1.9: (Opcional) — Demostrando la Aritmética de Límites

Quizás el teorema más útil de este capítulo es el Teorema 1.4.3 que muestra cómo los límites interactúan con la aritmética. En esta sección (opcional) probaremos tanto la aritmética de límites Teorema 1.4.3 como el Teorema de Squeeze 1.4.18. Antes de llegar a las pruebas es muy útil probar tres lemmas técnicos que necesitaremos. El primero es un resultado muy general sobre los valores absolutos de los números:

Lema 1.9.1 La desigualdad del triángulo

Para cualquier\(x,y \in \mathbb{R}\)

\ begin {align*} |x+y| &\ leq |x| + |y|\ end {align*}

Comprobante.

Observe que para cualquier número real siempre\(x\text{,}\) tenemos\(-x,x\le|x|\) y ya sea\(|x|=x\) o\(|x|=-x\text{.}\) Así que ahora vamos\(x,y \in \mathbb{R}\text{.}\) Entonces debemos tener ya sea

\ begin {alinear*} |x+y|&= x+y &&\ le |x|+|y|\\\ end {alinear*}

o

\ begin {alinear*} |x+y|&= -x-y &&\ le |x|+|y|\ end {alinear*}

En ambos casos terminamos con\(|x+y| \le |x| + |y|\text{.}\)

El segundo lema es más especializado. Prueba que si tenemos una función\(f(x) \to F\) como\(x \to a\) entonces debe haber una pequeña ventana alrededor\(x=a\) donde la función solo\(f(x)\) debe tomar valores no muy lejos de\(F\text{.}\) En particular nos dice que\(|f(x)|\) no puede ser más grande que\(|F|+1\) cuando\(x\) está muy cerca de \(a\text{.}\)

Lema 1.9.2

Dejar\(a \in \mathbb{R}\) y dejar que\(f\) sea una función para que\(\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) =F\text{.}\) Entonces exista una\(\delta \gt 0\) para que si\(0 \lt |x-a| \lt \delta\) entonces también tenemos\(|f(x)| \leq |F|+1\text{.}\)

La prueba es principalmente solo manipular la\(\epsilon\)\(\delta\) definición de un límite con\(\epsilon=1\text{.}\)

Comprobante.

Vamos\(\epsilon = 1\text{.}\) Entonces ya que\(f(x) \to F\) como\(x \to a\text{,}\) existe\(\delta \gt 0\) para que cuando también\(0 \lt |x-a| \lt \delta\text{,}\) tenemos\(|f(x)-F| \leq \epsilon=1\text{.}\) Así que ahora asumamos\(0 \lt |x-a| \lt \delta\text{.}\) Entonces

\ begin {align*} -\ epsilon &\ leq f (x) - F\ leq\ epsilon &\ text {reorganizar un poco}\\ -\ épsilon+F &\ leq f (x)\ leq\ épsilon+F\\\ end {alinear*}

Ahora\(\epsilon+F \leq \epsilon+|F|\) y\(-\epsilon+F \geq -\epsilon-|F|\text{,}\) así

\ begin {align*} -\ épsilon-|f| &\ leq f (x)\ leq\ épsilon+|f|\ end {align*}

De ahí que tengamos\(|f(x)| \leq \epsilon+|F| = |F|+1\text{.}\)

Finalmente nuestro tercer lema técnico nos da un límite en la otra dirección; nos dice que cuando\(x\) está cerca\(a\text{,}\) del valor de\(|f(x)|\) no puede ser mucho menor que\(|F|\text{.}\)

Lema 1.9.3

Dejar\(a \in \mathbb{R}\)\(F\ne0\) y dejar\(f\) ser una función para que\(\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = F\text{.}\)\(\delta \gt 0\) Entonces exista para que cuando\(0 \lt |x-a| \lt \delta\text{,}\) tengamos\(|f(x)| \gt \frac{|F|}{2}\text{.}\)

Comprobante.

