3.2: Tarifas Relacionadas
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Considera el siguiente problema
Un globo esférico se infla a una velocidad de\(13cm^3/sec\text{.}\) ¿Qué tan rápido cambia el radio cuando el globo tiene radio?\(15cm\text{?}\)
Hay varios datos en el comunicado:
- El globo es esférico
- El volumen está cambiando a una tasa de\(13cm^3/sec\) — por lo que necesitamos variables para volumen (in\(cm^3\)) y time (in\(sec\)). Las buenas opciones son\(V\) y\(t\text{.}\)
- Se nos pide la velocidad a la que está cambiando el radio, por lo que necesitamos una variable para el radio y las unidades. Una buena elección se\(r\text{,}\) mide en\(cm\) — ya que el volumen se mide en\(cm^3\text{.}\)
Ya que el globo es una esfera sabemos 1 que
\ begin {align*} V &=\ frac {4} {3}\ pi r^3\ end {alinear*}
Ya que tanto el volumen como el radio están cambiando con el tiempo, ambos\(V\) y\(r\) son implícitamente funciones del tiempo; realmente podríamos escribir
\ begin {alinear*} V (t) &=\ frac {4} {3}\ pi r (t) ^3. \ end {align*}
Se nos dice la velocidad a la que está cambiando el volumen y necesitamos encontrar la velocidad a la que está cambiando el radio. Es decir, a partir de un conocimiento de\(\dfrac{dV}{dt}\text{,}\) encontrar la tasa relacionada 2\(\dfrac{dr}{dt}\text{.}\)
En este caso, solo podemos diferenciar nuestra ecuación por\(t\) para obtener
\ begin {align*}\ dfrac {dV} {dt} &= 4\ pi r^2\ dfrac {dr} {dt}\\\ end {align*}
Esto puede entonces ser reorganizado para dar
\ begin {align*}\ dfrac {dr} {dt} &=\ frac {1} {4\ pi r^2}\ dfrac {dV} {dt}. \ end {align*}
Ahora nos dijeron que\(\dfrac{dV}{dt} = 13\text{,}\) así
\ begin {align*}\ dfrac {dr} {dt} &=\ frac {13} {4\ pi r^2}. \ end {align*}
También nos dijeron que el radio es\(15cm\text{,}\) así en ese momento en el tiempo
\ begin {align*}\ dfrac {dr} {dt} &=\ frac {13} {\ pi 4\ times 15^2}. \ end {align*}
Este es un ejemplo muy típico de un problema de tarifas relacionado. Esta sección es realmente solo una colección de problemas, pero todos seguirán un patrón similar.
- El enunciado del problema te dirá las cantidades que deben estar relacionadas (por encima estaba el volumen, el radio y, implícitamente, el tiempo).
- Normalmente un poco de geometría (o alguna física o...) te permitirá relacionar estas cantidades (arriba estaba la fórmula que vincula el volumen de una esfera a su radio).
- La diferenciación implícita le permitirá entonces vincular la tasa de cambio de una cantidad a otra.
Otro ejemplo de globo
Considera que un globo de helio se eleva verticalmente desde un punto fijo a 200 metros de distancia de ti. Estás tratando de averiguar qué tan rápido está subiendo. Ahora — calcular la velocidad directamente es difícil, pero puedes medir ángulos. Se observa que cuando está en un ángulo de\(\pi/4\) su ángulo está cambiando en\(0.05\) radianes por segundo.
