34.3: Más relaciones

Lección

Usemos gráficas y ecuaciones para mostrar relaciones que involucran área, volumen y exponentes.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Which One Doesn't Belong: Graphs

¿Cuál no pertenece?

Figura\(\PageIndex{1}\): Cuatro planos de coordenadas etiquetados A, B, C y D, cada uno con el origen etiquetado O. Para la gráfica A, se grafican nueve puntos y la tendencia de los puntos de datos se mueven linealmente hacia arriba y hacia la derecha, donde el primer punto comienza en el origen. Para la gráfica B, se grafican 11 puntos y la tendencia de los puntos de datos se mueven linealmente hacia abajo y hacia la derecha, donde el primer punto comienza en el eje vertical, muy por encima del origen. Para la gráfica C, se grafican 11 puntos y la tendencia de los puntos de datos se mueven en una curva que se mueve hacia arriba y hacia la derecha, donde el primer punto comienza en el eje vertical, ligeramente por encima del origen. Para la gráfica D, se grafican 11 puntos y la tendencia de los puntos de datos se mueven horizontalmente y hacia la derecha, donde el primer punto comienza en el eje vertical y ligeramente por encima del origen.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Making a Banner

Mai está creando una pancarta rectangular para anunciar la obra de teatro escolar. El material para la pancarta se vende por el pie cuadrado. Mai tiene suficiente dinero para comprar 36 pies cuadrados de material. Ella está tratando de decidir el largo y ancho de la pancarta.

1. Si la longitud es de 6 pies, ¿cuál es el ancho?
2. Si la longitud es de 4 pies, ¿cuál es el ancho?
3. Si la longitud es de 9 pies, ¿cuál es el ancho?
4. Para encontrar diferentes combinaciones de largo y ancho que den un área de 36 pies cuadrados, Mai usa la ecuación\(w=\frac{36}{l}\), donde\(w\) está el ancho y\(l\) es el largo. Compara tu estrategia y el método de Mai para encontrar el ancho. ¿Cómo eran iguales o diferentes?
5. Usa varias combinaciones de largo y ancho para crear una gráfica que muestre la relación entre las longitudes laterales de varios rectángulos con área de 36 pies cuadrados.
6. Explica cómo describe la gráfica la relación entre longitud y ancho para diferentes rectángulos con área 36.
7. Supongamos que Mai usó la ecuación\(l=\frac{36}{w}\) para encontrar la longitud para diferentes valores del ancho. ¿La gráfica sería diferente si graficara la longitud en el eje vertical y la anchura en el eje horizontal? Explique cómo sabe.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Cereal Boxes

Un fabricante de cereales necesita diseñar una caja de cereales que tenga un volumen de 225 pulgadas cúbicas y una altura que no supere las 15 pulgadas.

1. Los diseñadores saben que el volumen de un prisma rectangular se puede calcular multiplicando el área de su base y su altura. Completa la tabla con pares de valores que harán que el volumen sea 225 en ³.

   Mesa\(\PageIndex{1}\)

   altura (pulg)		\(5\)	\(9\)	\(12\)		\(7\frac{1}{2}\)
   área de base (pulg\(^{2}\))	\(75\)				\(15\)

2. Describe cómo encontraste los valores faltantes para la tabla.
3. Escribir una ecuación que muestre cómo el área de la base,\(A\), se ve afectada por los cambios en la altura\(h\),, para diferentes prismas rectangulares con volumen 225 en ³.
4. Trazar los pares ordenados de la tabla en la gráfica para mostrar la relación entre el área de la base y la altura para diferentes cajas caja con volumen 225 en ³.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\): Multiplying Mosquitoes

Un investigador que está estudiando poblaciones de mosquitos recopila los siguientes datos:

