34.1: Dos Cantidades Relacionadas, Parte 1

Lección

Usemos ecuaciones y gráficas para describir las relaciones con las proporciones.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Which One Would You Choose?

¿Cuál elegirías? Esté preparado para explicar su razonamiento.

• Una jarra de miel de 5 libras por $15.35
• Tres frascos de miel de 1.5 libras por $13.05

Figura\(\PageIndex{1}\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Painting the Set

Lin necesita mezclar un tono específico de pintura naranja para el conjunto de la obra escolar. El color utiliza 3 partes amarillas por cada 2 partes rojas.

1. Completa la tabla para mostrar diferentes combinaciones de pintura roja y amarilla que harán que el tono naranja que Lin necesite.

   Mesa\(\PageIndex{1}\)

   tazas de pintura roja (\(r\))	tazas de pintura amarilla (\(y\))	tazas totales de pintura (\(t\))
   \ (r\)) ">\(2\)	\ (y\)) ">\(3\)	\ (t\)) ">
   \ (r\)) ">\(6\)	\ (y\)) ">	\ (t\)) ">
   \ (r\)) ">	\ (y\)) ">	\ (t\)) ">\(20\)
   \ (r\)) ">	\ (y\)) ">\(18\)	\ (t\)) ">
   \ (r\)) ">\(14\)	\ (y\)) ">	\ (t\)) ">
   \ (r\)) ">\(16\)	\ (y\)) ">	\ (t\)) ">
   \ (r\)) ">	\ (y\)) ">	\ (t\)) ">\(50\)
   \ (r\)) ">	\ (y\)) ">\(42\)	\ (t\)) ">

2. Lin nota que el número de tazas de pintura roja es siempre\(\frac{2}{5}\) del número total de tazas. Ella escribe la ecuación\(r=\frac{2}{5}t\) para describir la relación. ¿Cuál es la variable independiente? ¿Cuál es la variable dependiente? Explique cómo sabe.
3. Escribe una ecuación que describa la relación entre\(r\) y\(y\) dónde\(y\) está la variable independiente.
4. Escribe una ecuación que describa la relación entre\(y\) y\(r\) dónde\(r\) está la variable independiente.
5. Utilice los puntos de la tabla para crear dos gráficas que muestren la relación entre\(r\) y\(y\). Empareja cada relación con una de las ecuaciones que escribiste.

¿Estás listo para más?

Un puesto de frutas vende manzanas, melocotones y tomates. Hoy, vendieron 4 manzanas por cada 5 melocotones. Vendieron 2 melocotones por cada 3 tomates. Vendieron 132 piezas de fruta en total. ¿Cuántas de cada fruta vendieron?

Resumen

Las ecuaciones son muy útiles para describir conjuntos de proporciones equivalentes. Aquí hay un ejemplo.

Una receta de pastel requiere 3 manzanas verdes por cada 5 manzanas rojas. Podemos crear una tabla para mostrar algunas proporciones equivalentes.

Podemos ver desde la mesa que siempre\(r\) es\(\frac{5}{3}\) tan grande como\(g\) y que siempre\(g\) es\(\frac{3}{5}\) tan grande como\(r\).

manzanas verdes (\(g\))	manzanas rojas (\(r\))
\ (g\)) ">\(3\)	\ (r\)) ">\(5\)
\ (g\)) ">\(6\)	\ (r\)) ">\(10\)
\ (g\)) ">\(9\)	\ (r\)) ">\(15\)
\ (g\)) ">\(12\)	\ (r\)) ">\(20\)

Mesa\(\PageIndex{2}\)

Podemos escribir ecuaciones para describir la relación entre\(g\) y\(r\).

• Cuando conocemos el número de manzanas verdes y queremos encontrar el número de manzanas rojas, podemos escribir:

\(r=\frac{5}{3}g\)

En esta ecuación, si\(g\) cambia,\(r\) se ve afectada por el cambio, por lo que nos referimos\(g\) como la variable independiente y\(r\) como la variable dependiente.

Podemos usar esta ecuación con cualquier valor de\(g\) para encontrar\(r\). Si se usan 270 manzanas verdes, entonces\(\frac{5}{3}\cdot (270)\) o se usan 450 manzanas rojas.

• Cuando conocemos el número de manzanas rojas y queremos encontrar el número de manzanas verdes, podemos escribir:

\(g=\frac{3}{5}r\)

En esta ecuación, si\(r\) cambia,\(g\) se ve afectada por el cambio, por lo que nos referimos\(r\) como la variable independiente y\(g\) como la variable dependiente.

Podemos usar esta ecuación con cualquier valor de\(r\) para encontrar\(g\). Si se usan 275 manzanas rojas, entonces\(\frac{3}{5}\cdot (275)\) o se usan 165 manzanas verdes.

También podemos graficar las dos ecuaciones que escribimos para obtener una imagen visual de la relación entre las dos cantidades.

Figura\(\PageIndex{2}\): Dos gráficas que representan una relación de dos cantidades. La gráfica de la izquierda tiene un eje horizontal etiquetado número de manzanas verdes y se indican los números 1 a 15, El eje vertical se etiqueta número de manzanas rojas y se indican los números 1 a 20. En la gráfica se indican los siguientes cuatro puntos: 3 coma 5, 6 coma 10, 9 coma 15 y 12 coma 20. La gráfica de la derecha tiene un eje horizontal etiquetado con número de manzanas rojas y se indican los números del 1 al 15. Al eje vertical se le etiqueta número de manzanas verdes y se indican los números del 1 al 20. En la gráfica se indican los tres puntos siguientes: 5 coma 3, 10 coma 6 y 15 coma 9.

Entradas en el glosario

Definición: Variable dependiente

La variable dependiente es el resultado de un cálculo.