- Comience dibujando una imagen con las variables relevantes
- Así denotan el ángulo a ser\(\theta\) (en radianes), la altura del globo (en m) por\(h\) y el tiempo (en segundos) por\(t\text{.}\) Entonces la trigonometría nos dice
\ start {alinear*} h &= 200\ cdot\ tan\ theta\ end {alinear*}
- Diferenciar nos permite relacionar las tasas de cambio
\ begin {align*}\ dfrac {dh} {dt} &= 200\ seg^2\ theta\ cdot\ dfrac {d\ theta} {dt}\ end {align*}
- Se nos dice que cuando\(\theta =\pi/4\)\(\dfrac{d\theta}{dt} = 0.05\text{,}\) observamos
\ begin {align*}\ dfrac {dh} {dt} &= 200\ cdot\ seg^2 (\ pi/4)\ cdot 0.05\\ &= 200\ cdot 0.05\ cdot\ cdot\ izquierda (\ sqrt {2}\ derecha) ^2\\ &= 200\ cdot\ frac {5} {100}\ cdot 2\\ &= 20 m/s\ end {align*}
- Por lo que el globo está subiendo a una velocidad de 20m/s.
El siguiente problema es quizás el clásico problema de tarifas relacionadas.
Una escalera de 5m está apoyada contra una pared. El piso es bastante resbaladizo y la base de la escalera se desliza hacia afuera de la pared a un ritmo de\(1m/s\text{.}\) ¿Qué tan rápido se desliza la parte superior de la escalera por la pared cuando la base de la escalera está a 3m de la pared?
- Un buen primer paso es dibujar un cuadro indicando todas las cantidades relevantes. Esto también nos ayudará a definir variables y unidades.
- Entonces ahora definimos\(x(t)\) que sea la distancia entre el fondo de la escalera y la pared, a la vez\(t\text{,}\) y dejar que\(y(t)\) sea la distancia entre la parte superior de la escalera y el suelo a la vez\(t\text{.}\) Medir el tiempo en segundos, pero ambas distancias en metros.
- Podemos relacionar las cantidades usando Pitágoras:
\ begin {align*} x^2 + y^2 &= 5^2\ end {align*}
- Diferenciando con respecto al tiempo luego da
\ begin {align*} 2x\ dfrac {dx} {dt} + 2y\ dfrac {dy} {dt} &= 0\ end {align*}
- Eso lo sabemos\(\dfrac{dx}{dt} = 1\) y\(x=3\text{,}\) así
\ begin {align*} 6\ cdot 1 + 2y\ dfrac {dy} {dt} &= 0\ end {align*}
pero hay que determinar\(y\) antes de que podamos ir más allá. Agradecidamente sabemos eso\(x^2+y^2=25\) y\(x=3\text{,}\) así\(y^2=25-9=16\) y 3 tan\(y=4\text{.}\) - Así que finalmente armando todo
\ begin {align*} 6\ cdot 1 + 8\ dfrac {dy} {dt} &= 0\\\ dfrac {dy} {dt} &= -\ frac {3} {4} m/s.\ end {align*}
Así, la parte superior de la escalera se desliza hacia el piso a una velocidad de\(\frac{3}{4} m/s\text{.}\)
El siguiente ejemplo se complica porque las tasas de cambio se declaran no sólo como “la tasa de cambio por unidad de tiempo” sino que se establecen como “la tasa porcentual de cambio por unidad de tiempo”. Si una cantidad\(f\) está cambiando con la tasa\(\dfrac{df}{dt}\text{,}\) entonces podemos decir que
\(f\)está cambiando a una tasa de\(\displaystyle 100 \cdot \frac{\dfrac{df}{dt}}{f}\) porcentaje.
Así si, en el momento\(t\text{,}\)\(f\) tiene tasa de cambio\(r\%\text{,}\) entonces
\ begin {reunir*} 100\ frac {f' (t)} {f (t)} =r\ implica f' (t) =\ frac {r} {100} f (t)\ end {reunir*}
para que si\(h\) es un incremento de tiempo muy pequeño
\ begin {reunir*}\ frac {f (t+h) - f (t)} {h}\ approx\ frac {r} {100} f (t)\ implica f (t+h)\ approx f (t) +\ frac {rh} {100} f (t)\ end {reunir*}
Es decir, en un intervalo de tiempo muy pequeño\(h\text{,}\)\(f\) aumenta por la fracción\(\frac{rh}{100}\) de su valor en el tiempo\(t\text{.}\)
Entonces armados con esto, veamos el problema.
