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33.3: Evaluar expresiones con exponentes

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    Lección

    Encontremos los valores de las expresiones con exponentes.

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Revisiting the Cube

    Con base en la información dada, ¿qué otras medidas del cuadrado y del cubo podríamos encontrar?

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Calculating Surface Area

    Un cubo tiene una longitud lateral de 10 pulgadas. Jada dice que la superficie del cubo es de 600 en 2, y Noé dice que la superficie del cubo es de 3,600 en 2. Así es como razonó cada uno de ellos:

    Método de Jada:

    \(\begin{array}{l}{6\cdot 10^{2}}\\{6\cdot 100}\\{600}\end{array}\)

    Método de Noé:

    \(\begin{array}{l}{6\cdot 10^{2}}\\{60^{2}}\\{3,600}\end{array}\)

    ¿Estás de acuerdo con alguno de ellos? Explica tu razonamiento.

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Row Game: Expression Explosion

    Evaluar las expresiones en una de las columnas. Tu pareja trabajará en la otra columna. Consulta con tu pareja después de terminar cada fila. Tus respuestas en cada fila deben ser las mismas. Si sus respuestas no son las mismas, trabajen juntos para encontrar el error.

    columna A columna B
    \(5^{2}+4\) \(2^{2}+25\)
    \(2^{4}\cdot 5\) \(2^{3}\cdot 10\)
    \(3\cdot r^{2}\) \(12\cdot 2^{2}\)
    \(20+2^{3}\) \(1+3^{3}\)
    \(9\cdot 2^{1}\) \(3\cdot 6^{1}\)
    \(\frac{1}{9}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{3}\) \(\frac{1}{8}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{2}\)
    Mesa\(\PageIndex{1}\)

    ¿Estás listo para más?

    1. Considera esta ecuación:clipboard_e3aeff9b55b0d7d35c33b045029506d54.png. Un ejemplo de 3 números enteros diferentes que podrían ir en las casillas son 3, 4, y 5, ya que\(3^{2}+4^{2}=5^{2}\). (Es decir,\(9+16=25\).)
      ¿Puedes encontrar un conjunto diferente de 3 números enteros que hagan verdadera la ecuación?
    2. ¿Cuántos juegos de 3 números enteros diferentes puedes encontrar?
    3. ¿Puedes encontrar un conjunto de 3 números enteros diferentes que hagan verdadera esta ecuación? clipboard_efd81329735c241f727f05b5336c85803.png
    4. ¿Qué tal éste? clipboard_eedeef842eb57fb8f2eeab7520ca1ce29.png

    Una vez que hayas trabajado en esto un poco de tiempo, podrás entender un problema que es famoso en la historia de las matemáticas. (Ay, este espacio es demasiado pequeño para contenerlo.) Si te interesa, considera hacer algunas investigaciones adicionales sobre el último teorema de Fermat.

    Resumen

    Los exponentes nos dan una nueva forma de describir operaciones con números, así que necesitamos entender cómo se llevan los exponentes con las otras operaciones que conocemos.

    Cuando escribimos\(6\cdot 4^{2}\), queremos asegurarnos de que todos estén de acuerdo sobre cómo evaluar esto. De lo contrario, algunas personas podrían multiplicarse primero y otras computan primero el exponente, ¡y diferentes personas obtendrían valores diferentes para la misma expresión!

    Anteriormente vimos situaciones en las que\(6\cdot 4^{2}\) representaba la superficie de un cubo con longitudes laterales de 4 unidades. Al calcular el área de superficie, evaluamos\(4^{2}\) primero (o encontramos primero el área de una cara del cubo) y luego multiplicamos el resultado por 6. En muchas otras expresiones que utilizan exponentes, la parte con un exponente está destinada a ser evaluada primero.

    Para que todos estén de acuerdo sobre el valor de expresiones como\(6\cdot 4^{2}\), la convención es evaluar primero la parte de la expresión con el exponente. Aquí hay un par de ejemplos:

    \(\begin{array}{cccc}{6\cdot 4^{2}}&{\qquad}&{\qquad}&{45+5^{2}}\\{6\cdot 16}&{\qquad}&{\qquad}&{45+25}\\ {96}&{\qquad}&{\qquad}&{70}\end{array}\)

    Si queremos comunicar que 6 y 4 deben multiplicarse primero y luego al cuadrado, entonces podemos usar paréntesis para agrupar partes:

    \(\begin{array}{cccc}{(6\cdot 4)^{2}}&{\qquad}&{\qquad}&{(45+5)^{2}}\\{24^{2}}&{\qquad}&{\qquad}&{50^{2}}\\{576}&{\qquad}&{\qquad}&{2,500}\end{array}\)

    Practica

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Lin dice: “Tomé el número 8, y luego lo multipliqué por el cuadrado de 3”. Selecciona todas las expresiones que igualen la respuesta de Lin.

    1. \(8\cdot 3^{2}\)
    2. \((8\cdot 3)^{2}\)
    3. \(8\cdot 2^{3}\)
    4. \(3^{2}\cdot 8\)
    5. \(24^{2}\)
    6. \(72\)

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Evaluar cada expresión.

    1. \(7+2^{3}\)
    2. \(9\cdot 3^{1}\)
    3. \(20-2^{4}\)
    4. \(2\cdot 6^{2}\)
    5. \(8\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\)
    6. \(\frac{1}{3}\cdot 3^{3}\)
    7. \(\left(\frac{1}{5}\cdot 5\right)^{5}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Andre dice: “Multipliqué 4 por 5, luego cubicé el resultado”. Selecciona todas las expresiones que igualen la respuesta de Andre.

    1. \(4\cdot 5^{3}\)
    2. \((4\cdot 5)^{3}\)
    3. \((4\cdot 5)^{2}\)
    4. \(5^{3}\cdot 4\)
    5. \(20^{3}\)
    6. \(500\)
    7. \(8,000\)

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Han tiene 10 cubos, cada uno de 5 pulgadas en un lado.

    1. Encuentra el volumen total de cubos de Han. Expresa tu respuesta como una expresión usando un exponente.
    2. Encuentra la superficie total de los cubos de Han. Expresa tu respuesta como una expresión usando un exponente.

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    Eso dice Priya\(\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{4}{3}\). ¿Estás de acuerdo con Priya? Explica o muestra tu razonamiento.

    (De la Unidad 6.3.2)

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    Responde a cada pregunta. Muestra tu razonamiento.

    1. \(125\)% de\(e\) es\(30\). ¿Qué es\(e\)?
    2. \(35\)% de\(f\) es\(14\). ¿Qué es\(f\)?

    (De la Unidad 6.2.2)

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

    ¿Qué expresiones son soluciones a la ecuación\(2.4y=13.75\)? Seleccione todas las que correspondan.

    1. \(13.75-1.4\)
    2. \(13.75\cdot 2.4\)
    3. \(13.75\div 2.4\)
    4. \(\frac{13.75}{2.4}\)
    5. \(2.4\div 13.75\)

    (De la Unidad 6.1.5)

    Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

    Jada explica cómo encuentra\(15\cdot 23\):

    “Sé que diez 23s es 230, así que cinco 23s serán la mitad de 230, que es 115.
    15 es 10 más 5, así\(15\cdot 23\) es 230 más 115, que es 345”.

    1. ¿Estás de acuerdo con Jada? Explique.
    2. Dibuja un rectángulo de 15 por 23. Divida el rectángulo en dos rectángulos y etiquételos para mostrar el razonamiento de Jada.

    (De la Unidad 5.3.3)

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