Set\(\epsilon = \frac{|F|}{2} \gt 0\text{.}\) Ya que\(f(x) \to F\text{,}\) sabemos que existe una\(\delta \gt 0\) para que cuando\(0 \lt |x-a| \lt \delta\) tengamos\(|f(x)-F| \lt \epsilon\text{.}\) Así que ahora asumamos\(0 \lt |x-a| \lt \delta\) para que\(|f(x)-F| \lt \epsilon = \frac{|F|}{2}\text{.}\) Entonces

\ begin {align*} |F| &= |F-f (x) +f (x) | &\ text {truco furtivo}\\ &\ leq |f (x) - F| + |f (x) | &\ text {pero $|f (x) -F|\ lt\ épsilon$}\\ &\ lt\ épsilon + |f (x) |\ end align{ *}

De ahí\(|f(x)| \gt |F|-\epsilon= \frac{|F|}{2}\) que se requiera.

Ahora estamos en condiciones de probar el Teorema 1.4.3. La prueba tiene más pasos que las\(\epsilon-\delta\) pruebas anteriores que hemos visto. Esto se debe principalmente a que no tenemos funciones específicas\(f(x)\)\(g(x)\) y en su lugar debemos jugar con ellas en abstracto —y hacer buen uso de la definición formal de límites.

Vamos a romper la prueba en tres pedazos. El mínimo que se requiere es acreditar que

\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a} (f (x) + g (x)) &= F+G\\\ lim_ {x\ a} f (x)\ cdot g (x) &= F\ cdot G\\ lim_ {x\ a}\ frac {1} {g (x)} &=\ frac {1} {G}\ quad\ texto {si} G\ ne 0. \ end {alinear*}

A partir de estos tres podemos demostrar que

\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a} f (x)\ cdot c &= F\ cdot c\\\ lim_ {x\ a} (f (x) - g (x)) &= F-G\\ lim_ {x\ a un}\ frac {f (x)} {g (x)} &=\ frac {F} {G}\ quad\ texto {si} G\ ne 0. \ end {alinear*}

El primero sigue configurando\(g(x) = c\) y usando\(\lim f(x) \cdot g(x)\text{.}\) El segundo sigue configurando\(c=-1\text{,}\) poniendo\(h(x) = (-1)\cdot g(x)\) y luego aplicando ambos\(\lim f(x) \cdot g(x)\) y\(\lim f(x)+g(x)\text{.}\) El tercero sigue configurando\(h(x) = \frac{1}{g(x)}\) y luego usando\(\lim f(x) \cdot h(x)\text{.}\)

Empezando por la adición, para satisfacer la definición de límite, vamos a tener que demostrar que

\ begin {align*} | (f (x) + g (x)) - (F+G) | &\ text {es pequeño}\ end {align*}

cuando sabemos que\(|f(x)-F|, |g(x)-G|\) son pequeños. Para ello utilizamos el triángulo de desigualdad anterior mostrando que

\ begin {alinear*} | (f (x) + g (x)) - (F+G) | &= | (f (x) -F) + (g (x) -G) |\ leq |f (x) -F| + |g (x) -G|\ end {align*}

Esta es la pieza técnica clave de la prueba. Entonces, si queremos que el LHS de lo anterior sea de tamaño\(\epsilon\text{,}\) necesitamos asegurarnos de que cada término en el RHS sea de tamaño\(\frac{\epsilon}{2}\text{.}\) El resto de la prueba es establecer hechos basados en la definición de límites y luego reordenar los hechos para llegar a la conclusión.

Comprobante.

Prueba de Teorema 1.4.3 — límite de una suma.

Dejemos\(a \in \mathbb{R}\) y supongamos que

\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a} f (x) &= F &\ text {y} &&\ lim_ {x\ a} g (x) &= G.\ end {alinear*}

Deseamos demostrar que

\ begin {align*}\ lim_ {x\ a} f (x) +g (x) &= F+G.\ end {align*}

Vamos\(\epsilon \gt 0\) — tenemos que encontrar un\(\delta \gt 0\) modo que cuando\(|x-a| \lt \delta\) tenemos\(|(f(x)+g(x))-(F+G)| \lt \epsilon\text{.}\)

