33.4: Expresiones Exponenciales Equivalentes

Lección

Investiguemos expresiones con variables y exponentes.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Up or Down?

Encuentra los valores de\(3^{x}\) y\(\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\) para diferentes valores de\(x\). ¿Qué patrones notas?

Mesa\(\PageIndex{1}\)

\(x\)	\(3^{x}\)	\(\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\)
\ (x\) ">\(1\)	\ (3^ {x}\) ">	\ (\ izquierda (\ frac {1} {3}\ derecha) ^ {x}\) ">
\ (x\) ">\(2\)	\ (3^ {x}\) ">	\ (\ izquierda (\ frac {1} {3}\ derecha) ^ {x}\) ">
\ (x\) ">\(3\)	\ (3^ {x}\) ">	\ (\ izquierda (\ frac {1} {3}\ derecha) ^ {x}\) ">
\ (x\) ">\(4\)	\ (3^ {x}\) ">	\ (\ izquierda (\ frac {1} {3}\ derecha) ^ {x}\) ">

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): What's the Value?

Evaluar cada expresión para el valor dado de\(x\).

1. \(3x^{2}\)cuando\(x\) es\(10\)
2. \(3x^{2}\)cuando\(x\) es\(\frac{1}{9}\)
3. \(\frac{x^{3}}{4}\)cuando\(x\) es\(4\)
4. \(\frac{x^{3}}{4}\)cuando\(x\) es\(\frac{1}{2}\)
5. \(9+x^{7}\)cuando\(x\) es\(1\)
6. \(9+x^{7}\)cuando\(x\) es\(\frac{1}{2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Exponent Experimentation

Encuentra una solución a cada ecuación en la lista. (Los números de la lista pueden ser una solución a más de una ecuación, y no se usarán todos los números de la lista).

1. \(64=x^{2}\)
2. \(64=x^{3}\)
3. \(2^{x}=32\)
4. \(x=\left(\frac{2}{5}\right)^{3}\)
5. \(\frac{16}{9}=x^{2}\)
6. \(2\cdot 2^{5}=2^{x}\)
7. \(2x=2^{4}\)
8. \(4^{3}=8^{x}\)

Lista:

\(\frac{8}{125}\quad \frac{6}{15}\quad\frac{5}{8}\quad\frac{8}{9}\quad 1\frac{4}{3}\quad 2\quad 3\quad 4\quad 5\quad 6\quad 8\)

¿Estás listo para más?

Este fractal se llama Tetraedro Sierpinski. Un tetraedro es un poliedro que tiene cuatro caras. (El plural de tetraedro es tetraedros.)

Los tetraedros pequeños forman cuatro tetraedros medianos: azul, rojo, amarillo y verde. Los tetraedros medianos forman un tetraedro grande.

Figura\(\PageIndex{1}\): Un tetraedro grande está formado por cuatro tetraedros medianos de diferentes colores: azul, rojo, amarillo, verde. Cada tetraedro de tamaño mediano está formado por cuatro tetraedros pequeños.

1. ¿Cuántas caras pequeñas tiene este fractal? Asegúrate de incluir caras que no puedas ver. Intenta encontrar la manera de resolverlo para que no tengas que contar todas las caras.
2. ¿Cuántos tetraedros pequeños hay en la capa inferior, tocando la mesa?
3. Para hacer una versión aún mayor de este fractal, podrías tomar cuatro fractales como el que se muestra en la foto y juntarlos. Explica dónde unirías los fractales para hacer un tetraedro más grande.
4. ¿Cuántas caras pequeñas tendría este fractal más grande? ¿Cuántos tetraedros pequeños habría en la capa inferior?
5. ¿Qué otros patrones puedes encontrar?

Resumen

En esta lección, vimos expresiones que usaban la letra\(x\) como variable. Evaluamos estas expresiones para diferentes valores de\(x\).

• Para evaluar la expresión\(2x^{3}\) cuando\(x\) es\(5\), reemplazamos la letra\(x\) con\(5\) para obtener\(2\cdot 5^{3}\). Esto es igual\(2\cdot 125\) o justo\(250\). Entonces el valor de\(2x^{3}\) es\(250\) cuando\(x\) es\(5\).
• Para evaluar\(\frac{x^{2}}{8}\) cuándo\(x\) es\(4\), reemplazamos la letra\(x\) con\(4\) para obtener\(\frac{4^{2}}{8}=\frac{16}{8}\), que es igual\(2\). Entonces\(\frac{x^{2}}{8}\) tiene un valor de\(2\) cuándo\(x\) es\(4\).

También vimos ecuaciones con la variable\(x\) y tuvimos que decidir qué valor de\(x\) haría verdadera la ecuación.

• Supongamos que tenemos una ecuación\(10\cdot 3^{x}=90\) y una lista de posibles soluciones:\(1, 2, 3, 9, 11\). El único valor de\(x\) eso hace que la ecuación sea verdadera es\(2\) porque\(10\cdot 3^{2}=10\cdot 3\cdot 3\), que es igual\(90\). Así\(2\) es la solución a la ecuación.

Practica

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Evaluar cada expresión si\(x=3\).

1. \(2^{x}\)
2. \(x^{2}\)
3. \(1^{x}\)
4. \(x^{1}\)
5. \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Evaluar cada expresión para el valor dado de cada variable.

1. \(2+x^{3}\),\(x\) es\(3\)
2. \(x^{2}\),\(x\) es\(\frac{1}{2}\)
3. \(3x^{2}+y\),\(x\)\(5\)\(y\) es\(3\)
4. \(10y+x^{2}\),\(x\)\(6\)\(y\) es\(4\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Decidir si las expresiones tienen el mismo valor. Si no es así, determine qué expresión tiene el valor mayor.

1. \(2^{3}\)y\(3^{2}\)
2. \(1^{31}\)y\(31^{1}\)
3. \(4^{2}\)y\(2^{4}\)
4. \(\left(\frac{1}{2}\right)^{3}\)y\(\left(\frac{1}{3}\right)^{2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Haga coincidir cada ecuación con su solución.

1. \(7+x^{2}=16\)
2. \(5-x^{2}=1\)
3. \(2\cdot 2^{3}=2^{x}\)
4. \(\frac{3^{4}}{3^{x}}=27\)

1. \(x=1\)
2. \(x=2\)
3. \(x=3\)
4. \(x=4\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Un pase de adulto en el parque de diversiones cuesta 1.6 veces más que el pase de un niño.

1. ¿Cuántos dólares cuesta un pase de adulto si el pase de un niño cuesta:
   \($5\)?
   \($10\)?
   \(w\)dólares?
2. El pase de un niño cuesta $15. ¿Cuántos dólares cuesta un pase de adulto?

(De la Unidad 6.2.1)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Jada lee 5 páginas cada 20 minutos. A este ritmo, ¿cuántas páginas puede leer en 1 hora?

• Usa una línea numérica doble para encontrar la respuesta.

Figura\(\PageIndex{2}\): Doble línea numérica, 4 marcas de verificación espaciadas uniformemente. Línea superior, páginas leídas. A partir de la primera marca de verificación, etiquetas: 0, 5, caja, caja. Línea de fondo, minutos de tiempo. Comenzando en la primera marca de verificación, etiquetada como 0, 20, 40, 60.

• Usa una tabla para encontrar la respuesta.

Mesa\(\PageIndex{2}\)

páginas leídas	tiempo en minutos
\(5\)	\(20\)

¿Qué estrategia crees que es mejor y por qué?

(De la Unidad 2.4.4)