24.3: Longitudes fraccionales en triángulos y prismas

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Lección

Exploremos el área y el volumen cuando las fracciones estén involucradas.

Ejercicio$\PageIndex{1}$: Area of Triangle

Encuentra el área del Triángulo A en centímetros cuadrados. Muestra tu razonamiento.

Figura$\PageIndex{1}$: Un triángulo etiquetado A con un lado vertical. Un vértice está a la izquierda del lado vertical. Se dibuja una línea horizontal discontinua desde el primer vértice hasta el lado vertical del triángulo y se indica un símbolo de ángulo recto. La línea discontinua y el lado vertical están etiquetadas con 4 centímetros y medio.

Ejercicio$\PageIndex{2}$: Bases and Heights of Triangles

El área del Triángulo B es de unidades$8$ cuadradas. Encuentra la longitud de$b$. Muestra tu razonamiento.

Figura$\PageIndex{2}$: Un triángulo etiquetado B tiene un lado horizontal en la parte inferior del triángulo y un vértice por encima del lado horizontal. Se dibuja una línea discontinua desde el vértice hasta el lado horizontal y se indica un símbolo de ángulo recto. El lado horizontal se etiqueta en minúscula b y la línea discontinua se etiqueta con ocho tercios.

El área del Triángulo C es de unidades$\frac{54}{5}$ cuadradas. ¿Cuál es la longitud de$h$? Muestra tu razonamiento.

Figura$\PageIndex{3}$: Un triángulo etiquetado C tiene un lado horizontal en la parte superior del triángulo y un vértice debajo del lado horizontal y a la izquierda. Una línea horizontal se extiende desde el lado horizontal y hacia la izquierda. Se dibuja una línea discontinua vertical desde el vértice inferior hasta la línea horizontal extendida y se indica un símbolo de ángulo recto. La línea discontinua se etiqueta con h y el lado horizontal del triángulo se etiqueta con 3 y tres quintos.

Ejercicio$\PageIndex{3}$: Volumes of Cubes and Prisms

Usa cubos o el applet para ayudarte a responder las siguientes preguntas.

Aquí hay un dibujo de un cubo con longitudes de borde de 1 pulgada.
1. ¿Cuántos cubos con longitudes de borde de$\frac{1}{2}$ pulgadas se necesitan para llenar este cubo?
2. ¿Cuál es el volumen, en pulgadas cúbicas, de un cubo con longitudes de borde de$\frac{1}{2}$ pulgada? Explica o muestra tu razonamiento.

Cuatro cubos se apilan en una sola pila para hacer un prisma. Cada cubo tiene una longitud de borde de$\frac{2}{2}$ pulgadas. Dibuja el prisma y encuentra su volumen en pulgadas cúbicas.

Use cubos con una longitud de borde de$\frac{1}{2}$ pulgadas para construir prismas con las longitudes, anchuras y alturas que se muestran en la tabla.

Para cada prisma, registre en la tabla cuántos cubos$\frac{1}{2}$ de pulgadas se pueden empaquetar en el prisma y el volumen del prisma.

Mesa$\PageIndex{1}$
longitud del prisma (pulg)	ancho del prisma (pulg)	altura del prisma (pulg)	número de cubos de$\frac{1}{2}$ -pulgadas en prisma
$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	\ (\ frac {1} {2}\) -pulgadas cubos en prism">
$1$	$1$	$\frac{1}{2}$	\ (\ frac {1} {2}\) -pulgadas cubos en prism">
$2$	$1$	$\frac{1}{2}$	\ (\ frac {1} {2}\) -pulgadas cubos en prism">
$2$	$2$	$1$	\ (\ frac {1} {2}\) -pulgadas cubos en prism">
$4$	$2$	$\frac{3}{2}$	\ (\ frac {1} {2}\) -pulgadas cubos en prism">
$5$	$4$	$2$	\ (\ frac {1} {2}\) -pulgadas cubos en prism">
$5$	$4$	$2\frac{1}{2}$	\ (\ frac {1} {2}\) -pulgadas cubos en prism">

Examine los valores en la tabla. ¿Qué nota acerca de la relación entre las longitudes de borde de cada prisma y su volumen?

¿Cuál es el volumen de un prisma rectangular que es$1\frac{1}{2}$ pulgadas por$2\frac{1}{4}$ pulgadas por$4$ pulgadas? Muestra tu razonamiento.

¿Estás listo para más?

Una fracción unitaria tiene a$1$ en el numerador.

Estas son fracciones unitarias:$\frac{1}{3}, \frac{1}{100}, \frac{1}{1}$.
Estas no son fracciones unitarias:$\frac{2}{9},\frac{8}{1}, 2\frac{1}{5}$.

Encuentra tres fracciones unitarias cuya suma es$\frac{1}{2}$. Un ejemplo es:$\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$ ¿Cuántos ejemplos como este puedes encontrar?
Encuentra una caja cuya superficie en unidades cuadradas sea igual a su volumen en unidades cúbicas. ¿Cuántos así puedes encontrar?

Resumen

Si un prisma rectangular tiene longitudes de borde de 2 unidades, 3 unidades y 5 unidades, podemos pensarlo como 2 capas de cubos unitarios, con cada capa teniendo cubos$(3\cdot 5)$ unitarios en él. Entonces el volumen, en unidades cúbicas, es:$2\cdot 3\cdot 5$

Para encontrar el volumen de un prisma rectangular con longitudes de borde fraccionarias, podemos pensar en él como construido de cubos que tienen una fracción unitaria para su longitud de borde. Por ejemplo, si construimos un prisma de$\frac{1}{2}$ -pulgada de alto,$\frac{3}{2}$ -pulgada de ancho y 4 pulgadas de largo usando cubos con una longitud de borde de$\frac{1}{2}$ -pulgada, tendríamos:

Una altura de 1 cubo, porque$1\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$.
Un ancho de 3 cubos, porque$3\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$.
Una longitud de 8 cubos, porque$8\cdot\frac{1}{2}=4$.