Dejar\(\epsilon \gt 0\) y establecer\(\epsilon_1 = \epsilon_2 = \frac{\epsilon}{2}\text{.}\) Por la definición de límites, porque\(f(x) \to F\) existen algunos\(\delta_1 \gt 0\) para que siempre que también\(|x-a| \lt \delta_1\text{,}\) tengamos\(|f(x)-F| \lt \epsilon_1\text{.}\) De manera similar existe\(\delta_2 \gt 0\) para que si\(|x-a| \lt \delta_2\text{,}\) entonces debemos tener\(|g(x)-G| \lt \epsilon_2\text{.}\) Así que ahora elegir\(\delta = \min\{ \delta_1, \delta_2 \}\) y asumir\(|x-a| \lt \delta\text{.}\) Entonces debemos tener eso\(|x-a| \lt \delta_1, \delta_2\) y así también tenemos

\ begin {alinear*} |f (x) -F|&\ lt\ epsilon_1 & |g (x) -G|&\ lt\ épsilon_2\ end {align*}

Ahora considere\(|(f(x)+g(x))-(F+G)|\) y reorganice los términos:

\ begin {alinear*} | (f (x) +g (x)) - (F+G) | &= | (f (x) -F) + (g (x) -G) |\\\ end {align*}

ahora aplica la desigualdad triangular

\ begin {align*} &\ leq |f (x) -F| + |g (x) -G| &\ text {use hechos de arriba}\\ &\ lt\ epsilon_1 +\ epsilon_2\\ &=\ épsilon. \ end {alinear*}

De ahí que hayamos demostrado que para cualquiera\(\epsilon \gt 0\) existe alguna para\(\delta \gt 0\) que cuando también\(|x-a| \lt \delta\) tenemos\(|(f(x)+g(x))-(F+G)| \lt \epsilon\text{.}\) Cuál es exactamente la definición formal del límite que necesitábamos probar.

Hagamos de manera similar por el límite de un producto. Algunos de los detalles de la prueba son muy similares, pero hay un pequeño truco técnico en el medio para que funcione. En particular tenemos que demostrar que

\ begin {align*} |f (x)\ cdot g (x) - F\ cdot G| &\ text {es pequeño}\ end {align*}

cuando sabemos eso\(|f(x)-F|\) y ambos\(|g(x)-G|\) son pequeños. Observe que

\ begin {alinear*} f (x)\ cdot g (x) - F\ cdot G &= f (x)\ cdot g (x) - F\ cdot G +\ underbrackets {f (x)\ cdot G - f (x)\ cdot G} _ {=0}\\ &= f (x)\ cdot g (x) - f (x)\ cdot G + f (x)\ cdot G - F\ cdot G\\ &= f (x)\ cdot (g (x) -G) + (f (x) -F)\ cdot G\ final {alinear*}

Entonces, si sabemos que\(|f(x)-F|\) es pequeño y\(|g(x)-G|\) es pequeño entonces ya terminamos —salvo que también necesitamos saber que\(f(x)\) no se vuelve muy grande cerca\(a\) — esta es exactamente la razón por la que necesitábamos probar Lemma 1.9.2.

Como fue el caso en la prueba anterior, queremos que el LHS sea de tamaño como máximo\(\epsilon\text{,}\) así que queremos, por ejemplo, que los dos términos en el RHS sean de tamaño como máximo\(\frac{\epsilon}{2}\text{.}\) Esto significa

• tenemos que\(|G|\cdot|f(x)-F|\) ser de tamaño como máximo\(\frac{\epsilon}{2}\text{,}\) y
• necesitamos\(|g(x)-G|\) ser de tamaño como máximo\(\frac{\epsilon}{2(|F|+1)}\) ya que sabemos que\(|f(x)| \leq |F|+1\) cuando\(x\) está cerca de\(a\text{.}\)

Armados con estos trucos volvemos a las pruebas.

Comprobante.

Prueba de Teorema 1.4.3 — límite de un producto.

Dejemos\(a \in \mathbb{R}\) y supongamos que

\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a} f (x) &= F &\ text {y} &&\ lim_ {x\ a} g (x) &= G.\ end {alinear*}

Deseamos demostrar que

\ begin {align*}\ lim_ {x\ a} f (x)\ cdot g (x) &= F\ cdot G.\ end {align*}

Dejemos\(\epsilon \gt 0\text{.}\) Set\(\epsilon_1 = \frac{\epsilon}{2(|G|+1)}\) (el extra\(+1\) en el denominador está justo ahí para asegurarnos de que\(\epsilon_1\) esté bien definido aunque sea\(G=0\)), y\(\epsilon_2 = \frac{\epsilon}{2(|F|+1)}\text{.}\) a partir de esto establecemos la existencia de la\(\delta_1, \delta_2, \delta_3\) que necesitamos a continuación.

