32.5: La Propiedad Distributiva, Parte 2

Lección

Usemos rectángulos para entender la propiedad distributiva con variables.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Possible Areas

1. Un rectángulo tiene una anchura de 4 unidades y una longitud de\(m\) unidades. Escribe una expresión para el área de este rectángulo.
2. ¿Cuál es el área del rectángulo si\(m\) es:
   3 unidades?
   2.2 unidades?
   \(\frac{1}{5}\)unidad?
3. ¿Podría el área de este rectángulo ser de 11 unidades cuadradas? ¿Por qué o por qué no?

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Partitioned Rectangles When Lengths are Unknown

1. Aquí hay dos rectángulos. El largo y ancho de un rectángulo son 8 y 5. El ancho del otro rectángulo es 5, pero su longitud es desconocida por lo que lo etiquetamos\(x\).
   Escribe una expresión para la suma de las áreas de los dos rectángulos.

Figura\(\PageIndex{1}\)

2. Los dos rectángulos se pueden componer en un rectángulo más grande como se muestra.
   ¿Cuál es el ancho y la longitud del nuevo rectángulo grande?

Figura\(\PageIndex{2}\)

3. Escribe una expresión para el área total del rectángulo grande como producto de su ancho y su longitud.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Areas of Partitioned Rectangles

Para cada rectángulo, escriba expresiones para el largo y ancho y dos expresiones para el área total. Gránzalos en la mesa. Revisa tus expresiones en cada fila con tu grupo y discute cualquier desacuerdo.

Figura\(\PageIndex{3}\): Seis rectángulos de diferentes tamaños etiquetados A, B, C, D, E y F. El rectángulo A se divide por un segmento de línea vertical en dos rectángulos más pequeños. El lado vertical está etiquetado como 3 y las longitudes del lado horizontal superior están etiquetadas como a y 5. El rectángulo B se divide por un segmento de línea vertical en dos rectángulos más pequeños. El lado vertical se etiqueta un tercio y las longitudes del lado horizontal superior se etiquetan con 6 y x. El rectángulo C se divide por 2 segmentos de línea vertical en tres rectángulos de igual tamaño. El lado vertical está etiquetado como r y las longitudes del lado horizontal superior están etiquetadas cada una con 1. El rectángulo D está particionado por 3 segmentos de línea vertical en 4 rectángulos de igual tamaño. El lado vertical está etiquetado con 6, y las longitudes del lado horizontal superior están etiquetadas cada una con 4. El rectángulo E está particionado por un segmento de línea vertical en dos rectángulos más pequeños. El lado vertical está etiquetado como m y las longitudes del lado horizontal superior están etiquetadas con 6 y 8. El rectángulo F está particionado por un segmento de línea vertical en dos rectángulos más pequeños. El lado vertical está etiquetado como 5 y las longitudes del lado horizontal superior están etiquetadas con 3 x y 8.

Mesa\(\PageIndex{1}\)

rectángulo	ancho	longitud	área como un producto de ancho por largo	área como una suma de las áreas de los rectángulos más pequeños
\(A\)
\(B\)
\(C\)
\(D\)
\(E\)
\(F\)

¿Estás listo para más?

Aquí hay un diagrama de área de un rectángulo.

Figura\(\PageIndex{4}\): Diagrama de área. Un rectángulo grande se divide vertical y horizontalmente en cuatro rectángulos más pequeños. Comenzando con el rectángulo superior izquierdo y moviéndose en sentido horario, lado vertical w, lado superior y, área A. Rectángulo superior derecho, longitud del lado superior z, área 24. Rectángulo inferior derecho, área 72. Rectángulo inferior izquierdo, lado vertical x, área 18.

1. Encuentra las longitudes\(w, x, y,\) y\(z\), y el área\(A\). Todos los valores son números enteros.
2. ¿Puedes encontrar otro conjunto de longitudes que funcione? ¿Cuántas posibilidades hay?

Resumen

Aquí hay un rectángulo compuesto por dos rectángulos más pequeños A y B.

Figura\(\PageIndex{5}\): Un rectángulo está particionado por un segmento de línea vertical que crea dos rectángulos más pequeños, A y B. El rectángulo A tiene una longitud lateral vertical de 3 y una longitud lateral horizontal de 2. El rectángulo B tiene una longitud lateral horizontal de x.

