24.2: Rectángulos con Longitudes Laterales Fraccionales

Lección

Exploremos rectángulos que tienen mediciones fraccionarias.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Areas of Squares

Figura\(\PageIndex{1}\)

1. ¿Qué notas sobre las áreas de las plazas?
2. Kiran dice “Un cuadrado con longitudes laterales de\(\frac{1}{3}\) pulgadas tiene un área de pulgadas\(\frac{1}{3}\) cuadradas”. ¿Estás de acuerdo? Explica o muestra tu razonamiento.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Areas of Squares and Rectangles

Tu profesor te dará papel cuadriculado y una regla.

1. En el papel cuadriculado, dibuje un cuadrado con longitudes laterales de 1 pulgada. Dentro de este cuadrado, dibuje otro cuadrado con longitudes laterales de\(\frac{1}{4}\) pulgadas.
   Usa tu dibujo para responder a las preguntas.
   1. ¿Cuántos cuadrados con longitudes laterales de\(\frac{1}{4}\) pulgadas pueden caber en un cuadrado con longitudes laterales de 1 pulgada?
   2. ¿Cuál es el área de un cuadrado con longitudes laterales de\(\frac{1}{4}\) pulgadas? Explica o muestra tu razonamiento.
2. En el papel cuadriculado, dibuja un rectángulo que sea\(3\frac{1}{2}\) pulgadas por\(2\frac{1}{4}\) pulgadas.
   Para cada pregunta, escribe una expresión de división y luego encuentra la respuesta.
   1. \(\frac{1}{4}\)¿Cuántos segmentos de pulgadas tienen una longitud de\(3\frac{1}{2}\) pulgadas?
   2. \(\frac{1}{4}\)¿Cuántos segmentos de pulgadas tienen una longitud de\(2\frac{1}{4}\) pulgadas?
3. Usa tu dibujo para mostrar que un rectángulo que es\(3\frac{1}{2}\) pulgadas por\(2\frac{1}{4}\) pulgadas tiene un área de pulgadas\(7\frac{7}{8}\) cuadradas.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Areas of Rectangles

Cada una de estas expresiones de multiplicación representa el área de un rectángulo.

\(2\cdot 4\qquad 2\frac{1}{2}\cdot 4\qquad 2\cdot 4\frac{3}{4}\qquad 2\frac{1}{2}\cdot 4\frac{3}{4}\)

1. Todas las regiones sombreadas en azul claro tienen la misma área. Haga coincidir cada diagrama con la expresión que crea que representa su área. Esté preparado para explicar su razonamiento.

Figura\(\PageIndex{2}\): Cuatro rectángulos orientados verticalmente etiquetados A, B, C, D. El rectángulo A tiene una línea punteada horizontal alrededor de las tres cuartas partes del camino hacia abajo en su ancho. La parte superior es de color azul sombreado. El rectángulo B tiene una línea punteada horizontal alrededor de las tres cuartas partes del camino hacia abajo en su anchura y una línea punteada vertical aproximadamente tres cuartos del camino a la derecha de su longitud. La parte superior izquierda del rectángulo está sombreada en azul. El rectángulo C es de color azul sombreado. El rectángulo D tiene una línea punteada vertical alrededor de las tres cuartas partes del camino a la derecha de su longitud. La porción izquierda del rectángulo está sombreada en azul.

2. Usa el diagrama que coincide\(2\frac{1}{2}\cdot 4\frac{3}{4}\) para mostrar que el valor de\(2\frac{1}{2}\cdot 4\frac{3}{4}\) es\(11\frac{7}{8}\).

¿Estás listo para más?

Los siguientes rectángulos están compuestos por cuadrados, y cada rectángulo se construye usando el rectángulo anterior. La longitud lateral del primer cuadrado es de 1 unidad.

Figura\(\PageIndex{3}\): Secuencia de rectángulos compuesta por cuadrados. El primero es un cuadrado unitario. El segundo está compuesto por dos cuadrados unitarios, apilados verticalmente. El tercero está compuesto por dos cuadrados unitarios, apilados verticalmente, y un cuadrado de 2 por 2 unidades a la derecha. El cuarto está compuesto por dos cuadrados unitarios, apilados verticalmente, un cuadrado de 2 por 2 unidades a la derecha y un cuadrado de 3 por 3 unidades en la parte inferior. El quinto está compuesto por dos cuadrados unitarios, apilados verticalmente, un cuadrado de 2 por 2 unidades a la derecha, un cuadrado de 3 por 3 unidades en la parte inferior y un cuadrado de 4 por 4 unidades a la izquierda.

1. Dibuja los siguientes cuatro rectángulos que se construyen de la misma manera. Después completa la mesa con las longitudes laterales del rectángulo y la fracción del lado más largo sobre el lado más corto.

   Mesa\(\PageIndex{1}\)

   lado corto	lado largo	\(\frac{\text{long side}}{\text{short side}}\)
   \(1\)		\ (\ frac {\ texto {lado largo}} {\ texto {lado corto}}\) ">
   \(1\)		\ (\ frac {\ texto {lado largo}} {\ texto {lado corto}}\) ">
   \(2\)		\ (\ frac {\ texto {lado largo}} {\ texto {lado corto}}\) ">
   \(3\)		\ (\ frac {\ texto {lado largo}} {\ texto {lado corto}}\) ">
   		\ (\ frac {\ texto {lado largo}} {\ texto {lado corto}}\) ">
   		\ (\ frac {\ texto {lado largo}} {\ texto {lado corto}}\) ">
   		\ (\ frac {\ texto {lado largo}} {\ texto {lado corto}}\) ">
   		\ (\ frac {\ texto {lado largo}} {\ texto {lado corto}}\) ">
   		\ (\ frac {\ texto {lado largo}} {\ texto {lado corto}}\) ">

2. Describir los valores de la fracción del lado más largo sobre el lado más corto. ¿Qué pasa con la fracción a medida que continúa el patrón?