• Por suposición\(f(x) \to F\)\(\delta_1 \gt 0\) así existe para que siempre que también\(|x-a| \lt \delta_1\text{,}\) tengamos\(|f(x)-F| \lt \epsilon_1\text{.}\)
• Del mismo modo porque\(g(x) \to G\text{,}\) existe\(\delta_2 \gt 0\) para que siempre que también\(|x-a| \lt \delta_2\text{,}\) tengamos\(|g(x)-G| \lt \epsilon_2\text{.}\)
• Por Lemma 1.9.2 existe\(\delta_3 \gt 0\) para que siempre que también\(|x-a| \lt \delta_3\text{,}\) tengamos\(|f(x)| \leq |F|+1\text{.}\)

\(\delta = \min\{\delta_1, \delta_2, \delta_3 \}\text{,}\)Supongamos\(|x-a| \lt \delta\) y consideremos\(|f(x) \cdot g(x) - F\cdot G|\text{.}\) Reorganizar los términos como lo hicimos anteriormente:

\ begin {alinear*} | f (x)\ cdot g (x) - F\ cdot G | &= |f (x)\ cdot (g (x) -G) + (f (x) -F)\ cdot G |\\ &\ leq |f (x) |\ cdot |g (x) -G| + |G|\ cdot |f (x) -FF |\ end {align*}

Por nuestros tres puntos-puntos anteriores sabemos eso\(|f(x)-F| \lt \epsilon_1\)\(|g(x)-G| \lt \epsilon_2\) y y\(|f(x)| \leq |F|+1\text{,}\) así tenemos

\ begin {alinear*} | f (x)\ cdot g (x) - F\ cdot G | &\ lt |f (x) |\ cdot\ epsilon_2 + |G|\ cdot\ epsilon_1\\\ end {align*}

sub en\(\epsilon_1,\epsilon_2\) y encuadernado\(f(x)\)

\ begin {align*} &\ lt (|F|+1)\ cdot\ frac {\ épsilon} {2 (|F|+1)} + |G|\ cdot\ frac {\ épsilon} {2 (|G|+1)}\\ &\ leq\ frac {\ épsilon} {2} +\ frac {\ épsilon} {2} = épsilon. \ end {alinear*}

Así hemos demostrado que para cualquiera\(\epsilon \gt 0\) existe para\(\delta \gt 0\) que cuando también\(|x-a| \lt \delta\) tengamos\(|f(x)\cdot g(x)-F\cdot G| \lt \epsilon\text{.}\) De ahí\(f(x)\cdot g(x) \to F\cdot G\text{.}\)

Finalmente podemos probar el límite de un recíproco. Observe que

\ begin {alinear*}\ frac {1} {g (x)} -\ frac {1} {G} &=\ frac {g-G (x)} {g (x)\ cdot G}\ end {alinear*}

Necesitamos mostrar que el LHS es de tamaño como máximo\(\epsilon\) cuando\(x\) está lo suficientemente cerca para\(a\text{,}\) así que si\(G-g(x)\) es pequeño hemos terminado, excepto si\(g(x)\) o\(G\) están cerca de cero. Por suposición (retroceder y leer Teorema 1.4.3) tenemos\(G \neq 0\text{,}\) y sabemos por Lema 1.9.3 que\(|g(x)|\) no puede ser menor que\(\frac{|G|}{2}\text{.}\) Juntos estos implican que el denominador en el RHS no puede ser cero y de hecho debe ser de magnitud al menos\(\frac{|G|^2}{2}\text{.}\) Así necesitamos\(|G-g(x)|\) ser de tamaño en la mayoría\(\epsilon \cdot \frac{|G|^2}{2}\text{.}\)

Comprobante.

Prueba de Teorema 1.4.3 — límite de un recíproco.

