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39.1: Factores comunes

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    Lección

    Usemos factores para resolver problemas.

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Figures Made of Squares

    ¿Cómo son iguales los pares de figuras? ¿En qué se diferencian?

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    Figura\(\PageIndex{1}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Diego's Bake Sale

    Diego está preparando brownies y galletas para una venta de productos horneados. Le gustaría hacer bolsas de igual tamaño para vender todos los 48 brownies y 64 galletas que tiene. Organiza tu respuesta a cada pregunta para que pueda ser seguida por otras.

    1. ¿Cómo puede Diego empacar los 48 brownies para que cada bolsa tenga el mismo número de ellos? ¿Cuántas bolsas puede hacer y cuántos brownies habrá en cada bolsa? Encuentra todas las formas posibles de empaquetar los brownies.
    2. ¿Cómo puede Diego empacar todas las 64 galletas para que cada bolsa tenga el mismo número de ellas? ¿Cuántas bolsas puede hacer y cuántas galletas habrá en cada bolsa? Encuentra todas las formas posibles de empaquetar las cookies.
    3. ¿Cómo puede Diego empacar los 48 brownies y 64 galletas para que cada bolsa tenga la misma combinación de artículos? ¿Cuántas bolsas puede hacer y cuántas de cada una habrá en cada bolsa? Encuentra todas las formas posibles de empaquetar ambos artículos.
    4. ¿Cuál es el mayor número de bolsas combinadas que Diego puede hacer sin sobra? Explícale a tu pareja cómo sabes que es la mayor cantidad posible de bolsas.

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Greatest Common Factor

    1. El mayor factor común de 30 y 18 es 6. ¿Qué opinas que significa el término “mayor factor común”?
    2. Encuentra todos los factores de 21 y 6. Después, identificar el mayor factor común de 21 y 6.
    3. Encuentra todos los factores de 28 y 12. Después, identificar el mayor factor común de 28 y 12.
    4. Un tablón de anuncios rectangular mide 12 pulgadas de alto y 27 pulgadas de ancho. Elena planea cubrirlo con cuadrados de papel de colores que sean todos del mismo tamaño. Los cuadrados de papel vienen en diferentes tamaños; todos ellos tienen pulgadas de número entero para sus longitudes laterales.
      1. ¿Cuál es la longitud lateral de la plaza más grande que Elena podría usar para cubrir completamente el tablón de anuncios sin huecos y solapamientos? Explica o muestra tu razonamiento.
      2. ¿Cómo se relaciona la solución a este problema con mayor factor común?

    ¿Estás listo para más?

    Una escuela cuenta con 1,000 taquillas, todas alineadas en un pasillo. Cada casillero está cerrado. Entonces...

    • Un estudiante baja por el pasillo y abre cada casillero.
    • Un segundo alumno baja por el pasillo y cierra cada segundo casillero: taquillas 2, 4, 6, y así sucesivamente.
    • Un tercer alumno baja por el pasillo y cambia cada tercer casillero. Si un casillero está abierto, él lo cierra. Si una taquilla está cerrada, la abre.
    • Un cuarto alumno baja por el pasillo y cambia cada cuarto casillero.

    ¡Este proceso continúa hasta el milésimo alumno! Al finalizar el proceso, ¿qué casilleros estarán abiertos? (Pista: es posible que desee probar este problema con un número menor de casilleros primero).

    Resumen

    Un factor de un número entero\(n\) es un número entero que se divide\(n\) uniformemente sin un resto. Por ejemplo, 1, 2, 3, 4, 6 y 12 son todos factores de 12 porque cada uno de ellos divide 12 de manera uniforme y sin un resto.

    Un factor común de dos números enteros es un factor que tienen en común. Por ejemplo, 1, 3, 5 y 15 son factores de 45; también son factores de 60. Llamamos a 1, 3, 5 y 15 factores comunes de 45 y 60.

