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39.3: Uso de múltiplos comunes y factores comunes

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    Lección

    Usemos factores comunes y múltiples comunes para resolver problemas.

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Keeping a Steady Beat

    Tu profesor te dará instrucciones para jugar un juego de ritmo. Mientras juegas el juego, piensa en estas preguntas:

    • ¿Cuándo sucederán los dos sonidos al mismo tiempo?
    • ¿Cómo se relaciona este juego con factores comunes o múltiplos comunes?

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Factors and Multiples

    Trabaja con tu pareja para resolver los siguientes problemas.

    1. Fiesta. Elena está comprando tazas y platos para su fiesta. Las tazas se venden en paquetes de 8 y los platos se venden en paquetes de 6. Ella quiere tener el mismo número de platos y tazas.
      1. Encuentra una serie de platos y tazas que cumplan con sus requisitos.
      2. ¿Cuántos paquetes de cada abasto necesitará comprar para obtener ese número?
      3. Nombra otras dos cantidades de platos y tazas que pueda llegar a cumplir con su requerimiento.
    2. Azulejos. El dueño de un restaurante está reemplazando el piso del baño del restaurante con azulejos cuadrados. Las baldosas se colocarán una al lado de la otra para cubrir todo el baño sin huecos, y ninguna de las baldosas se puede cortar. El piso es un rectángulo que mide 24 pies por 18 pies.
      1. ¿Cuál es el tamaño de baldosa más grande posible que podría usar? Escribe la longitud lateral en pies. Explica cómo sabes que es el azulejo más grande posible.
      2. ¿Cuántas de estas baldosas de mayor tamaño se necesitan?
      3. Nombra más tamaños de baldosas que sean un número entero de pies que podría usar para cubrir el piso del baño. Escribe las longitudes laterales (en pies) de las baldosas cuadradas.
    3. Pegatinas. Para celebrar el primer día de primavera, Lin está poniendo calcomanías en algunos de los 100 casilleros a lo largo de un lado del pasillo de su secundaria. Ella pone una pegatina de patineta en cada 4to casillero (comenzando con el casillero 4) y una pegatina de cometa en cada 5to casillero (comenzando con el casill
      1. Nombra tres casilleros que obtendrán ambas pegatinas.
      2. Después de que Lin se dirija por el pasillo, ¿el casillero número 30 no tendrá pegatinas, 1 pegatina o 2 pegatinas? Explique cómo sabe.
    4. Kits. El enfermero escolar está armando botiquines de primeros auxilios para los maestros. Tiene 75 vendajes y 90 rombos para la garganta. Todos los kits deben tener el mismo número de cada suministro, y todos los suministros deben ser utilizados.
      1. ¿Cuál es el mayor número de kits que puede hacer la enfermera?
      2. ¿Cuántos vendajes y rombos habrá en cada kit?
    5. ¿Qué tipo de trabajo matemático estuvo involucrado en cada uno de los problemas anteriores? Ponga una marca de verificación para mostrar de qué se trataban las preguntas.
    problema encontrar múltiplos encontrar mínimo común múltiplo factores de búsqueda encontrar el mayor factor común
    Fiesta
    Azulejos
    Pegatinas
    Kits
    Mesa\(\PageIndex{1}\)

    ¿Estás listo para más?

    Probablemente sepas dibujar una estrella de cinco puntas sin levantar tu lápiz. Una forma de hacerlo es comenzar con cinco puntos dispuestos en círculo, luego conectar cada segundo punto.

    clipboard_ec08492bb8d20cde2631fb16525ff7cac.png
    Figura\(\PageIndex{1}\)

    Si intentas lo mismo con seis puntos dispuestos en círculo, tendrás que levantar tu lápiz. Una vez que hagas el primer triángulo, tendrás que encontrar un punto vacío y comenzar de nuevo el proceso. Tu estrella de seis puntas tiene dos piezas que son dibujadas cada una sin levantar el lápiz.

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    Figura\(\PageIndex{2}\)

    Con doce puntos dispuestos en círculo, podemos hacer algunas estrellas de doce puntas.

