31.5: Una nueva forma de interpretar a sobre b

Lección

Investiguemos qué significa una fracción cuando el numerador y el denominador no son números enteros.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Recalling Ways of Solving

Resuelve cada ecuación. Esté preparado para explicar su razonamiento.

\(0.07=10m\qquad 10.1=t+7.2\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Interpreting \(\frac{a}{b}\)

Resuelve cada ecuación.

1. \(35=7x\)
2. \(35=11x\)
3. \(7x=7.7\)
4. \(0.3x=2.1\)
5. \(\frac{2}{5}=\frac{1}{2}x\)

¿Estás listo para más?

Resuelve la ecuación. Intenta encontrar algunos atajos.

\(\frac{1}{6}\cdot\frac{3}{20}\cdot\frac{5}{42}\cdot\frac{7}{72}\cdot x=\frac{1}{384}\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Storytime Again

Tómese turnos con su pareja para contar una historia que podría estar representada por cada ecuación. Luego, para cada ecuación, elige una historia, indica qué cantidad\(x\) describe y resuelve la ecuación. Si te quedas atascado, considera dibujar un diagrama.

\(0.7+x=12\qquad \frac{1}{4}x=\frac{3}{2}\)

Resumen

En el pasado, aprendiste que una fracción como la que se\(\frac{4}{5}\) puede pensar de algunas maneras.

• \(\frac{4}{5}\)es un número que puedes ubicar en la recta numérica dividiendo la sección entre 0 y 1 en 5 partes iguales y luego contando 4 de esas partes a la derecha de 0.
• \(\frac{4}{5}\)es la parte que cada persona tendría si 4 enteros se compartieran por igual entre 5 personas. Esto quiere decir que\(\frac{4}{5}\) es el resultado de dividir 4 por 5.

Podemos extender este significado de una fracción como cociente a fracciones cuyos numeradores y denominadores no son números enteros. Por ejemplo, podemos representar 4.5 libras de arroz divididas en porciones que pesan cada una 1.5 libras como:\(\frac{4.5}{1.5}=4.5\div 1.5=3\). Es decir,\(\frac{4.5}{1.5}=3\) porque el cociente de 4.5 y 1.5 es 3.

Las fracciones que involucran números no enteros también se pueden usar cuando resolvemos ecuaciones.

Supongamos que una carretera en construcción está\(\frac{3}{8}\) terminada y la longitud de la parte terminada es de\(\frac{4}{3}\) millas. ¿Cuánto tiempo durará el camino cuando esté terminado?

Podemos escribir la ecuación\(\frac{3}{8}x=\frac{4}{3}\) para representar la situación y resolver la ecuación.

El camino terminado tendrá\(3\frac{5}{9}\) o cerca de 3.6 millas de largo.

\(\begin{aligned} \frac{3}{8}x&=\frac{4}{3} \\ x&=\frac{\frac{4}{3}}{\frac{3}{8}} \\ x&=\frac{4}{3}\cdot\frac{8}{3} \\ x&=\frac{32}{9}=3\frac{5}{9}\end{aligned}\)

Entradas en el glosario

Definición: Coeficiente

Un coeficiente es un número que se multiplica por una variable.

Por ejemplo, en la expresión\(3x+5\), el coeficiente de\(x\) es\(3\). En la expresión\(y+5\), el coeficiente de\(y\) es\(1\), porque\(y=1\cdot y\).

Definición: Solución a una ecuación

Una solución a una ecuación es un número que se puede utilizar en lugar de la variable para hacer que la ecuación sea verdadera.

Por ejemplo, 7 es la solución a la ecuación\(m+1=8\), porque es cierto que\(7+1=8\). La solución a no\(m+1=8\) es\(9\), porque\(9+1\neq 8\).

Definición: Variable

Una variable es una letra que representa un número. Se pueden elegir diferentes números para el valor de la variable.

Por ejemplo, en la expresión\(10-x\), la variable es\(x\). Si el valor de\(x\) es 3, entonces\(10-x=7\), porque\(10-3=7\). Si el valor de\(x\) es\(6\), entonces\(10-x=4\), porque\(10-6=4\).

Practica

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Seleccione todas las expresiones que sean iguales\(\frac{3.15}{0.45}\).

1. \((3.15)\cdot (0.45)\)
2. \((3.15)\div (0.45)\)
3. \((3.15)\cdot\frac{1}{0.45}\)
4. \((3.15)\div\frac{45}{100}\)
5. \((3.15)\cdot\frac{100}{45}\)
6. \((\frac{0.45}{3.15}\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

¿Qué expresiones son soluciones a la ecuación\(\frac{3}{4}x=15\)? Seleccione todas las que correspondan.

1. \(\frac{15}{\frac{3}{4}}\)
2. \(\frac{15}{\frac{4}{3}}\)
3. \(\frac{4}{3}\cdot 15\)
4. \(\frac{3}{4}\cdot 15\)
5. \(15\div\frac{3}{4}\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Resuelve cada ecuación.

\(4a=32\qquad 4=32b\qquad 10c=26\qquad 26=100d\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Para cada ecuación, escribir un problema de historia representado por la ecuación. Para cada ecuación, indique qué cantidad\(x\) representa. Si te quedas atascado, considera dibujar un diagrama.

1. \(\frac{3}{4}+x=2\)
2. \(1.5x=6\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Escribe tantas expresiones matemáticas o ecuaciones como puedas sobre la imagen. Incluya una fracción, un número decimal o un porcentaje en cada uno.

Figura\(\PageIndex{1}\): Un termómetro para recaudación de fondos etiquetado como Recaudador de fondos, nuestro objetivo, 2 cien 50 mil dólares. Se indican los números 50 mil a 2 cien 50 mil, en incrementos de 50 mil dólares. Hay 4 marcas de verificación espaciadas uniformemente entre cada valor indicado en dólares. Partiendo de abajo, el termómetro se sombrea a la primera marca por encima de los cien mil dólares.

(De la Unidad 3.4.4)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

En una mezcla de pintura lila, el 40% de la mezcla es pintura blanca, el 20% es azul y el resto es rojo. Hay 4 tazas de pintura azul utilizadas en un lote de pintura lila.

1. ¿Cuántas tazas de pintura blanca se utilizan?
2. ¿Cuántas tazas de pintura roja se utilizan?
3. ¿Cuántas tazas de pintura lila rendirá este lote?

Si te atascas, considera usar un diagrama de cinta.

(De la Unidad 3.4.3)

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

El triángulo P tiene una base de 12 pulgadas y una altura correspondiente de 8 pulgadas. El triángulo Q tiene una base de 15 pulgadas y una altura correspondiente de 6.5 pulgadas. ¿Qué triángulo tiene un área mayor? Muestra tu razonamiento.

(De la Unidad 1.3.3)