Las cantidades\(P,\ Q\) y\(R\) son funciones del tiempo y están relacionadas por la ecuación\(R=PQ\text{.}\) Supongamos que\(P\) está aumentando instantáneamente a la tasa de\(8\%\) por año (es decir que\(100\frac{P'}{P}=8\)) y que\(Q\) está disminuyendo instantáneamente a la tasa de\(2\%\) por año ( lo que significa que\(100\frac{Q'}{Q}=-2\)). Determinar la tasa porcentual de cambio para\(R\text{.}\)
Solución Esta es un poco diferente — se nos dan las variables y la fórmula, por lo que no se requiere dibujo o definición de imagen. Aunque sí necesitamos definir una variable de tiempo,\(t\) denotemos el tiempo en años.
- Ya\(R(t) = P(t)\cdot Q(t)\) que podemos diferenciar con respecto\(t\) a conseguir
\ begin {align*}\ dfrac {dR} {dt} &= P Q' + Q P'\ end {alinear*}
- Pero necesitamos el cambio porcentual\(R\text{,}\) en
\ begin {alinear*} 100\ frac {R'} {R} &= 100\ frac {PQ' +QP'} {R}\\\ end {alinear*}
pero\(R = PQ\text{,}\) así reescribirlo como
\ begin {align*} &= 100\ frac {PQ' +QP'} {PQ}\\ &= 100\ frac {PQ'} {PQ} + 100\ frac {QP'} {PQ}\\ &= 100\ frac {Q'} {Q} + 100\ frac {P'} {P}\ end {align*} así que hemos declarado el tasa porcentual instantánea de cambio en\(R\) como la suma de la tasa porcentual de cambio en\(P\) y\(Q\text{.}\) - Conocemos la tasa porcentual de cambio de\(P\) y\(Q\text{,}\) así
\ begin {align*} 100\ frac {R'} {R} &= -2 + 8 =6\ end {alinear*}
Es decir, la tasa porcentual instantánea de cambio de\(R\) es de 6\(\%\) por año.
Otro ejemplo más de objeto que cae.
Se deja caer una pelota desde una altura de\(49\) m sobre el nivel del suelo. La altura de la pelota en el momento\(t\) es\(h(t)=49-4.9 t^2\) m. Una luz, que también está\(49\) m sobre el suelo, está a\(10\) m a la izquierda de la posición original de la pelota. A medida que la pelota desciende, la sombra de la pelota causada por la luz se mueve por el suelo. ¿Qué tan rápido se mueve la sombra un segundo después de que se cae la pelota?
Solución Está pasando bastante en este ejemplo, así que lea atentamente.
- Primero un diagrama; el de abajo es quizás un poco por encima.
- Llamemos a\(s(t)\) la distancia desde la sombra hasta el punto en el suelo directamente debajo de la pelota.
- Por triángulos similares vemos que
\ begin {reunir*}\ frac {4.9 t^2} {10} =\ frac {49-4.9 t^2} {s (t)}\ end {reunir*}
Entonces podemos resolver\(s(t)\) por solo multiplicar ambos lados por\(\frac{10}{4.9 t^2}s(t)\text{.}\) Esto da\ begin {reunir*} s (t) =10\ frac {49-4.9 t^2} {4.9 t^2} =\ frac {100} {t^2} -10\ end {reunir*}
- Diferenciar con respecto a nos\(t\) dará entonces las tarifas,
\ begin {reunir*} s' (t) =-2\ frac {100} {t^3}\ end {reunir*}
- Entonces, a\(t=1\text{,}\)\(s'(1)=-200\) m/seg. Es decir, la sombra se mueve hacia la izquierda a\(200\) m/seg.
Un ejemplo más náutico.
Dos barcos se ven entre sí en el océano al mediodía — El barco\(A\) está a 15 km al oeste de Boat\(B\text{.}\) Boat\(A\) viaja hacia el este a 3 km/h y el barco\(B\) viaja hacia el norte a 4 km/h. A las 3 pm qué tan rápido cambia la distancia entre los barcos.