El volumen del prisma sería$1\cdot 3\cdot 8$, o 24 unidades cúbicas. ¿Cómo encontramos su volumen en pulgadas cúbicas? Sabemos que cada cubo con una longitud de borde de$\frac{1}{2}$ -pulgada tiene un volumen de pulgada$\frac{1}{8}$ cúbica, porque$\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$. Dado que el prisma se construye usando$24$ estos cubos, su volumen, en pulgadas cúbicas, sería entonces$24\cdot\frac{1}{8}$, o pulgadas$3$ cúbicas.

El volumen del prisma, en pulgadas cúbicas, también se puede encontrar multiplicando las longitudes de los bordes fraccionarios en pulgadas:$\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot 4=3$

Practica

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Clare está usando pequeños cubos de madera con una longitud de borde$\frac{1}{2}$ pulgadas para construir un cubo más grande que tiene una longitud de borde de 4 pulgadas. ¿Cuántos cubitos necesita? Explica tu razonamiento.

Ejercicio$\PageIndex{5}$

El triángulo tiene un área de$7\frac{7}{8}$ cm ² y una base de$5\frac{1}{4}$ cm.

¿Cuál es la longitud de$h$? Explica tu razonamiento.

Figura$\PageIndex{6}$: Un triángulo con una base horizontal etiquetada cinco y un cuarto centímetros. Un vértice está arriba y a la izquierda del lado horizontal y una línea horizontal se extiende hacia la izquierda desde la base. Se dibuja una línea discontinua vertical desde el vértice superior hasta la base extendida y se indica un símbolo de ángulo recto. La línea discontinua vertical está etiquetada con h.

Ejercicio$\PageIndex{6}$

¿Qué expresión se puede usar para encontrar cuántos cubos con longitud de borde de$\frac{1}{3}$ unidad caben en un prisma que es de 5 unidades por 5 unidades por 8 unidades? Explica o muestra tu razonamiento.
- $\left(5\cdot\frac{1}{3}\right)\cdot\left( 5\cdot\frac{1}{3}\right)\cdot\left( 8\cdot\frac{1}{3}\right)$
- $5\cdot 5\cdot 8$
- $\left( 5\cdot 3\right)\cdot\left( 5\cdot 3\right)\cdot\left( 8\cdot 3\right)$
- $\left(5\cdot 5\cdot 8\right)\cdot\left(\frac{1}{3}\right)$
Mai dice que también podemos encontrar la respuesta multiplicando las longitudes de borde del prisma y luego multiplicando el resultado por$27$. ¿Estás de acuerdo con ella? Explica tu razonamiento.

Ejercicio$\PageIndex{7}$

Un constructor está construyendo una cerca con tablas$6\frac{1}{4}$ de madera de pulgadas de ancho, dispuestas lado a lado sin huecos ni superposiciones. ¿Cuántas tablas se necesitan para construir una cerca de 150 pulgadas de largo? Muestra tu razonamiento.

(De la Unidad 4.4.1)

Ejercicio$\PageIndex{8}$

Encuentra el valor de cada expresión. Muestra tu razonamiento y comprueba tu respuesta.

$2\frac{1}{7}\div\frac{2}{7}$
$\frac{17}{20}\div\frac{1}{4}$

(De la Unidad 4.4.1)

Ejercicio$\PageIndex{9}$

Considera el problema: Un cubo contiene$11\frac{2}{3}$ galones de agua y está$\frac{5}{6}$ lleno. ¿Cuántos galones de agua habría en una cubeta llena?

Escribir una ecuación de multiplicación y división para representar la situación. Entonces, encuentra la respuesta y muestra tu razonamiento.

(De la Unidad 4.3.2)

Ejercicio$\PageIndex{10}$

Hay 80 niños en un gimnasio. 75% llevan calcetines. ¿Cuántos no llevan calcetines? Si te atascas, considera usar un diagrama de cinta.

(De la Unidad 3.4.3)

Ejercicio$\PageIndex{11}$

Lin quiere ahorrar 75 dólares para un viaje a la ciudad. Si hasta el momento ha ahorrado 37,50$, ¿qué porcentaje de su meta ha ahorrado? ¿Qué porcentaje queda?
Noah quiere ahorrar 60 dólares para que pueda adquirir una entrada de concierto. Si ha ahorrado 45 dólares hasta el momento, ¿qué porcentaje de su gol ha ahorrado? ¿Qué porcentaje queda?

(De la Unidad 3.4.2)

longitud del prisma (pulg)	ancho del prisma (pulg)	altura del prisma (pulg)	número de cubos de\(\frac{1}{2}\) -pulgadas en prisma
\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)	\ (\ frac {1} {2}\) -pulgadas cubos en prism">
\(1\)	\(1\)	\(\frac{1}{2}\)	\ (\ frac {1} {2}\) -pulgadas cubos en prism">
\(2\)	\(1\)	\(\frac{1}{2}\)	\ (\ frac {1} {2}\) -pulgadas cubos en prism">
\(2\)	\(2\)	\(1\)	\ (\ frac {1} {2}\) -pulgadas cubos en prism">
\(4\)	\(2\)	\(\frac{3}{2}\)	\ (\ frac {1} {2}\) -pulgadas cubos en prism">
\(5\)	\(4\)	\(2\)	\ (\ frac {1} {2}\) -pulgadas cubos en prism">
\(5\)	\(4\)	\(2\frac{1}{2}\)	\ (\ frac {1} {2}\) -pulgadas cubos en prism">

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