    El mayor factor común (a veces escrito como GCF) de dos números enteros es el mayor de todos los factores comunes. Por ejemplo, 15 es el mayor factor común para 45 y 60.

    Una forma de encontrar el mayor factor común de dos números enteros es enumerar todos los factores para cada uno, y luego buscar el factor más grande que tienen en común. Tratemos de encontrar el mayor factor común de 18 y 24. Primero, enumeramos todos los factores de cada número.

    • Factores de 18: 1, 2, 3, 6, 9,18
    • Factores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

    Los factores comunes son 1, 2, 3 y 6. De estos, 6 es el mayor, por lo que 6 es el mayor factor común de 18 y 24.

    Entradas en el glosario

    Definición: Factor común

    Un factor común de dos números es un número que se divide uniformemente en ambos números. Por ejemplo, 5 es un factor común de 15 y 20, porque\(15\div 5=3\) y\(20\div 5=4\). Ambos cocientes, 3 y 4, son números enteros.

    • Los factores de 15 son 1, 3, 5 y 15.
    • Los factores de 20 son 1, 2, 4, 5, 10 y 20.

    Definición: Factor común más grande

    El mayor factor común de dos números es el número más grande que divide uniformemente en ambos números. A veces a esto lo llamamos el GCF. Por ejemplo, 15 es el mayor factor común de 45 y 60.

    • Los factores de 45 son 1, 3, 5, 9, 15 y 45.
    • Los factores de 60 son 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60.

    Practica

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Un maestro está haciendo bolsas de regalo. Cada bolsa se va a llenar con lápices y pegatinas. El profesor tiene 24 lápices y 36 pegatinas para usar. Cada bolsa tendrá el mismo número de cada artículo, sin artículos sobrantes. Por ejemplo, podría hacer 2 bolsas con 12 lápices y 18 pegatinas cada una.

    ¿Cuáles son las otras posibilidades? Explica o muestra tu razonamiento.

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    1. Listar todos los factores de 42.
    2. ¿Cuál es el mayor factor común de 42 y 15?
    3. ¿Cuál es el mayor factor común de 42 y 50?

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Un coro escolar cuenta con 90 estudiantes de sexto grado y 75 estudiantes de séptimo grado. El director musical quiere hacer grupos de intérpretes, con la misma combinación de alumnos de sexto y séptimo grado en cada grupo. Ella quiere formar tantos grupos como sea posible.

    1. ¿Cuál es el mayor número de grupos que se podrían formar? Explica o muestra tu razonamiento.
    2. Si se forman tantos grupos, ¿cuántos alumnos de cada nivel de grado habría en cada grupo?

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Aquí hay algunas transacciones bancarias de una cuenta bancaria la semana pasada. ¿Qué transacciones representan valores negativos?

    Lunes: $650 cheque depositado

    Martes: retiro de $40 del cajero automático en la gasolinera

    Miércoles: $20 de crédito por mercancía devuelta

    Jueves: $125 deducidos por cargos de celulares

    Viernes: cheque de $45 escrito para pagar el pedido de libro

    Sábado: retiro de $80 por dinero para gastos de fin de semana

    Domingo: $10 de recompensa de devolución de efectivo depositada de una compañía de tarjetas de crédito

    (De la Unidad 7.3.3)

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    Encuentra los cocientes.

    1. \(\frac{1}{7}\div\frac{1}{8}\)
    2. \(\frac{12}{5}\div\frac{6}{5}\)
    3. \(\frac{1}{10}\div 10\)
    4. \(\frac{9}{10}\div\frac{10}{9}\)

    (De la Unidad 4.3.2)

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    Un elefante puede viajar a una velocidad constante de 25 millas por hora, mientras que una jirafa puede viajar a una velocidad constante de 16 millas\(\frac{1}{2}\) por hora.

    1. ¿Qué animal corre más rápido? Explica tu razonamiento.
    2. ¿Hasta dónde puede correr cada animal en 3 horas?

    (De la Unidad 2.3.4)

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