- Primero dibujamos un cuadro.
- Dejar\(x(t)\) ser la distancia en el tiempo\(t\text{,}\) en km, de la embarcación\(A\) a la posición original de la embarcación\(B\) (es decir, a la posición de barco\(B\) al mediodía). Y que\(y(t)\) sea la distancia en el tiempo\(t\text{,}\) en km, de barco\(B\) desde su posición original. Y que\(z(t)\) sea la distancia entre las dos embarcaciones a la vez\(t\text{.}\)
- Adicionalmente se nos dice eso\(x'=-3\) y\(y'=4\) —notemos que\(x' \lt 0\) ya que esa distancia se va reduciendo con el tiempo, mientras que\(y' \gt 0\) desde esa distancia va aumentando con el tiempo.
- Además en\(3pm\) barco\(A\) ha viajado 9km hacia la posición original de la embarcación\(B\text{,}\) así que\(x=15-9 = 6\text{,}\) mientras que la embarcación\(B\) ha viajado 12km lejos de su posición original, por lo\(y=12\text{.}\)
- Las distancias\(x,y\) y\(z\) forman un triángulo en ángulo recto, y Pitágoras nos dice que
\ begin {align*} z^2 &= x^2 + y^2. \ end {align*}
A las 3 pm\(x=6,y=12\) lo sabemos\ begin {align*} z^2 &= 36 + 144 = 180\\ z&=\ sqrt {180} = 6\ sqrt {5}. \ end {align*}
- Diferenciando luego da
\ begin {align*} 2z\ dfrac {dz} {dt} &= 2x\ dfrac {dx} {dt} + 2y\ dfrac {dy} {dt}\\ &= 12\ cdot (-3) + 24\ cdot (4)\\ &= 60.\\\ end {align*}
Dividiendo por\(2z = 12\sqrt{5}\) entonces da
\ begin {align*}\ dfrac {dz} {dt} &=\ frac {60} {12\ sqrt {5}} =\ frac {5} {\ sqrt {5}} =\ sqrt {5}\ end {align*} Así que la distancia entre las embarcaciones está aumentando en\(\sqrt{5} km/h\text{.}\)
Una última antes de pasar a otro tema.
Considera un tanque de combustible cilíndrico de radio\(r\) y longitud\(L\) (en algunas unidades apropiadas) que esté acostado de costado. Supongamos que se está bombeando combustible al tanque a una velocidad ¿\(q\text{.}\)A qué velocidad está subiendo el nivel de combustible?
Solución Si el tanque fuera vertical todo sería mucho más fácil. Desafortunadamente el tanque está de su lado, así que vamos a tener que trabajar un poco más duro para establecer la relación entre la profundidad y el volumen. También observe que no se nos han suministrado unidades para este problema, por lo que no necesitamos indicar las unidades de nuestras variables.
- Nuevamente — dibuja un cuadro. Aquí hay una vista de extremo del tanque; la parte sombreada del círculo está llena de combustible.
- Denotemos por\(V(t)\) el volumen de combustible en el tanque en el momento\(t\) y por\(h(t)\) el nivel de combustible en el momento\(t\text{.}\)
- Se nos ha dicho eso\(V'(t)=q\) y se nos ha pedido determinar\(h'(t)\text{.}\) Si bien es posible hacerlo encontrando una fórmula relativa\(V(t)\) y\(h(t)\text{,}\) resulta ser bastante más fácil encontrar primero una fórmula relativa\(V\) y el ángulo que\(\theta\) se muestra en la vista final. Luego podemos traducir esto de nuevo en una fórmula en términos de\(h\) usar la relación
\ begin {alinear*} h (t) &= r - r\ cos\ theta (t). \ end {align*}
Una vez que\(\theta'(t)\text{,}\) sabemos podemos obtener fácilmente\(h'(t)\) diferenciando la ecuación anterior. - El cálculo que sigue a continuación se involucra un poco en lugares, por lo que dejaremos caer el “\((t)\)” en las variables\(V,h\) y\(\theta\text{.}\) El lector nunca debe olvidar que estas tres cantidades son realmente funciones del tiempo, mientras\(r\) y\(L\) son constantes que no dependen del tiempo.