Ejercicio\(\PageIndex{4}\): How Many Would it Take? (Part 2)

A Noah le gustaría cubrir una bandeja rectangular con azulejos rectangulares. La bandeja tiene un ancho de\(11\frac{1}{4}\) pulgadas y un área de pulgadas\(50\frac{5}{8}\) cuadradas.

1. Encuentra la longitud de la bandeja en pulgadas.
2. Si las baldosas son\(\frac{3}{4}\) pulgada a\(\frac{9}{16}\) pulgada, ¿cuántas necesitaría Noah para cubrir la bandeja completamente, sin huecos ni superposiciones? Explica o muestra tu razonamiento.
3. Dibuja un diagrama para mostrar cómo Noé podría colocar las fichas. Su diagrama debe mostrar cuántas baldosas se necesitarían para cubrir el largo y ancho de la bandeja, pero no necesita mostrar todas las baldosas.

Resumen

Si un rectángulo tiene\(a\) unidades de longitudes laterales y\(b\) unidades, el área es unidades\(a\cdot b\) cuadradas. Por ejemplo, si tenemos un rectángulo con longitudes laterales\(\frac{1}{2}\) -pulgadas, su área es\(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\) o pulgadas\(\frac{1}{4}\) cuadradas.

Figura\(\PageIndex{4}\): Un cuadrado grande dividido uniformemente en 4 cuadrados más pequeños. El cuadrado grande tiene una longitud de lado horizontal inferior de 1 pulgada. De los cuatro cuadrados más pequeños, el cuadrado superior izquierdo es de color azul sombreado. Tiene longitudes laterales etiquetadas de media pulgada.

Esto significa que si conocemos el área y la longitud de un lado de un rectángulo, podemos dividirnos para encontrar la longitud del otro lado.

Figura\(\PageIndex{5}\)

Si la longitud de un lado de un rectángulo está\(10\frac{1}{2}\) dentro y su área está\(89\frac{1}{4}\) en ², podemos escribir esta ecuación para mostrar su relación:\(10\frac{1}{2}\cdot ?=89\frac{1}{4}\)

Entonces, podemos encontrar la otra longitud lateral, en pulgadas, usando división:\(89\frac{1}{4}\div 10\frac{1}{2}=?\)

Practica

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

1. Encuentra la longitud del lado desconocido del rectángulo si su área es de 11 m ². Muestra tu razonamiento.

Figura\(\PageIndex{6}\): Rectángulo que tiene área etiquetada 11 metros cuadrados. La longitud lateral de un lado del rectángulo está etiquetada con tres y dos tercios de metros y la longitud lateral del otro lado está etiquetada con un signo de interrogación. Cada ángulo tiene un símbolo de ángulo recto indicado.

2. Comprueba tu respuesta multiplicándola por la longitud lateral dada (\(3\frac{2}{3}\)). ¿El producto resultante es 11? Si no es así, revise su trabajo anterior.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Un trabajador está embaldosando el piso de una habitación rectangular que mide 12 pies por 15 pies. Las baldosas son cuadradas con longitudes laterales\(1\frac{1}{3}\) pies. ¿Cuántas baldosas se necesitan para cubrir todo el piso? Muestra tu razonamiento.

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Una pantalla de televisión tiene\(16\frac{1}{2}\) pulgadas de largo,\(w\) pulgadas de ancho y pulgadas\(462\) cuadradas de área. Seleccione todas las ecuaciones que representen la relación de las longitudes laterales y el área de la televisión.

1. \(w\cdot 462=16\frac{1}{2}\)
2. \(16\frac{1}{2}\cdot w=462\)
3. \(462\div 16\frac{1}{2}=w\)
4. \(462\div w=16\frac{1}{2}\)
5. \(16\frac{1}{2}\cdot 462=w\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

El área de un rectángulo está\(17\frac{1}{2}\) en ² y su lado más corto está\(3\frac{1}{2}\) en. Dibuja un diagrama que muestre esta información. ¿Cuál es la longitud del lado más largo?

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Una estantería mide 42 pulgadas de largo.

1. ¿Cuántos libros de\(1\frac{1}{2}\) pulgadas de largo caben en la estantería? Explica tu razonamiento.
2. Una estantería tiene 5 de estas estanterías. ¿Cuántos pies de espacio en las repisas hay? Explica tu razonamiento.

(De la Unidad 4.4.1)

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Encuentra el valor de\(\frac{5}{32}\div\frac{25}{4}\). Muestra tu razonamiento.

(De la Unidad 4.3.2)

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

¿Cuántos grupos de\(1\frac{2}{3}\) hay en cada una de estas cantidades?

1. \(1\frac{5}{6}\)
2. \(4\frac{1}{3}\)
3. \(\frac{5}{6}\)

(De la Unidad 4.2.3)

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

Se necesitan\(1\frac{1}{4}\) minutos para llenar un cubo de agua de 3 galones con una manguera. A este ritmo, ¿cuánto tiempo se tarda en llenar una tina de 50 galones? Si te quedas atascado, considera usar una mesa.

(De la Unidad 2.4.4)