34.2: Dos Cantidades Relacionadas, Parte 2

Lección

Usemos ecuaciones y gráficas para describir historias con velocidad constante.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Walking to the Library

Lin y Jada caminan cada uno a un ritmo constante de la escuela a la biblioteca. Lin puede caminar 13 millas en 5 horas, y Jada puede caminar 25 millas en 10 horas. Cada uno sale de la escuela a las 3:00 y camina\(3\frac{3}{4}\) millas hasta la biblioteca. ¿A qué hora llegan cada uno?

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): The Walk-a-thon

Diego, Elena y Andre participaron en un walk-a-thon para recaudar dinero para la investigación del cáncer. Cada uno caminaba a un ritmo constante, pero sus tarifas eran diferentes.

1. Completa la mesa para mostrar hasta dónde caminó cada participante durante el walk-a-thon.

   Mesa\(\PageIndex{1}\)

   tiempo en horas	millas caminadas por Diego	millas caminadas por Elena	millas caminadas por Andre
   \(1\)
   \(2\)	\(6\)
   	\(12\)	\(11\)
   \(5\)			\(17.5\)

2. ¿Qué tan rápido fue cada participante caminando en millas por hora?
3. ¿Cuánto tiempo tardó cada participante en caminar una milla?
4. Grafica el progreso de cada persona en el plano de coordenadas. Usa un color diferente para cada participante.
5. Diego dice que eso\(d=3t\) representa su caminata, donde\(d\) está la distancia recorrida en millas y\(t\) es el tiempo en horas.
   1. Explique por qué\(d=3t\) relata la distancia que recorrió Diego con el tiempo que tomó.
   2. Escribe dos ecuaciones que relacionen distancia y tiempo: una para Elena y otra para Andre.
6. Usa las ecuaciones que escribiste para predecir hasta qué punto caminaría cada participante, a su mismo ritmo, en 8 horas.
7. Para la ecuación de Diego y las ecuaciones que escribiste, ¿cuál es la variable dependiente y cuál es la variable independiente?

¿Estás listo para más?

1. Dos trenes viajan uno hacia el otro, en vías paralelas. El Tren A se mueve a una velocidad constante de 70 millas por hora. El tren B se mueve a una velocidad constante de 50 millas por hora. Los trenes están inicialmente a 320 millas de distancia. ¿Cuánto tiempo les llevará reunirse? Una forma de empezar a pensar en este problema es hacer una mesa. Agrega tantas filas como te guste.
2. ¿Cuánto tiempo tardará un tren que viaja a 120 millas por hora para recorrer 320 millas?
3. Explique la conexión entre estos dos problemas.

Mesa\(\PageIndex{2}\)

	tren A	tren B
posición inicial	\(0\)millas	\(320\)millas
después de 1 hora	\(70\)millas	\(270\)millas
después de 2 horas

Resumen

Las ecuaciones son muy útiles para resolver problemas con velocidades constantes. Aquí hay un ejemplo.

Un barco viaja a una velocidad constante de 25 millas por hora.

1. ¿Hasta dónde puede viajar el barco en 3.25 horas?
2. ¿Cuánto tiempo tarda el barco en recorrer 60 millas?

Podemos escribir ecuaciones que nos ayuden a responder preguntas como estas.

Vamos\(t\) a usar para representar el tiempo en horas y\(d\) para representar la distancia en millas que recorre el barco.

Cuando conocemos el tiempo y queremos encontrar la distancia, podemos escribir:\(d=25t\) En esta ecuación, si\(t\) cambia,\(d\) se ve afectada por el cambio, entonces nosotros\(t\) es la variable independiente y\(d\) es la variable dependiente.

Esta ecuación puede ayudarnos a encontrar\(d\) cuando tenemos algún valor de\(t\). En\(3.25\) horas, el barco puede recorrer\(25(3.25)\) o\(81.25\) millas.