- El volumen de combustible es\(L\) multiplicado por el área transversal que llena el combustible. Es decir,
\(V =\)\(L \times\)Área de
Si bien no tenemos una fórmula enlatada para el área de un acorde de un círculo como este, es fácil expresar el área del acorde en términos de dos áreas que podemos calcular.
\(V\)\(= L\times\text{Area of}\)
\(= L\times\bigg[ \text{Area of}\)
- Área de
\(\bigg]\) - El trozo de pastel
es la fracción\(\tfrac{2\theta}{2\pi}\) del círculo completo, por lo que su área es\(\tfrac{2\theta}{2\pi}\pi r^2=\theta r^2\text{.}\)
- El triángulo
tiene altura\(r\cos\theta\) y base\(2r\sin\theta\) y por lo tanto tiene área\(\frac{1}{2}(r\cos\theta)(2r\sin\theta)=r^2\sin\theta\cos\theta = \frac{r^2}{2} \sin(2\theta)\text{,}\) donde hemos utilizado una fórmula de doble ángulo (ver Apéndice A.14).
- Subbing estas dos áreas en la expresión anterior para\(V\) da
\ begin {align*} V & = L\ veces\ izquierda [\ theta r^2-\ frac {r^2} {2}\ sin2\ theta\ derecha] =\ frac {Lr^2} {2}\ grande [2\ theta-\ sin2\ theta\ grande]\ end {alinear*}
¡Oof! - Ahora podemos diferenciarnos para encontrar la tasa de cambio. Recordando que\(V=V(t)\) y\(\theta=\theta(t)\text{,}\) mientras\(r\) y\(L\) son constantes,
\ begin {align*} V' &=\ frac {Lr^2} {2}\ izquierda [2\ theta' - 2\ cos2\ theta\ cdot\ theta\ cdot\ theta'\ derecha]\\ &= Lr^2\ cdot\ theta'\ cdot\ izquierda [1 -\ cos2\ theta\ derecha]\ end {align*}
Resolviendo esto\(\theta'\) y usando\(V'=q\) da\ begin {align*}\ theta' &=\ frac {q} {Lr^2 (1-\ cos2\ theta)}\ end {align*}
Esta es la tasa a la que\(\theta\) está cambiando, pero necesitamos la tasa a la que\(h\) está cambiando. Obtenemos esto de\ begin {align*} h &= r - r\ cos\ theta &\ text {diferenciando esto da}\\ h' &= r\ sin\ theta\ cdot\ theta'\ end {align*}
Sustituyendo nuestra expresión por\(\theta'\) en la expresión para\(h'\) da\ begin {align*} h' &= r\ sin\ theta\ cdot\ frac {q} {Lr^2 (1-\ cos2\ theta)}\ end {align*}
- Podemos limpiar esto un poco más — recuerda más fórmulas de doble ángulo 4
\ begin {align*} h' &= r\ sin\ theta\ cdot\ frac {q} {Lr^2 (1-\ cos2\ theta)} &\ text {sustituto $\ cos2\ theta = 1-2\ sin^2\ theta$}\\ &= r\ sin\ theta\ cdot\ cdot\ frac {q} {Lr^2\ cdot 2\ sin^sin^2\ theta} &\ text {ahora cancela $r$'s y un $\ sin\ theta$}\\ &=\ frac {q} {2Lr\ sin\ theta}\ end {align*}
- Pero podemos limpiar esto aún más —en lugar de escribir esta tasa en términos de\(\theta\) que es más natural escribirla en términos de\(h\) (ya que el problema inicial se afirma en términos de\(h\)). Desde el triángulo
y Pitágoras tenemos
\ begin {reunir*}\ sin\ theta =\ frac {\ sqrt {r^2- (r-h) ^2}} {r} =\ frac {\ sqrt {2rh-h^2}} {r}\ end {reunir*}
y por lo tanto
\ begin {reunir*} h' =\ frac {q} {2L\ sqrt {2rh-h^2}}. \ end {reunir*}
- Como cheque, note que\(h'\) se vuelve indefinido cuando\(h \lt 0\) y también cuando\(h \gt 2r\text{,}\) porque entonces el argumento de la raíz cuadrada en el denominador es negativo. Ambos tienen sentido: el nivel de combustible en el tanque debe obedecer\(0\le h\le 2r\text{.}\)
Ejercicios
Etapa 1
Supongamos que las cantidades\(P\) y\(Q\) están relacionadas por la fórmula\(P=Q^3\text{.}\)\(P\) y\(Q\) están cambiando con respecto al tiempo,\(t\text{.}\) dada esta información, ¿cuáles de los siguientes son problemas que podrías resolver?