Vamos\(\epsilon \gt 0\) y\(\epsilon_1 = \epsilon|G|^2 \cdot \frac{1}{2}\text{.}\) establecemos Ahora usamos esto y Lema 1.9.3 para establecer la existencia de\(\delta_1, \delta_2\text{.}\)

• Ya que\(g(x) \to G\) sabemos que existe\(\delta_1 \gt 0\) para que cuando también\(|x-a| \lt \delta_1\) tengamos\(|g(x)-G| \lt \epsilon_1\text{.}\)
• Por Lema 1.9.3 existe\(\delta_2\) para que cuando también\(|x-a| \lt \delta_2\) tenemos\(|g(x)| \gt \frac{|G|}{2}\text{.}\) Equivalentemente, cuando también\(|x-a| \lt \delta_2\) tenemos\(\left|\frac{G}{2g(x)}\right| \lt 1\text{.}\)

Establecer\(\delta = \min\{\delta_1,\delta_2\}\) y asumir\(|x-a| \lt \delta\text{.}\) Entonces

\ begin {alinear*}\ izquierda|\ frac {1} {g (x)} -\ frac {1} {G}\ derecha| &=\ izquierda|\ frac {G - g (x)} {g (x)\ cdot G}\ derecha|\\ &= |g (x) - G|\ cdot\ frac {1} {|G|\ cdot |cdot g (x) |} &\ text {por suposición}\\ &\ lt\ frac {\ epsilon_1} {|G|\ cdot |g (x) |} &\ text {sub en $\ épsilon_1$}\\ & =\ épsilon\ cdot\ frac {|G|} {2 |g ( x) |} &\ texto {desde $\ izquierda|\ frac {G} {2g (x)}\ derecha|\ lt 1$}\\ &\ lt\ epsilon\ end {align*}

Así hemos demostrado que para cualquiera\(\epsilon \gt 0\) existe para\(\delta \gt 0\) que cuando también\(|x-a| \lt \delta\) tengamos\(|\frac{1}{g(x)} - \frac{1}{G}| \lt \epsilon\text{.}\) De ahí\(\frac{1}{g(x)} \to \frac{1}{G}\text{.}\)

Ahora también podemos probar el teorema de Squeeze/sandwich/pinch.

Comprobante.

Prueba de Teorema 1.4.18 — Squeeze/sandwich/pinch.

En el teorema squeeze, se nos dan tres funciones\(f(x)\text{,}\)\(g(x)\) y\(h(x)\) y se nos dice que

\ begin {align*} f (x)\ leq g (x)\ leq h (x)\ quad\ text {y}\ quad\ lim_ {x\ a} f (x) &=\ lim_ {x\ a} h (x) = L\ end {align*}

y debemos concluir de esto que\(\lim\limits_{x \to a} g(x) = L\) también. Es decir, nos dan algunos fijos, pero no especificados,\(\epsilon \gt 0\) y nos toca a nosotros encontrar una\(\delta \gt 0\) con la propiedad que\(\left| g(x) - L \right| \lt \epsilon\) siempre\(|x-a| \lt \delta\text{.}\) Ahora porque nos han dicho eso\(f\) y\(h\) ambos convergen para\(L\text{,}\) existir\(\delta_1 \gt 0\) y\(\delta_2 \gt 0\) tal que

• \(\left| f(x) - L \right| \lt \epsilon\text{,}\)es decir,\(L-\epsilon \lt f(x) \lt L+\epsilon\text{,}\) cuando\(|x-a| \lt \delta_1\text{,}\) y
• \(\left| h(x) - L \right| \lt \epsilon\text{,}\)es decir,\(L-\epsilon \lt h(x) \lt L+\epsilon\text{,}\) siempre que\(|x-a| \lt \delta_2\)

Así que establece\(\delta = \min\{\delta_1,\delta_2\}\) y asume\(|x-a| \lt \delta\text{.}\) Entonces ambos\(L-\epsilon \lt f(x) \lt L+\epsilon\) y\(L-\epsilon \lt h(x) \lt L+\epsilon\) para que

\ begin {align*} L-\ épsilon\ lt f (x) &\ le g (x)\ le h (x)\ lt L+\ épsilon &\ text {lo que implica que}\\ L-\ épsilon\ lt & g (x)\ lt L+\ épsilon &\ text {que a su vez nos da}\\ &\ izquierda| g (x) - L\ derecha|\ lt\ épsilon\ end {align*}

según se desee.