Cuando conocemos la distancia y queremos encontrar el tiempo, podemos escribir:\(t=\frac{d}{25}\) En esta ecuación, si\(d\) cambia,\(t\) se ve afectada por el cambio, entonces nosotros\(d\) es la variable independiente y\(t\) es la variable dependiente.

Esta ecuación puede ayudarnos a encontrar\(t\) cuándo para cualquier valor de\(d\). Recorrer 60 millas, tomará\(\frac{60}{25}\) u\(2\frac{2}{5}\) horas.

Estos problemas también se pueden resolver utilizando técnicas de relación importantes como una tabla de proporciones equivalentes. Las ecuaciones son particularmente valiosas en este caso porque las respuestas no son números redondos ni fáciles de evaluar rápidamente.

También podemos graficar las dos ecuaciones que escribimos para obtener una imagen visual de la relación entre las dos cantidades:

Figura\(\PageIndex{1}\): Gráfica de 10 puntos trazados en el plano de coordenadas con el origen etiquetado O. El eje t horizontal se etiqueta tiempo en horas. Se indican los números del 0 al 10, en incrementos de 2, y hay líneas verticales de rejilla a medio camino entre ellas. El eje vertical está etiquetado como distancia recorrida en millas. Se indican los números del 0 al 250, en incrementos de 25, y hay líneas de rejilla horizontales a medio camino entre ellas. Los datos son los siguientes: 1 coma 25. 2 coma 50. 3 coma 75. 4 coma 100. 5 coma 125. 6 coma 150. 7 coma 175. 8 coma 200. 9 coma 225. 10 coma 250.

Figura\(\PageIndex{2}\): Una gráfica de 10 puntos trazados en el plano de coordenadas con el origen etiquetado O. El eje d horizontal está etiquetado como distancia recorrida en millas. Se indican los números del 0 al 250, en incrementos de 25, y hay líneas verticales de rejilla a medio camino entre ellas. El eje t vertical se etiqueta tiempo en horas. Se indican los números del 0 al 10, en incrementos de 2, y hay líneas de rejilla horizontales a medio camino entre ellas. Los datos son los siguientes: 25 coma 1. 50 coma 2. 75 coma 3. 100 coma 4. 125 coma 5. 150 coma 6. 175 coma 7. 200 coma 8. 225 coma 9. 250 coma 10.

Entradas en el glosario

Definición: Plano de coordenadas

El plano de coordenadas es un sistema para indicar dónde están los puntos. Por ejemplo. punto\(R\) se encuentra en\((3,2)\) en el plano de coordenadas, ya que es de tres unidades a la derecha y dos unidades hacia arriba.

Figura\(\PageIndex{3}\)

Definición: Variable dependiente

La variable dependiente es el resultado de un cálculo.

Por ejemplo, un barco viaja a una velocidad constante de 25 millas por hora. La ecuación\(d=25t\) describe la relación entre la distancia y el tiempo de la embarcación. La variable dependiente es la distancia recorrida, pues\(d\) es el resultado de multiplicar 25 por\(t\).

Figura\(\PageIndex{4}\): Gráfica de 10 puntos trazados en el plano de coordenadas con el origen etiquetado O. El eje t horizontal se etiqueta tiempo en horas. Se indican los números del 0 al 10, en incrementos de 2, y hay líneas verticales de rejilla a medio camino entre ellas. El eje vertical está etiquetado como distancia recorrida en millas. Se indican los números del 0 al 250, en incrementos de 25, y hay líneas de rejilla horizontales a medio camino entre ellas. Los datos son los siguientes: 1 coma 25. 2 coma 50. 3 coma 75. 4 coma 100. 5 coma 125. 6 coma 150. 7 coma 175. 8 coma 200. 9 coma 225. 10 coma 250.

Definición: Variable independiente

La variable independiente se utiliza para calcular el valor de otra variable.

Por ejemplo, un barco viaja a una velocidad constante de 25 millas por hora. La ecuación\(d=25t\) describe la relación entre la distancia y el tiempo de la embarcación. La variable independiente es el tiempo, porque\(t\) se multiplica por 25 para obtener\(d\).