Con base en el dibujo, podemos hacer varias observaciones sobre el área del rectángulo:

• Un lado de longitud del rectángulo grande es 3 y el otro es\(2+x\), por lo que su área es\(3(2+x)\).
• Dado que el rectángulo grande se puede descomponer en dos rectángulos más pequeños, A y B, sin solapamiento, el área del rectángulo grande es también la suma de las áreas de los rectángulos A y B:\(3(2)+3(x)\) o\(6+3x\).
• Dado que ambas expresiones representan el área del rectángulo grande, son equivalentes entre sí. \(3(2+x)\)es equivalente a\(6+3x\).

Podemos ver que multiplicar 3 por la suma\(2+x\) equivale a multiplicar 3 por 2 y luego 3 por\(x\) y sumar los dos productos. Esta relación es un ejemplo de la propiedad distributiva.

\(3(2+x)=3\cdot 2+3\cdot x\)

Entradas en el glosario

Definición: Expresiones equivalentes

Las expresiones equivalentes son siempre iguales entre sí. Si las expresiones tienen variables, son iguales siempre que se use el mismo valor para la variable en cada expresión.

Por ejemplo,\(3x+4x\) es equivalente a\(5x+2x\). No importa para qué valor usemos\(x\), estas expresiones son siempre iguales. Cuando\(x\) es 3, ambas expresiones equivalen a 21. Cuando\(x\) es 10, ambas expresiones equivalen a 70.

Definición: Término

Un término es parte de una expresión. Puede ser un solo número, una variable, o un número y una variable que se multiplican entre sí. Por ejemplo, la expresión\(5x+18\) tiene dos términos. El primer término es\(5x\) y el segundo es 18.

Practica

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Aquí hay un rectángulo.

Figura\(\PageIndex{6}\): Diagrama de área. Un rectángulo particionado verticalmente en 3 rectángulos más pequeños. Primer rectángulo, lado vertical, a, lado inferior 2. Segundo rectángulo, lado vertical, a, lado inferior, 3. Tercer rectángulo, lado vertical, a, lado inferior, 4.

1. Explique por qué es el área del rectángulo grande\(2a+3a+4a\).
2. Explique por qué es el área del rectángulo grande\((2+3+4)a\).

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

¿Es el área del rectángulo sombreado\(6(2-m)\) o\(6(m-2)\)?

Explique cómo sabe.

Figura\(\PageIndex{7}\): Diagrama de área de dos rectángulos unidos uno con un área sombreada. La altura del rectángulo es 6 y tiene un ancho total de m. El rectángulo adjunto más pequeño comparte la altura de 6 y tiene un ancho de 2.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Elija las expresiones que no representen el área total del rectángulo. Seleccione todas las que correspondan.

Figura\(\PageIndex{8}\)

1. \(5t+4t\)
2. \(t+5+4\)
3. \(9t\)
4. \(4\cdot 5\cdot t\)
5. \(t(5+4)\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Evaluar cada expresión mentalmente.

1. \(35\cdot 91-35\cdot 89\)
2. \(22\cdot 87 +22\cdot 13\)
3. \(\frac{9}{11}\cdot\frac{7}{10}-\frac{9}{11}\cdot\frac{3}{10}\)

(De la Unidad 6.2.4)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Seleccione todas las expresiones que sean equivalentes a\(4b\).

1. \(b+b+b+b\)
2. \(b+4\)
3. \(2b+2b\)
4. \(b\cdot b\cdot b\cdot b\)
5. \(b\div\frac{1}{4}\)

(De la Unidad 6.2.3)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Resuelve cada ecuación. Muestra tu razonamiento.

\(111=14a\)

\(13.65=b+4.88\)

\(c+\frac{1}{3}=5\frac{1}{8}\)

\(\frac{2}{5}d=\frac{17}{4}\)

\(5.16=4e\)

(De la Unidad 6.1.4)

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Andre corrió\(5\frac{1}{2}\) vueltas de una pista en 8 minutos a una velocidad constante. Andre tardó\(x\) minutos en correr cada vuelta. Seleccione todas las ecuaciones que representen esta situación.

1. \(\left(5\frac{1}{2}\right)x=8\)
2. \(5\frac{1}{2}+x=8\)
3. \(5\frac{1}{2}-x=8\)
4. \(5\frac{1}{2}\div x=8\)
5. \(x=8\div\left(5\frac{1}{2}\right)\)
6. \(x=\left(5\frac{1}{2}\right)\div 8\)

(De la Unidad 6.1.2)