Mesa\(\PageIndex{2}\)

día en el estudio (\(d\))	número de mosquitos (\(n\))
\ (d\)) ">\(1\)	\ (n\)) ">\(2\)
\ (d\)) ">\(2\)	\ (n\)) ">\(4\)
\ (d\)) ">\(3\)	\ (n\)) ">\(8\)
\ (d\)) ">\(4\)	\ (n\)) ">\(16\)
\ (d\)) ">\(5\)	\ (n\)) ">\(32\)

1. El investigador dijo que, para estos cinco días, el número de mosquitos,\(n\), se puede encontrar con la ecuación\(n=2^{d}\) dónde\(d\) está el día en el estudio. Explique por qué esta ecuación coincide con los datos.
2. Utilice los pares ordenados en la tabla para graficar la relación entre el número de mosquitos y el día en el estudio para estos cinco días.
3. Describa la gráfica. Compare cómo los datos, la ecuación y la gráfica ilustran la relación entre el día en el estudio y el número de mosquitos.
4. Si el patrón continúa, ¿cuántos mosquitos habrá el día 6?

Resumen

Las ecuaciones pueden representar relaciones entre cantidades geométricas. Por ejemplo:

• Si\(s\) es la longitud lateral de un cuadrado, entonces el área\(A\) está relacionada con\(s\) por\(A=s^{2}\).
• A veces las relaciones son más específicas. Por ejemplo, el perímetro\(P\) de un rectángulo con largo\(l\) y ancho\(w\) es\(P=2l+2\). Si consideramos solo rectángulos con una longitud de 10, entonces la relación entre el perímetro y el ancho es\(P=20+2w\).

Aquí hay otro ejemplo de una ecuación con exponente que expresa la relación entre cantidades:

• Se cae una súper pelota desde los 10 pies. En cada rebote sucesivo, sólo va tan alto como en el rebote anterior.

Esto significa que en el primer rebote, la pelota rebotará 5 pies de altura, y luego en el segundo rebote solo irá\(2\frac{1}{2}\) pies de altura, y así sucesivamente. Podemos representar esta situación con una ecuación para encontrar qué tan alto rebotará la súper pelota después de cualquier número de rebotes.

Para saber qué tan alto rebota la súper pelota en el\(n^{\text{th}}\) rebote, tenemos que multiplicar 10 pies (la altura inicial) por\(\frac{1}{2}\) y multiplicar por de\(\frac{1}{2}\) nuevo para cada rebote a partir de entonces; tenemos que hacer esto\(n\) veces. Entonces la altura,\(h\), de la pelota en el\(n^{\text{th}}\) rebote será\(h=10\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\). En esta ecuación, la variable dependiente,\(h\), se ve afectada por cambios en la variable independiente,\(n\).

Las ecuaciones y gráficas pueden darnos una idea de diferentes tipos de relaciones entre cantidades y ayudarnos a responder preguntas y resolver problemas.

Entradas en el glosario

Definición: Plano de coordenadas

El plano de coordenadas es un sistema para indicar dónde están los puntos. Por ejemplo. punto\(R\) se encuentra en\((3,2)\) en el plano de coordenadas, ya que es de tres unidades a la derecha y dos unidades hacia arriba.

Figura\(\PageIndex{2}\)

Definición: Variable dependiente

La variable dependiente es el resultado de un cálculo.

Por ejemplo, un barco viaja a una velocidad constante de 25 millas por hora. La ecuación\(d=25t\) describe la relación entre la distancia y el tiempo de la embarcación. La variable dependiente es la distancia recorrida, pues\(d\) es el resultado de multiplicar 25 por\(t\).

Figura\(\PageIndex{3}\): Gráfica de 10 puntos trazados en el plano de coordenadas con el origen etiquetado O. El eje t horizontal se etiqueta tiempo en horas. Se indican los números del 0 al 10, en incrementos de 2, y hay líneas verticales de rejilla a medio camino entre ellas. El eje vertical está etiquetado como distancia recorrida en millas. Se indican los números del 0 al 250, en incrementos de 25, y hay líneas de rejilla horizontales a medio camino entre ellas. Los datos son los siguientes: 1 coma 25. 2 coma 50. 3 coma 75. 4 coma 100. 5 coma 125. 6 coma 150. 7 coma 175. 8 coma 200. 9 coma 225. 10 coma 250.