    1. Comienza con un punto y conecta cada segundo punto, como si estuvieras dibujando una estrella de cinco puntas. ¿Se puede dibujar la estrella de doce puntas sin levantar el lápiz? Si no, ¿cuántas piezas tiene la estrella de doce puntas?
    clipboard_e59fbb87e137f8ad50e485164554ad329.png
    Figura\(\PageIndex{3}\)
    1. Esta vez, conecta cada tercer punto. ¿Puedes dibujar esta estrella de doce puntas sin levantar el lápiz? Si no, ¿cuántas piezas obtienes?
    clipboard_e41cdbfcfa84b8ac56d1e1bdf6d0952fe.png
    Figura\(\PageIndex{4}\)
    1. ¿Qué crees que pasará si conectas cada cuarto punto? Pruébalo. ¿Cuántas piezas obtienes?
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    Figura\(\PageIndex{5}\)
    1. ¿Crees que hay alguna manera de dibujar una estrella de doce puntas sin levantar tu lápiz? Pruébalo.
    clipboard_eea7876036e94ed3e339d0b727eed9c5e.png
    Figura\(\PageIndex{6}\)
    1. Ahora investiga estrellas de ocho puntas, estrellas de nueve puntas y estrellas de diez puntas. ¿Qué patrones notas?

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\): More Factors and Multiples

    Aquí hay cinco problemas más. Lee y discute cada uno con tu grupo. Sin resolver, predecir si cada problema implica encontrar múltiplos comunes o encontrar factores comunes. Encierra en un círculo una o más opciones para mostrar tu predicción.

    1. Fútbol. Diego y Andre están ambos en una liga de fútbol de verano. Durante el mes de agosto, Diego tiene un juego cada 3 días, a partir del 3 de agosto, y Andre tiene un juego cada 4 días, a partir del 4 de agosto.
    • múltiplos comunes
    • mínimo común múltiplo
    • factores comunes
    • mayor factor común
    1. ¿Cuál es la primera cita en la que ambos chicos tendrán un juego?
    2. ¿Cuántos de sus juegos caen en la misma fecha?
    1. Actuaciones. Durante un festival de artes escénicas, los alumnos de las escuelas primarias y medias se agruparán para diversas actuaciones. Hay 32 alumnos de primaria y 40 estudiantes de secundaria. El director de artes quiere grupos idénticos para las representaciones, con alumnos de ambas escuelas en cada grupo. Cada alumno puede formar parte de un solo grupo.
    • múltiplos comunes
    • mínimo común múltiplo
    • factores comunes
    • mayor factor común
    1. Nombra todas las agrupaciones posibles.
    2. ¿Cuál es el mayor número de grupos que se pueden formar? ¿Cuántos alumnos de primaria y cuántos alumnos de secundaria habrá en cada grupo?
    1. Luces. Hay una cadena de luces navideñas con luces rojas, doradas y azules. Las luces rojas están ajustadas para parpadear cada 12 segundos, las luces doradas están ajustadas para parpadear cada 8 segundos y las luces azules están ajustadas para parpadear cada 6 segundos. Las luces están encendidas en un temporizador automático que comienza cada día a las 7:00 p.m. y se detiene a medianoche.
    • múltiplos comunes
    • mínimo común múltiplo
    • factores comunes
    • mayor factor común
    1. ¿Después de cuánto tiempo con las 3 luces parpadean exactamente al mismo tiempo?
    2. ¿Cuántas veces en total sucederá esto en un día?
    1. Banners. Noé tiene dos piezas de tela. Está haciendo pancartas cuadradas para que los estudiantes las sostengan durante el juego del día inaugural. Una pieza de tela mide 72 pulgadas de ancho. El otro mide 90 pulgadas de ancho. Él quiere usar toda la tela, y cada pancarta cuadrada debe ser de igual ancho y lo más ancho posible.
    • múltiplos comunes
    • mínimo común múltiplo
    • factores comunes
    • mayor factor común
    1. ¿Qué tan ancho debería cortar las pancartas?
    2. ¿Cuántas pancartas puede cortar?
    1. Bailarines. En el recital de baile de Elena su actuación comienza con una línea de 48 bailarines que actúan en la oscuridad con una luz negra que ilumina la ropa blanca. Los 48 bailarines entran al escenario en línea recta. Cada tercer bailarín lleva una diadema blanca, cada quinto bailarín lleva un cinturón blanco y cada noveno bailarín usa un conjunto de guantes blancos.
    • múltiplos comunes
    • mínimo común múltiplo
    • factores comunes
    • mayor factor común
    1. Si Elena es la bailarina número 30, ¿qué accesorios usará?
    2. ¿Alguno de los bailarines usará los 3 accesorios? Si es así, ¿cuál (es)?
    3. ¿Cuántos de cada accesorio necesitará ordenar el profesor de baile?
    1. Tu profesor le asignará un problema a tu grupo. Trabaja con tu grupo para resolver el problema. Muestra tu razonamiento. Haz una pausa aquí para que tu profesor pueda revisar tu trabajo.
    2. Trabaje con su grupo para crear una pantalla visual que incluya un diagrama, una ecuación y una palabra de vocabulario matemático que ayude a explicar su pensamiento matemático mientras resuelve el problema.
    3. Preparar una breve presentación en la que participen todos los integrantes del grupo. Su presentación debe incluir: el problema (leer en voz alta), la predicción de su grupo de qué concepto matemático involucró el problema y una explicación de cada paso del proceso de resolución.

