36.7: Comparando números y distancia desde cero

Lección

Usemos el valor absoluto y los números negativos para pensar en la elevación.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Opposites

1. \(a\)es un número racional. Elija un valor para\(a\) y graficarlo en la recta numérica.

Figura\(\PageIndex{1}\)

1. 1. En función de dónde trazó\(a\), trazar\(-a\) en la misma línea numérica.
   2. ¿Cuál es el valor de lo\(-a\) que trazaste?
2. Noé dijo: “Si\(a\) es un número racional, siempre\(-a\) será un número negativo”. ¿Estás de acuerdo con Noé? Explica tu razonamiento.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Submarine

Un submarino se encuentra a una altura de -100 pies (100 pies bajo el nivel del mar). Comparemos las elevaciones de estas cuatro personas con las del submarino:

• La elevación de Clare es mayor que la elevación del submarino. Clare está más lejos del nivel del mar que el submarino.
• La elevación de Andre es menor que la elevación del submarino. Andre está más lejos del nivel del mar que el submarino.
• La elevación de Han es mayor que la elevación del submarino. Han está más cerca del nivel del mar que el submarino.
• La elevación de Lin está a la misma distancia del nivel del mar que la del submarino.

1. Complete la tabla de la siguiente manera.
   1. Escriba una posible elevación para cada persona.
   2. Utilizar\(<, >,\) o\(=\) comparar la elevación de esa persona con la del submarino.
   3. Utilice el valor absoluto para decir qué tan lejos está la persona del nivel del mar (elevación 0).
      Como ejemplo, la primera fila se ha llenado con una posible elevación para Clare.

      Mesa\(\PageIndex{1}\)

      	posible elevación	comparar con submarino	distancia desde el nivel del mar
      Clare	\(150\)pies	\(150>-100\)	\(|150|\)o\(150\) pies
      Andre
      Han
      Lin

2. Priya dice que su elevación es menor que la del submarino y que está más cerca del nivel del mar. ¿Esto es posible? Explica tu razonamiento.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Info Gap: Points on the Number Line

Tu profesor te dará ya sea una tarjeta de problema o una tarjeta de datos. No muestres ni leas tu tarjeta a tu pareja.

Si tu profesor te da la tarjeta de problemas:

1. Lee silenciosamente tu tarjeta y piensa en qué información necesitas para poder responder a la pregunta.
2. Pídele a tu pareja la información específica que necesites.
3. Explique cómo está utilizando la información para resolver el problema.
   Continúa haciendo preguntas hasta que tengas la información suficiente para resolver el problema.
4. Comparte la tarjeta de problemas y resuelve el problema de forma independiente.
5. Lee la tarjeta de datos y discute tu razonamiento.

Si tu profesor te da la tarjeta de datos:

1. Lee silenciosamente tu tarjeta.
2. Pregúntale a tu pareja “¿Qué información específica necesitas?” y esperar a que pidan información.
   Si tu pareja solicita información que no esté en la tarjeta, no hagas los cálculos por ellos. Diles que no tienes esa información.
3. Antes de compartir la información, pregunta “¿Por qué necesitas esa información? ” Escucha el razonamiento de tu pareja y haz preguntas aclaratorias.
4. Lea la tarjeta del problema y resuelva el problema de forma independiente.
5. Comparte la tarjeta de datos y discute tu razonamiento.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\): Inequality Mix and Match

Aquí hay algunos números y símbolos de desigualdad. Trabaja con tu pareja para escribir verdaderas declaraciones de comparación.

\(\begin{array}{lllllllllll}{-0.7}&{\qquad}&{-\frac{3}{5}}&{\qquad}&{1}&{\qquad}&{4}&{\qquad}&{|-8|}&{\qquad}&{<}\\{-\frac{6}{3}}&{\qquad}&{-2.5}&{\qquad}&{2.5}&{\qquad}&{8}&{\qquad}&{|0.7|}&{\qquad}&{=}\\{-4}&{\qquad}&{0}&{\qquad}&{\frac{7}{2}}&{\qquad}&{|3|}&{\qquad}&{|-\frac{5}{2}|}&{\qquad}&{>}\end{array}\)

Un socio debe seleccionar dos números y un símbolo de comparación y usarlos para escribir una declaración verdadera usando símbolos. El otro compañero debe escribir una oración en palabras con el mismo significado, usando las siguientes frases:

• es igual a
• es el valor absoluto de
• es mayor que
• es menor que

Por ejemplo, un socio podría escribir\(4<8\) y el otro escribiría, “4 es menos de 8”. Cambiar roles hasta que cada socio tenga tres afirmaciones matemáticas verdaderas y tres oraciones escritas.

¿Estás listo para más?

Para cada pregunta, elija un valor para cada variable para que toda la declaración sea verdadera. (Cuando la palabra y se usa en matemáticas, ambas partes tienen que ser verdaderas para que toda la declaración sea verdadera). ¿Se puede hacer si una variable es negativa y otra es positiva? ¿Puedes hacerlo si ambos valores son negativos?

1. \(x<y\)y\(|x|<y\).
2. \(a<b\)y\(|a|<|b|\).
3. \(c<d\)y\(|c|>d\).
4. \(t<u\)y\(|t|>|u|\).

Resumen

Podemos usar la elevación para ayudarnos a comparar dos números racionales o dos valores absolutos.

