kg. Un chef utilizó 3 kg de harina. ¿Qué fracción de una bolsa llena se utilizó? Es decir, ¿qué fracción de 6 kg es de 3 kg?

Esta pregunta puede ser representada por una ecuación de multiplicación y una ecuación de división, así como por un diagrama.

\(?\cdot 6=3\)

\(3\div 6=?\)

Figura\(\PageIndex{8}\): Un diagrama de cinta de 6 partes iguales. Encima del diagrama, un aparato ortopédico desde el principio del diagrama hasta el final del diagrama se etiqueta 6 kilogramos. Debajo del diagrama, un corsé desde el principio del diagrama hasta el final del diagrama se etiqueta con 1 bolsa. Un tercer corsé que contiene las tres primeras partes se etiqueta con tres kilogramos. Debajo del diagrama, una cuarta férula que también contiene las tres primeras partes está etiquetada como bolsa de signo de interrogación.

Podemos ver en el diagrama que 3 es\(\frac{1}{2}\) de 6, y podemos verificar esta respuesta multiplicando:\(\frac{1}{2}\cdot 6=3\).

En cualquier situación en la que queramos saber qué fracción es un número de otro número, podemos escribir una ecuación de división para ayudarnos a encontrar la respuesta.

Por ejemplo, “¿Qué fracción de 3 es\(2\frac{1}{4}\)?” se puede expresar como\(?\cdot 3=2\frac{1}{4}\), que también se puede escribir como\(2\frac{1}{4}\div 3=?\).

La respuesta a “¿Qué es\(2\frac{1}{4}\div 3\)?” es también la respuesta a la pregunta original.

Figura\(\PageIndex{9}\): Diagrama de barras de fracciones. 12 partes iguales. 9 partes sombreadas. Total etiquetado 1 grupo y 3 tazas. 9 partes etiquetadas grupo de cantidad desconocida y 2 y la fracción 1 sobre 4 o la fracción 9 sobre 4.

El diagrama muestra que 3 enteros contienen 12 cuartos, y\(2\frac{1}{4}\) contiene 9 cuartos, por lo que la respuesta a esta pregunta es\(\frac{9}{12}\), que es equivalente a\(\frac{3}{4}\).

Podemos usar diagramas para ayudarnos a resolver otros problemas de división que requieren encontrar una fracción de un grupo. Por ejemplo, aquí hay un diagrama para ayudarnos a responder a la pregunta: “¿Qué fracción de\(\frac{9}{4}\) es\(\frac{3}{2}\)? ,” que se puede escribir como\(\frac{3}{2}\div\frac{9}{4}=?\).

Figura\(\PageIndex{10}\): Diagrama de barras de fracciones. 9 partes iguales. 6 partes sombreadas. Total marcado 1 grupo y 2 y la fracción 1 sobre 4 o la fracción 9 sobre 4. 6 partes etiquetadas grupo de cantidad desconocida y la fracción 3 sobre 2 o la fracción 6 sobre 4.

Podemos ver que el cociente es\(\frac{6}{9}\), que equivale a\(\frac{2}{3}\). Para comprobar esto, multipliquemos. \(\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{4}=\frac{18}{12}\), y\(\frac{18}{12}\) es, en efecto, igual a\(\frac{3}{2}\).

Práctica

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Una receta requiere\(\frac{1}{2}\) lb de harina para 1 lote. ¿Cuántos lotes se pueden hacer con cada una de estas cantidades?

1. \(1\)lb
2. \(\frac{3}{4}\)lb
3. \(\frac{1}{4}\)lb

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Bigotes el gato pesa\(2\frac{2}{3}\) kg. Piglio pesa\(4\) kg. Para cada pregunta, escribe una ecuación de multiplicación y una ecuación de división, decide si la respuesta es mayor que 1 o menor que 1, y luego encuentra la respuesta.

1. ¿Cuántas veces más pesado que Piglio es Bigotes?
2. ¿Cuántas veces más pesado que Bigotes es Piglio?

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Andre está caminando de su casa a un festival que está a\(1\frac{5}{8}\) kilómetros de distancia. Camina\(\frac{1}{3}\) kilómetro y luego toma un rápido descanso. ¿Qué pregunta puede ser representada por la ecuación\(?\cdot 1\frac{5}{8}=\frac{1}{3}\) en esta situación?

1. ¿Qué fracción del viaje ha completado Andre?
2. ¿Qué fracción del viaje queda?
3. ¿Cuántos kilómetros más tiene que caminar Andre para llegar al festival?
4. ¿A cuántos kilómetros hay de casa al festival y de vuelta a casa?

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Dibuja un diagrama de cinta para representar la pregunta: ¿Qué fracción de\(2\frac{1}{2}\) es\(\frac{4}{5}\)?
Entonces encuentra la respuesta.

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

¿Cuántos grupos de\(\frac{3}{4}\) hay en cada una de estas cantidades?

1. \(\frac{11}{4}\)
2. \(6\frac{1}{2}\)

(De la Unidad 4.2.3)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Qué pregunta puede ser representada por la ecuación\(4\div\frac{2}{7}=?\)

1. ¿De qué son\(4\) los grupos\(\frac{2}{7}\)?
2. ¿Cuántos\(\frac{2}{7}\) s hay en\(4\)?
3. ¿Qué es\(\frac{2}{7}\) de\(4\)?
4. ¿Cuántos\(4\) s hay en\(\frac{2}{7}\)?

(De la Unidad 4.2.1)