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\): Factors and Multiples Bingo

    Tu profesor te explicará las indicaciones para un juego de bingo. Aquí hay algunas cosas a tener en cuenta:

    • Comparte una tabla de bingo y algunas fichas de bingo con un compañero.
    • Para jugar el juego, tu profesor leerá declaraciones en voz alta. Pueden ayudarse unos a otros a decidir qué números se ajustan a cada enunciado, pero hablen solo en un susurro. Si el maestro escucha algo por encima de un susurro, estás fuera.
    • La primera persona que llame al bingo necesita llamar a cada número e identificar la declaración a la que corresponde. Si hay un error en la identificación de declaraciones, ese jugador está fuera y la ronda continúa.

    ¡Buena suerte y diviértete!

    Resumen

    Si un problema requiere dividir dos números enteros por el mismo número entero, resolverlo implica buscar un factor común. Si requiere encontrar el mayor número que pueda dividirse en los dos números enteros, estamos buscando el mayor factor común.

    Supongamos que tenemos 12 bagels y 18 magdalenas y queremos hacer bolsas para que cada bolsa tenga la misma combinación de bagels y magdalenas. Los factores comunes de 12 y 18 nos indican la posible cantidad de bolsas que se pueden hacer.

    Los factores comunes de 18 son 1, 2, 3 y 6. Para estos números de bolsas, aquí está el número de bagels y magdalenas por bolsa.

    • 1 bolsa: 12 panecillos y 18 magdalenas
    • 2 bolsas: 6 bagels y 9 magdalenas
    • 3 bolsas: 4 bagels y 6 magdalenas
    • 6 bolsas: 2 bagels y 3 magdalenas

    Podemos ver que el mayor número de bolsas que se pueden hacer, 6, es el mayor factor común.

    Si un problema requiere encontrar un número que sea un múltiplo de dos números dados, resolverlo implica buscar un múltiplo común. Si requiere encontrar la primera instancia los dos números comparten un múltiplo, estamos buscando el múltiplo menos común.

    Supongamos que los tenedores se venden en cajas de 9 y las cucharas se venden en cajas de 15, y queremos comprar un número igual de cada uno. Los múltiplos de 9 nos dicen cuántos tenedores podríamos comprar, y los múltiplos de 15 nos dicen cuántas cucharas podríamos comprar, como se muestra aquí.

    • Horquillas: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 90.
    • Cucharas: 15, 30, 45, 60, 75, 90.

    Si queremos tantos tenedores como cucharas, nuestras opciones son 45, 90, 135, y así sucesivamente, pero el menor número de utensilios que podríamos comprar es 45, el mínimo común múltiplo. Esto significa comprar 5 cajas de tenedores (\(5\cdot 9=45\)) y 3 cajas de cucharas (\(3\cdot 15=45\)).