• Supongamos un ancla tiene una altitud de -10 metros y una casa tiene una altitud de 12 metros. Para describir el ancla que tiene una elevación menor que la casa, podemos escribir\(-10<12\) y decir “-10 es menos de 12”.
• El ancla está más cerca del nivel del mar que la casa al nivel del mar (o elevación de 0). Para describir esto, podemos escribir\(|-10|<|12|\) y decir “la distancia entre -10 y 0 es menor que la distancia entre 12 y 0”.

Podemos usar descripciones similares para comparar números racionales y sus valores absolutos fuera del contexto de elevación.

• Para comparar la distancia de -47.5 y 5.2 de 0, podemos decir:\(|-47.5|\) está a 47.5 unidades de distancia de 0, y\(|5.2|\) está a 5.2 unidades de distancia de 0, entonces\(|-47.5|>|5.2|\).
• \(|-18|>4\)significa que el valor absoluto de -18 es mayor que 4. Esto es cierto porque 18 es mayor que 4.

Entradas en el glosario

Definición: Valor absoluto

El valor absoluto de un número es su distancia de 0 en la recta numérica.

Figura\(\PageIndex{2}\)

El valor absoluto de -7 es 7, porque está a 7 unidades de distancia de 0. El valor absoluto de 5 es 5, porque está a 5 unidades de distancia de 0.

Definición: Número negativo

Un número negativo es un número que es menor que cero. En una recta numérica horizontal, los números negativos generalmente se muestran a la izquierda de 0.

Figura\(\PageIndex{3}\)

Definición: Opuesto

Dos números son opuestos si están a la misma distancia de 0 y en diferentes lados de la recta numérica.

Por ejemplo, 4 es lo opuesto a -4, y -4 es lo opuesto a 4. Ambos están a la misma distancia de 0. Uno es negativo, y el otro es positivo.

Figura\(\PageIndex{4}\)

Definición: Número positivo

Un número positivo es un número que es mayor que cero. En una recta numérica horizontal, los números positivos generalmente se muestran a la derecha de 0.

Figura\(\PageIndex{5}\)

Definición: Número Racional

Un número racional es una fracción o lo contrario de una fracción.

Por ejemplo, 8 y -8 son números racionales porque pueden escribirse como\(\frac{8}{1}\) y\(-\frac{8}{1}\).

Además, 0.75 y -0.75 son números racionales porque pueden escribirse como\(\frac{75}{100}\) y\(-\frac{75}{100}\).

Definición: Signo

El signo de cualquier número que no sea 0 es positivo o negativo.

Por ejemplo, el signo de 6 es positivo. El signo de -6 es negativo. Cero no tiene signo, porque no es positivo ni negativo.

Practica

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

En el contexto de la elevación, ¿qué significarían\(|-7|\) los pies?

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Coincidir los estados escritos en inglés con los enunciados matemáticos.

1. El número -4 está a una distancia de 4 unidades de distancia de 0 en la línea numérica.
2. El número -63 está a más de 4 unidades de distancia de 0 en la línea numérica.
3. El número 4 es mayor que el número -4.
4. Los números 4 y -4 están a la misma distancia de 0 en la recta numérica.
5. El número -63 es menor que el número 4.
6. El número -63 está más lejos de 0 que el número 4 en la recta numérica.

1. \(|-63|>4\)
2. \(-63<4\)
3. \(|-63|>|4|\)
4. \(|-4|=4\)
5. \(4>-4\)
6. \(|4|=|-4|\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Compara cada par de expresiones usando >, < o =.

• \(-32\underline{\quad} 15\)
• \(|-32|\underline{\quad} |15|\)
• \(5\underline{\quad} -5\)
• \(|5|\underline{\quad} |-5|\)
• \(2\underline{\quad} -17\)
• \(2\underline{\quad} |-17|\)
• \(|-27|\underline{\quad} |-45|\)
• \(|-27|\underline{\quad} -45\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Mai recibió y gastó dinero de las siguientes maneras el mes pasado. Para cada ejemplo, escriba un número firmado para representar el cambio de dinero desde su perspectiva.

1. Su abuela le dio 25 dólares en una tarjeta de cumpleaños.
2. Ella ganó $14 dólares de niñera.
3. Ella gastó $10 en una entrada para el concierto.
4. Ella donó $3 a una organización benéfica local.
5. Obtuvo 2 dólares de interés sobre el dinero que estaba en su cuenta de ahorros.

(De la Unidad 7.1.5)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Aquí están las temperaturas más bajas registradas en los últimos 2 siglos para algunas ciudades de Estados Unidos.

• Death Valley, CA fue\(-45^{\circ}\text{F}\) en enero de 1937.
• Danbury, CT fue\(-37^{\circ}\text{F}\) en febrero de 1943.
• Monticello, FL fue\(-2^{\circ}\text{F}\) en febrero de 1899.
• East Saint Louis, IL fue\(-36^{\circ}\text{F}\) en enero de 1999.
• Greenville, GA fue\(-17^{\circ}\text{F}\) en enero de 1940.

1. ¿Cuál de estos estados tiene la temperatura récord más baja?
2. ¿Qué estado tiene una temperatura récord más baja, FL o GA?
3. ¿Qué estado tiene una temperatura récord más baja, CT o IL?
4. ¿Cuántos grados más fría es la temperatura récord para GA que para FL?

(De la Unidad 7.1.1)

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Encuentra los cocientes.

1. \(0.024\div 0.015\)
2. \(0.24\div 0.015\)
3. \(0.024\div 0.15\)
4. \(24\div 15\)

(De la Unidad 5.4.5)