3: Secuencia y serie
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Probablemente hayas aprendido sobre los polinomios de Taylor 1 y, en particular, que
\ begin {alinear*} e^x &= 1 + x +\ frac {x^2} {2!} +\ frac {x^3} {3!} +\ cdots +\ frac {x^n} {n!} +E_N (x)\ final {alinear*}
donde\(E_n(x)\) se introduce el error cuando aproximas\(e^x\) por su polinomio Taylor de grado\(n\text{.}\) Puede que incluso hayas visto una fórmula para Ahora\(E_n(x)\text{.}\) vamos a preguntar ¿qué pasa como\(n\) va al infinito? ¿El error va a cero, dando una fórmula exacta para Después\(e^x\text{?}\) veremos que lo hace y que
\ begin {alinear*} e^x &=1 + x +\ frac {x^2} {2!} +\ frac {x^3} {3!} +\ cdots =\ suma_ {n=0} ^\ infty\ frac {x^n} {n!} \ end {alinear*}
En este punto no hemos definido, ni desarrollado ningún entendimiento de, esta suma infinita. ¿Cómo calculamos la suma de un número infinito de términos? En efecto, ¿cuándo tiene sentido una suma de un número infinito de términos? Claramente necesitamos construir bases para tratar estas ideas. En el camino veremos también otras funciones para las cuales obedece el error correspondiente\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}E_n(x)=0\) para algunos valores de\(x\) y no para otros valores de\(x\text{.}\)
Para motivar la siguiente sección, considere usar la fórmula anterior con\(x=1\) para calcular el número\(e\text{:}\)
\ begin {alinear*} e &= 1 + 1 +\ frac {1} {2!} +\ frac {1} {3!} +\ cdots =\ suma_ {n=0} ^\ infty\ frac {1} {n!} \ end {alinear*}
Como señalamos anteriormente, aún no entendemos qué hacer con este número infinito de términos, pero podríamos intentar acercarnos sigilosamente pensando en lo que sucede a medida que tomamos más y más términos.
\ begin {align*}\ text {1 término}\ phantom {s} && 1&=1\\\ text {2 términos} && 1+1&=2\\\ text {3 términos} && 1+1+\ frac {1} {2} &=2.5\\ texto {4 términos} && 1+1+\ frac {1} {2} +\ frac {1} {6} &=2.666666\ puntos\\ texto {5 términos} && 1+1+\ frac {1} {2} +\ frac {1} {6} +\ frac {1} {24} &=2.708333\ puntos\\\ texto {6 términos} && 1+1+\ frac {1} {2} +\ frac {1} {6} +\ frac {1} {24} +\ frac {1} {120} &=2.716666\ dots\ end {align*}
Al observar la suma infinita de esta manera, obtenemos naturalmente una secuencia de números
\ begin {reunir*}\ {\ 1\,,\ ,2\,,,\ ,2.5\,,\ ,2.666666\,,,\ cdots,\ ,2.708333\,,\ cdots,\, 2.716666\,,\ cdots,\,\ cdots\\,\ cdots\\}. \ end {reunir*}
La clave para entender la suma infinita original es entender el comportamiento de esta secuencia de números —en particular, ¿qué hacen los números a medida que vamos más y más allá? ¿Se asienta 2 a un límite dado?
- Ahora sería un excelente momento para leer rápidamente tus notas sobre el tema.
- Notarás una gran similitud entre los resultados de la siguiente sección y “límites al infinito” que se cubrió el último término.
- 3.1: Secuencias
- Una secuencia es una lista de infinitamente muchos números con un orden especificado.
- 3.2: Serie
- Una serie es una suma de infinitamente muchos términos. Ya tienes mucha experiencia con las series, aunque quizá no te des cuenta. Cuando escribes un número usando su expansión decimal realmente lo estás expresando como una serie. Quizás el ejemplo más simple de esto es la expansión decimal de 1/3=0.333333...
- 3.3: Pruebas de Convergencia
- Es muy común encontrar series para las que es difícil, o incluso prácticamente imposible, determinar exactamente la suma.
- 3.4: Convergencia Absoluta y Condicional
- Ahora hemos visto ejemplos de series que convergen y de series que divergen. Pero en realidad no hemos discutido cuán robusta es la convergencia de series —es decir, podemos ajustar los coeficientes de alguna manera mientras dejamos la convergencia sin cambios.
- 3.5: Serie Power
- Volvamos a la serie geométrica simple
- 3.6: Serie Taylor
- Los polinomios de Taylor proporcionan una jerarquía de aproximaciones a una función dada f (x) cerca de un punto a dado. Normalmente, la calidad de estas aproximaciones mejora a medida que avanzamos en la jerarquía.
- 3.7: Opcional — Números racionales e irracionales
- En esta sección opcional utilizaremos técnicas de serie para mirar un poco la racionalidad y la irracionalidad de los números reales. Veremos los siguientes resultados.