36.6: Valor absoluto de los números

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Lección

Exploremos más de cerca las distancias desde cero.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Number Talk: Closer to Zero

Por cada par de expresiones, decide mentalmente cuál tiene un valor que esté más cerca de 0.

\(\frac{9}{11}\)o\(\frac{15}{11}\)

\(\frac{1}{5}\)o\(\frac{1}{9}\)

\(1.25\)o\(\frac{5}{4}\)

\(0.01\)o\(0.001\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Jumping Flea

Mueve el error a un punto de partida, elige una distancia de salto y presiona el botón de salto. Es posible que tengas que acercar o alejar si tu error salta de la pantalla.

Un bicho está saltando en una recta numérica.
1. Si el error empieza en 1 y salta 4 unidades a la derecha, ¿dónde termina? ¿Qué tan lejos de 0 está esto?
2. Si el error comienza en 1 y salta 4 unidades a la izquierda, ¿dónde termina? ¿Qué tan lejos de 0 está esto?
3. Si el bicho empieza en 0 y salta 3 unidades de distancia, ¿dónde podría aterrizar?
4. Si el bicho salta 7 unidades y aterriza a 0, ¿dónde podría haber comenzado?
5. El valor absoluto de un número es la distancia a la que se encuentra desde 0. El error se encuentra actualmente a la izquierda de 0 y el valor absoluto de su ubicación es 4. ¿En qué parte de la línea del número está?
6. Si el error está a la izquierda de 0 y el valor absoluto de su ubicación es 5, ¿dónde en la recta numérica está?
7. Si el error está a la derecha de 0 y el valor absoluto de su ubicación es 2.5, ¿dónde en la recta numérica está?
Usamos la notación\(|-2|\) para decir “el valor absoluto de -2”, que significa “la distancia de -2 desde 0 en la recta numérica”.
1. ¿Qué\(|-7|\) significa y cuál es su valor?
2. ¿Qué\(|-1.8|\) significa y cuál es su valor?

Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Absolute Elevation and Temperature

Una parte de la ciudad de Nueva Orleans está a 6 pies bajo el nivel del mar. Podemos usar “-6 pies” para describir su elevación, y “\(|-6|\)pies” para describir su distancia vertical desde el nivel del mar. En el contexto de la elevación, ¿qué describiría cada uno de los siguientes números?
1. \(25\)pies
2. \(|25|\)pies
3. \(-8\)pies
4. \(|-8|\)pies
La elevación de una ciudad es diferente del nivel del mar en 10 pies. Nombra las dos elevaciones que podría tener la ciudad.
Escribimos “\(-5^{\circ}\text{C}\)” para describir una temperatura que está\(5\) grados Celsius por debajo del punto de congelación y “\(6^{\circ}\text{C}\)” para una temperatura que está\(5\) grados por encima del punto de congelación. En este contexto, ¿qué describe cada uno de los siguientes números?
1. \(1^{\circ}\text{C}\)
2. \(-4^{\circ}\text{C}\)
3. \(|12|^{\circ}\text{C}\)
4. \(|-7|^{\circ}\text{C}\)
1. ¿Qué temperatura es más fría:\(-6^{\circ}\text{C}\) o\(3^{\circ}\text{C}\)?
2. ¿Qué temperatura está más cerca de la temperatura de congelación:\(-6^{\circ}\text{C}\) o\(3^{\circ}\text{C}\)?
3. ¿Qué temperatura tiene un valor absoluto menor? Explica cómo sabes.
¿Estás listo para más?

Resumen

Comparamos los números comparando sus posiciones en la recta numérica: el que está más lejos a la derecha es mayor; el que está más lejos a la izquierda es menor.

A veces deseamos comparar cuál está más cerca o más lejos de 0. Por ejemplo, es posible que queramos saber qué tan lejos está la temperatura del punto de congelación de\(0^{\circ}\text{C}\), independientemente de que esté por encima o por debajo del punto de congelación.

El valor absoluto de un número nos dice su distancia de 0.

El valor absoluto de -4 es 4, porque -4 es 4 unidades a la izquierda de 0. El valor absoluto de 4 también es 4, porque 4 es 4 unidades a la derecha de 0. Los opuestos siempre tienen el mismo valor absoluto porque ambos tienen la misma distancia de 0.