Por ejemplo, un barco viaja a una velocidad constante de 25 millas por hora. La ecuación\(d=25t\) describe la relación entre la distancia y el tiempo de la embarcación. La variable dependiente es la distancia recorrida, pues\(d\) es el resultado de multiplicar 25 por\(t\).

Figura\(\PageIndex{3}\): Gráfica de 10 puntos trazados en el plano de coordenadas con el origen etiquetado O. El eje t horizontal se etiqueta tiempo en horas. Se indican los números del 0 al 10, en incrementos de 2, y hay líneas verticales de rejilla a medio camino entre ellas. El eje vertical está etiquetado como distancia recorrida en millas. Se indican los números del 0 al 250, en incrementos de 25, y hay líneas de rejilla horizontales a medio camino entre ellas. Los datos son los siguientes: 1 coma 25. 2 coma 50. 3 coma 75. 4 coma 100. 5 coma 125. 6 coma 150. 7 coma 175. 8 coma 200. 9 coma 225. 10 coma 250.

Definición: Variable independiente

La variable independiente se utiliza para calcular el valor de otra variable.

Por ejemplo, un barco viaja a una velocidad constante de 25 millas por hora. La ecuación\(d=25t\) describe la relación entre la distancia y el tiempo de la embarcación. La variable independiente es el tiempo, porque\(t\) se multiplica por 25 para obtener\(d\).

Figura\(\PageIndex{4}\): Gráfica de 10 puntos trazados en el plano de coordenadas con el origen etiquetado O. El eje t horizontal se etiqueta tiempo en horas. Se indican los números del 0 al 10, en incrementos de 2, y hay líneas verticales de rejilla a medio camino entre ellas. El eje vertical está etiquetado como distancia recorrida en millas. Se indican los números del 0 al 250, en incrementos de 25, y hay líneas de rejilla horizontales a medio camino entre ellas. Los datos son los siguientes: 1 coma 25. 2 coma 50. 3 coma 75. 4 coma 100. 5 coma 125. 6 coma 150. 7 coma 175. 8 coma 200. 9 coma 225. 10 coma 250.

Practica

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Aquí hay una gráfica que muestra algunos valores para el número de tazas de azúcar,\(s\), requeridos para hacer\(x\) lotes de brownies.

Figura\(\PageIndex{5}\): Ocho puntos trazados en el plano de coordenadas con el origen etiquetado O. El eje x se etiqueta lotes de brownies y se indican los números 0 a 8. El eje s está etiquetado como tazas de azúcar y se indican los números del 0 al 6. Hay líneas de rejilla horizontales a medio camino entre cada entero. Los datos son los siguientes: 1 coma la mitad. 2 coma 1. 3 coma una y media. 4 coma 2. 5 coma 2 y una mitad. 6 coma 3. 7 coma 3 y media. 8 coma 4.

1. Completa la tabla para que el par de números en cada columna represente las coordenadas de un punto en la gráfica.

   Mesa\(\PageIndex{3}\)

   \(x\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)	\(7\)
   \(s\)

2. ¿Qué\((8,4)\) significa el punto en cuanto a la cantidad de azúcar y número de lotes de brownies?
3. Escribe una ecuación que muestre la cantidad de azúcar en términos del número de lotes.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Cada porción de cierto refrigerio de frutas contiene 90 calorías.

1. Han quiere saber cuántas calorías obtiene de los refrigerios de frutas. Escribir una ecuación que muestre el número de calorías\(c\),, en términos del número de porciones,\(n\).
2. Tyler necesita algunas calorías extra cada día durante su temporada deportiva. Quiere saber cuántas porciones puede tomar cada día si todas las calorías extra provienen de la merienda de frutas. Escribir una ecuación que muestre el número de porciones,\(n\), en términos del número de calorías,\(c\).

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Kiran compra libros durante una venta de 20% de descuento.

1. ¿Qué porcentaje del precio original de un libro paga Kiran durante la venta?
2. Completa la tabla para mostrar cuánto paga Kiran por los libros durante la venta.
3. Escribir una ecuación que relacione el precio de venta\(s\),, con el precio original\(p\).
4. En papel cuadriculado, cree una gráfica que muestre la relación entre el precio de venta y el precio original trazando los puntos de la tabla.

Mesa\(\PageIndex{4}\)

precio original en dólares (\(p\))	precio de venta en dólares (\(s\))
\ (p\)) ">\(1\)	\ (s\)) ">
\ (p\)) ">\(2\)	\ (s\)) ">
\ (p\)) ">\(3\)	\ (s\)) ">
\ (p\)) ">\(4\)	\ (s\)) ">
\ (p\)) ">\(5\)	\ (s\)) ">
\ (p\)) ">\(6\)	\ (s\)) ">
\ (p\)) ">\(7\)	\ (s\)) ">
\ (p\)) ">\(8\)	\ (s\)) ">
\ (p\)) ">\(9\)	\ (s\)) ">
\ (p\)) ">\(10\)	\ (s\)) ">

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Evaluar cada expresión cuando\(x\) es\(4\) y\(y\) es\(6\).

1. \((6-x)^{3}+y\)
2. \(2+x^{3}\)
3. \(2^{x}-2y\)
4. \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\)
5. \(1^{x}+2^{x}\)
6. \(\frac{2^{x}}{x^{2}}\)

(De la Unidad 6.3.4)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Encuentra\((12.34)\cdot (0.7)\). Muestra tu razonamiento.

(De la Unidad 5.3.4)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Para cada expresión, escriba otra expresión de división que tenga el mismo valor y que pueda usarse para ayudar a encontrar el cociente. Entonces, encuentra cada cociente.

1. \(302.1\div 0.5\)
2. \(12.15\div 0.02\)
3. \(1.375\div 0.11\)

(De la Unidad 5.4.5)