32.6: La Propiedad Distributiva, Parte 3

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Lección

Practicemos la escritura de expresiones equivalentes mediante el uso de la propiedad distributiva.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): The Shaded Region

Un rectángulo con dimensiones de 6 cm y\(w\) cm se divide en dos rectángulos más pequeños.

Explique por qué cada una de estas expresiones representa el área, en cm ², de la región sombreada.

\(6w-24\)
\(6(w-4)\)

Figura\(\PageIndex{1}\): Un rectángulo con la altura etiquetada 6 y la anchura total etiquetada w. El rectángulo se divide en dos rectángulos más pequeños. El primer rectángulo comparte altura de 6 y ancho de 4. El segundo rectángulo más pequeño tiene un área sombreada en azul.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Matching to Practice Distributive Property

Haga coincidir cada expresión en la columna 1 con una expresión equivalente en la columna 2. Si te quedas atascado, considera dibujar un diagrama.

Columna 1

\(a(1+2+3)\)
\(2(12-4)\)
\(12a+3b\)
\(\frac{2}{3}(15a-18)\)
\(6a+10b\)
\(0.4(5-2.5a)\)
\(2a+3a\)

Columna 2

\(3(4a+b)\)
\(12\cdot 2-4\cdot 2\)
\(2(3a+5b)\)
\((2+3)a\)
\(a+2a+4a\)
\(10a-12\)
\(2-a\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Writing Equivalent Expressions Using the Distributive Property

La propiedad distributiva se puede utilizar para escribir expresiones equivalentes. En cada fila, use la propiedad distributiva para escribir una expresión equivalente. Si te quedas atascado, considera dibujar un diagrama.

Mesa\(\PageIndex{1}\)
producto	suma o diferencia
\(3(3+x)\)
	\(4x-20\)
\((9-5)x\)
	\(4x+7x\)
\(3(2x+1)\)
	\(10x-5\)
	\(x+2x+3x\)
\(\frac{1}{2}(x-6)\)
\(y(3x+4z)\)
	\(2xyz-3yz+4xz\)

¿Estás listo para más?

Este rectángulo ha sido cortado en cuadrados de diferentes tamaños. Ambos cuadrados pequeños tienen longitud lateral 1 unidad. El cuadrado en el medio tiene\(x\) unidades de longitud lateral.

Supongamos que\(x\) es 3. Encuentra el área de cada cuadrado en el diagrama. Después encuentra el área del rectángulo grande.
Encuentra las longitudes laterales del rectángulo grande asumiendo que\(x\) es 3. Encuentra el área del rectángulo grande multiplicando la longitud por el ancho. Comprueba que esta es la misma zona que encontraste antes.
Ahora supongamos que no conocemos el valor de\(x\). Escribe una expresión para las longitudes laterales del rectángulo grande que implica\(x\).

Resumen

La propiedad distributiva se puede utilizar para escribir una suma como un producto, o escribir un producto como una suma. Siempre puedes dibujar un rectángulo particionado para ayudar a razonar al respecto, pero con suficiente práctica, deberías poder aplicar la propiedad distributiva sin hacer un dibujo.

Aquí hay algunos ejemplos de expresiones que son equivalentes debido a la propiedad distributiva.

\(\begin{aligned} 9+18&= 9(1+2) \\ 2(3x+4)&=6x+8 \\ 2n+3n+n&=n(2+3+1) \\ 11b-99a&= 11(b-9a) \\ k(c+d-e)&=kc+kd-ke\end{aligned}\)

Entradas en el glosario

Definición: Expresiones equivalentes

Las expresiones equivalentes son siempre iguales entre sí. Si las expresiones tienen variables, son iguales siempre que se use el mismo valor para la variable en cada expresión.

Por ejemplo,\(3x+4x\) es equivalente a\(5x+2x\). No importa para qué valor usemos\(x\), estas expresiones son siempre iguales. Cuando\(x\) es 3, ambas expresiones equivalen a 21. Cuando\(x\) es 10, ambas expresiones equivalen a 70.

Definición: Término

Un término es parte de una expresión. Puede ser un solo número, una variable, o un número y una variable que se multiplican entre sí. Por ejemplo, la expresión\(5x+18\) tiene dos términos. El primer término es\(5x\) y el segundo es 18.

Practica

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Para cada expresión, utilice la propiedad distributiva para escribir una expresión equivalente.

\(4(x+2)\)
\((6+8)\cdot x\)
\(4(2x+3)\)
\(6(x+y+z)\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Priya reescribe la expresión\(8y-24\) como\(8(y-3)\). Han reescribe\(8y-24\) como\(2(4y-12)\). ¿Las expresiones de Priya y Han son equivalentes cada una a\(8y-24\)? Explica tu razonamiento.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Seleccione todas las expresiones que sean equivalentes a\(16x+36\).

\(16(x+20)\)
\(x(16+36)\)
\(4(4x+9)\)
\(2(8x+18)\)
\(2(8x+36)\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

El área de un rectángulo es\(30+12x\). Enumere al menos 3 posibilidades para el largo y ancho del rectángulo.

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Seleccione todas las expresiones que sean equivalentes a\(\frac{1}{2}z\).

\(z+z\)
\(z\div 2\)
\(z\cdot z\)
\(\frac{1}{4}z+\frac{1}{4}z\)
\(2z\)

(De la Unidad 6.2.3)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

¿Cuál es el perímetro de un cuadrado con longitud lateral:
3 cm?
¿7 cm?
\(s\)cm?
Si el perímetro de un cuadrado es de 360 cm, ¿cuál es su longitud lateral?
¿Cuál es el área de un cuadrado con longitud lateral:
3 cm?
¿7 cm?
\(s\)cm?
Si el área de un cuadrado es de 121 cm ², ¿cuál es su longitud lateral?

(De la Unidad 6.2.1)

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Resuelve cada ecuación.

\(10=4a\)

\(5b=17.5\)

\(1.036=10c\)

\(0.6d=1.8\)

\(15=0.1e\)

(De la Unidad 6.1.5)