La distancia de 0 a sí mismo es 0, por lo que el valor absoluto de 0 es 0. Cero es el único número cuya distancia a 0 es 0. Para todos los demás valores absolutos, siempre hay dos números, uno positivo y otro negativo, que tienen esa distancia de 0.

Para decir “el valor absoluto de 4”, escribimos:\(|4|\)

Para decir que “el valor absoluto de -8 es 8”, escribimos:\(|-8|=|8|\)

Entradas en el glosario

Definición: Valor Absoluto

El valor absoluto de un número es su distancia de 0 en la recta numérica.

El valor absoluto de -7 es 7, porque está a 7 unidades de distancia de 0. El valor absoluto de 5 es 5, porque está a 5 unidades de distancia de 0.

Definición: Número negativo

Un número negativo es un número que es menor que cero. En una recta numérica horizontal, los números negativos generalmente se muestran a la izquierda de 0.

Definición: Opuesto

Dos números son opuestos si están a la misma distancia de 0 y en diferentes lados de la recta numérica.

Por ejemplo, 4 es lo opuesto a -4, y -4 es lo opuesto a 4. Ambos están a la misma distancia de 0. Uno es negativo, y el otro es positivo.

Definición: Número Positivo

Un número positivo es un número que es mayor que cero. En una recta numérica horizontal, los números positivos generalmente se muestran a la derecha de 0.

Definición: Número Racional

Un número racional es una fracción o lo contrario de una fracción.

Por ejemplo, 8 y -8 son números racionales porque pueden escribirse como\(\frac{8}{1}\) y\(-\frac{8}{1}\).

Además, 0.75 y -0.75 son números racionales porque pueden escribirse como\(\frac{75}{100}\) y\(-\frac{75}{100}\).

Definición: Signo

El signo de cualquier número que no sea 0 es positivo o negativo.

Por ejemplo, el signo de 6 es positivo. El signo de -6 es negativo. Cero no tiene signo, porque no es positivo ni negativo.

Practica

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

En la recta numérica, trazar y etiquetar todos los números con un valor absoluto de\(\frac{3}{2}\).

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

La temperatura al amanecer está\(6^{\circ}\text{C}\) lejos de 0. Seleccione todas las temperaturas que sean posibles.

\(-12^{\circ}\text{C}\)
\(-6^{\circ}\text{C}\)
\(0^{\circ}\text{C}\)
\(6^{\circ}\text{C}\)
\(12^{\circ}\text{C}\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Poner estos números en orden, de menor a mayor.

\(|-2.7|\qquad 0\qquad 1.3\qquad |-1|\qquad 2\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

La familia de Lin necesita viajar 325 millas para llegar a la casa de su abuela.

A 26 millas, ¿qué porcentaje de la distancia del viaje han completado?
¿Qué tan lejos han recorrido cuando han completado el 72% de la distancia del viaje?
A 377 millas, ¿qué porcentaje de la distancia del viaje han completado?

(De la Unidad 5.4.3)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Elena dona algo de dinero a la caridad cada vez que gana dinero como niñera. En la tabla se muestra cuánto dinero\(d\),, dona por diferentes cantidades de dinero\(m\),, que gana.

Mesa\(\PageIndex{1}\)
\(d\)	\(4.44\)	\(1.80\)	\(3.12\)	\(3.60\)	\(2.16\)
\(m\)	\(37\)	\(15\)	\(26\)	\(30\)	\(18\)

¿Qué porcentaje de sus ingresos dona Elena a la caridad? Explique o muestre su trabajo.
¿Cuál cantidad,\(m\) o\(d\), sería la mejor opción para la variable dependiente en una ecuación que describa la relación entre\(m\) y\(d\)? Explica tu razonamiento.
Usa tu elección de la segunda pregunta para escribir una ecuación que relacione\(m\) y\(d\).

(De la Unidad 6.4.1)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

¿Cuántas veces mayor es el primer número del par que el segundo?

\(3^{4}\)es _____ veces mayor que\(3^{3}\).
\(5^{3}\)es _____ veces mayor que\(5^{2}\).
\(7^{10}\)es _____ veces mayor que\(7^{8}\).
\(17^{6}\)es _____ veces mayor que\(17^{4}\).
\(5^{10}\)es _____ veces mayor que\(5^{4}\).

(De la Unidad 6.3.1)