    Entradas en el glosario

    Definición: Factor común

    Un factor común de dos números es un número que se divide uniformemente en ambos números. Por ejemplo, 5 es un factor común de 15 y 20, porque\(15\div 5=3\) y\(20\div 5=4\). Ambos cocientes, 3 y 4, son números enteros.

    • Los factores de 15 son 1, 3, 5 y 15.
    • Los factores de 20 son 1, 2, 4, 5, 10 y 20.

    Definición: Múltiple común

    Un múltiplo común de dos números es un producto que puedes obtener multiplicando cada uno de los dos números por algún número entero. Por ejemplo, 30 es un múltiplo común de 3 y 5, porque\(3\cdot 10=30\) y\(5\cdot 6=30\). Ambos factores, 10 y 6, son números enteros.

    • Los múltiplos de 3 son 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33.
    • Los múltiplos de 5 son 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

    Los múltiplos comunes de 3 y 5 son 15, 30, 45, 60.

    Definición: Factor común más grande

    El mayor factor común de dos números es el número más grande que divide uniformemente en ambos números. A veces a esto lo llamamos el GCF. Por ejemplo, 15 es el mayor factor común de 45 y 60.

    • Los factores de 45 son 1, 3, 5, 9, 15 y 45.
    • Los factores de 60 son 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60.

    Definición: Mínimo Común Múltiple

    El múltiplo menos común de dos números es el producto más pequeño que puedes obtener multiplicando cada uno de los dos números por algún número entero. A veces a esto lo llamamos el LCM. Por ejemplo, 30 es el múltiplo menos común de 6 y 10.

    • Los múltiplos de 6 son 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60.
    • Los múltiplos de 10 son 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80.

    Practica

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Mai, Clare y Noah están haciendo carteles para anunciar el baile escolar. A Mai le toma 6 minutos completar una señal, Clare tarda 8 minutos en completar una señal y a Noé le toma 5 minutos completar una señal. Siguen trabajando a la misma tarifa durante media hora.

    1. ¿Mai y Clare completarán una señal al mismo tiempo? Explica tu razonamiento.
    2. ¿Mai y Noé completarán una señal al mismo tiempo? Explica tu razonamiento.
    3. ¿Clare y Noé completarán una señal al mismo tiempo? Explica tu razonamiento.
    4. ¿Los tres alumnos completarán un letrero al mismo tiempo? Explica tu razonamiento.

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Diego tiene 48 galletas con chispas de chocolate, 64 galletas de vainilla y 100 galletas de pasas para una venta de pasteles. Quiere hacer bolsas que tengan los tres sabores de galletas y el mismo número de cada sabor por bolsa.

    1. ¿Cuántas bolsas puede hacer sin que le sobren galletas?
    2. Encuentra la otra solución a este problema.

    (De la Unidad 7.4.1)

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    1. Encuentra el producto de 12 y 8.
    2. Encuentra el mayor factor común de 12 y 8.
    3. Encuentra el múltiplo menos común de 12 y 8.
    4. Encuentra el producto del mayor factor común y el mínimo común múltiplo de 12 y 8.
    5. ¿Qué notas sobre las respuestas a la pregunta 1 y a la pregunta 4?
    6. Elige otros 2 números y repite los pasos anteriores. ¿Obtienes los mismos resultados?

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    1. Dado el punto\((5.5,-7)\), nombra un segundo punto para que los dos puntos formen un segmento vertical. ¿Cuál es la longitud del segmento?
    2. Dado el punto\((3,3.5)\), nombra un segundo punto para que los dos puntos formen un segmento horizontal. ¿Cuál es la longitud del segmento?

    (De la Unidad 7.3.1)

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    Encuentra mentalmente el valor de cada expresión.

    1. \(\frac{1}{2}\cdot 37-\frac{1}{2}\cdot 7\)
    2. \(3.5\cdot 40+3.5\cdot 60\)
    3. \(999\cdot 5\)

    (De la Unidad 6.2.4)

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