Figura\(\PageIndex{5}\): Gráfica de 10 puntos trazados en el plano de coordenadas con el origen etiquetado O. El eje t horizontal se etiqueta tiempo en horas. Se indican los números del 0 al 10, en incrementos de 2, y hay líneas verticales de rejilla a medio camino entre ellas. El eje vertical está etiquetado como distancia recorrida en millas. Se indican los números del 0 al 250, en incrementos de 25, y hay líneas de rejilla horizontales a medio camino entre ellas. Los datos son los siguientes: 1 coma 25. 2 coma 50. 3 coma 75. 4 coma 100. 5 coma 125. 6 coma 150. 7 coma 175. 8 coma 200. 9 coma 225. 10 coma 250.

Practica

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Un automóvil viaja por una carretera a una velocidad constante de 50 millas por hora.

1. Completa la tabla con las cantidades de tiempo que tarda el auto en recorrer ciertas distancias, o las distancias recorridas por ciertas cantidades de tiempo.
2. Escribir una ecuación que represente la distancia recorrida por el carro\(d\),, por una cantidad de tiempo,\(t\).
3. En su ecuación, ¿cuál es la variable dependiente y cuál es la variable independiente?

Mesa\(\PageIndex{3}\)

tiempo (horas)	distancia (millas)
\(2\)
\(1.5\)
\(t\)
	\(50\)
	\(300\)
	\(d\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

El gráfico representa la cantidad de tiempo en horas que tarda un barco en recorrer varias distancias en millas.

Figura\(\PageIndex{6}\): Una gráfica de 10 puntos trazados en el plano de coordenadas con el origen etiquetado O. El eje d horizontal está etiquetado como distancia recorrida en millas. Se indican los números del 0 al 250, en incrementos de 25, y hay líneas verticales de rejilla a medio camino entre ellas. El eje t vertical se etiqueta tiempo en horas. Se indican los números del 0 al 10, en incrementos de 2, y hay líneas de rejilla horizontales a medio camino entre ellas. Los datos son los siguientes: 25 coma 1. 50 coma 2. 75 coma 3. 100 coma 4. 125 coma 5. 150 coma 6. 175 coma 7. 200 coma 8. 225 coma 9. 250 coma 10.

1. Escribe las coordenadas de uno de punto en la gráfica. ¿Qué representa el punto?
2. ¿Cuál es la velocidad del barco en millas por hora?
3. Escribir una ecuación que relacione el tiempo\(t\),, toma recorrer una distancia dada,\(d\).

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Encuentre una solución a cada ecuación en la lista que sigue (no se usarán todos los números):

1. \(2^{x}=8\)
2. \(2^{x}=2\)
3. \(x^{2}=100\)
4. \(x^{2}=\frac{1}{100}\)
5. \(x^{1}=7\)
6. \(2^{x}\cdot 2^{3}=2^{7}\)
7. \(\frac{2^{x}}{2^{3}}=2^{5}\)

Lista:

\(\frac{1}{10}\qquad\frac{1}{3}\qquad 1\qquad 2\qquad 3\qquad 4\qquad 5\qquad 7\qquad 8\qquad 10\qquad 16\)

(De la Unidad 6.3.4)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Seleccione todas las expresiones que sean equivalentes a\(5x+30x-15x\).

1. \(5(x+6x-3x)\)
2. \((5+30-15)\cdot x\)
3. \(x(5+30x-15x)\)
4. \(5x(1+6-3)\)
5. \(5(x+30x-15x)\)

(De la Unidad 6.2.6)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Evaluar cada expresión si\(x\) es 1,\(y\) es 2 y\(z\) es 3.

1. \(7x^{2}-z\)
2. \((x+4)^{3}-y\)
3. \(y(x+3^{3})\)
4. \((7-y+z)^{2}\)
5. \(0.241x+x^{3}\)

(De la Unidad 6.3.4)