Definición: Variable independiente

La variable independiente se utiliza para calcular el valor de otra variable.

Por ejemplo, un barco viaja a una velocidad constante de 25 millas por hora. La ecuación\(d=25t\) describe la relación entre la distancia y el tiempo de la embarcación. La variable independiente es el tiempo, porque\(t\) se multiplica por 25 para obtener\(d\).

Figura\(\PageIndex{4}\): Gráfica de 10 puntos trazados en el plano de coordenadas con el origen etiquetado O. El eje t horizontal se etiqueta tiempo en horas. Se indican los números del 0 al 10, en incrementos de 2, y hay líneas verticales de rejilla a medio camino entre ellas. El eje vertical está etiquetado como distancia recorrida en millas. Se indican los números del 0 al 250, en incrementos de 25, y hay líneas de rejilla horizontales a medio camino entre ellas. Los datos son los siguientes: 1 coma 25. 2 coma 50. 3 coma 75. 4 coma 100. 5 coma 125. 6 coma 150. 7 coma 175. 8 coma 200. 9 coma 225. 10 coma 250.

Practica

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Elena está diseñando un logotipo en forma de paralelogramo. Ella quiere que el logo tenga un área de 12 pulgadas cuadradas. Dibuja bases de diferentes longitudes e intenta calcular la altura para cada una.

1. Escribe una ecuación que Elena puede usar para encontrar la altura,\(h\), para cada valor de la base,\(b\).
2. Usa tu ecuación para encontrar la altura de un paralelogramo con\(1.5\) pulgadas base.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Han planea andar en bicicleta 24 millas.

1. ¿Cuánto tiempo tomará si viaja a una tasa de:
   3 millas por hora?
   ¿4 millas por hora?
   ¿6 millas por hora?
2. Escribe una ecuación que Han pueda usar para encontrar\(t\), el tiempo que tomará recorrer 24 millas, si su tarifa en millas por hora está representada por\(r\).
3. En papel cuadriculado, dibuje una gráfica que se muestre\(t\) en términos de\(r\) para un viaje de 24 millas.

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

La gráfica de la ecuación\(V=10s^{3}\) contiene los puntos\((2,80)\) y\((4, 640)\).

1. Crear una historia que esté representada por esta gráfica.
2. ¿Qué significan los puntos en el contexto de tu historia?

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Encuentras una botella de latón que se ve muy vieja. Cuando frotas algo de suciedad de la botella, ¡aparece un genio! El genio te ofrece una recompensa. Debes elegir uno:

$50,000 o una moneda mágica de $1.

La moneda se convertirá en dos monedas el primer día. Las dos monedas se convertirán en cuatro monedas el segundo día. Las cuatro monedas se duplicarán a 8 monedas al tercer día. El genio explica que la duplicación continuará por 28 días.

1. Escribir una ecuación que muestre el número de monedas\(n\),, en términos del día,\(d\).
2. Crea una tabla que muestre el número de monedas por cada día durante los primeros 15 días.
3. Crea una gráfica para los días 7 al 12 que muestre cómo crece el número de monedas con cada día.

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

En un mercado, 3.1 libras de duraznos cuestan $7.72. ¿Cuánto costaron los duraznos por libra? Explica o muestra tu razonamiento. Redondee su respuesta al centavo más cercano.

(De la Unidad 5.4.5)

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Andre montó un puesto de limonada el fin de semana pasado. Le costó 0,15 dólares hacer cada taza de limonada, y vendió cada taza por 0,35 dólares.

1. Si Andre recauda $9.80, ¿cuántas tazas vendió?
2. ¿Cuánto dinero le costó a Andre hacer esta cantidad de limonada?
3. ¿Cuánto dinero obtuvo Andre en ganancias?

(De la Unidad 5.4.5)