- Dado\(\displaystyle\dfrac{dP}{dt}(0)\text{,}\) hallazgo\(\ds\dfrac{dQ}{dt}(0)\text{.}\) (Recuerde: la notación\(\displaystyle\dfrac{dP}{dt}(0)\) significa la derivada de\(P\) con respecto a\(t\) en el momento\(t=0\text{.}\))
- Dado\(\displaystyle\dfrac{dP}{dt}(0)\) y el valor de\(Q\) cuando\(t=0\text{,}\) encontrar\(\displaystyle\dfrac{dQ}{dt}(0)\text{.}\)
- Dado\(\displaystyle\dfrac{dQ}{dt}(0)\text{,}\) hallazgo\(\displaystyle\dfrac{dP}{dt}(0)\text{.}\)
- Dado\(\displaystyle\dfrac{dQ}{dt}(0)\) y el valor de\(P\) cuando\(t=0\text{,}\) encontrar\(\displaystyle\dfrac{dP}{dt}(0)\text{.}\)
Etapa 2
Para los problemas 3.2.2.2 a 3.2.2.4, se da explícitamente la relación entre varias variables. Utilice esta información para relacionar sus tasas de cambio.
Para las Preguntas 3.2.2.5 a 3.2.2.9, busque una manera de usar el Teorema de Pitágoras.
Para las Preguntas 3.2.2.10 a 3.2.2.14, busca trucos desde la trigonometría.
Para Preguntas 3.2.2.15 a 3.2.2.20, necesitarás conocer fórmulas para volumen o área.
Un punto se mueve en el círculo unitario\(\left \{ (x, y)\;:\; x^2 + y^2 = 1 \right \}\) en el\(xy\) plano —. En\((2/\sqrt{5}, 1/\sqrt{5})\text{,}\) su\(y\) —coordenada está aumentando a tasa 3. ¿Cuál es la tasa de cambio de su\(x\) —coordenada?
Las cantidades\(P,\ Q\) y\(R\) son funciones del tiempo y están relacionadas por la ecuación\(R=PQ\text{.}\) Supongamos que\(P\) está aumentando instantáneamente a la tasa de\(8\%\) por año y que\(Q\) está disminuyendo instantáneamente a la tasa de\(2\%\) por año. Es decir,\(\dfrac{P'}{P}=0.08\) y\(\dfrac{Q'}{Q}=-0.02\text{.}\) Determinar la tasa porcentual de cambio para\(R\text{.}\)
Tres cantidades,\(F\text{,}\)\(P\) y\(Q\) todas dependen del tiempo\(t\) y están relacionadas por la ecuación
\[ F=\frac{P}{Q} \nonumber \]
- Supongamos que en un momento determinado en el tiempo\(P=25\) y\(P\) está aumentando a la velocidad instantánea de 5 unidades/min. En el mismo momento,\(Q=5\) y\(Q\) está aumentando a la velocidad instantánea de 1 unidad/min. ¿Cuál es la tasa instantánea de cambio en este\(F\) momento?
- Supongamos que en otro momento en el tiempo\(P\) está aumentando a la velocidad instantánea de\(10\%\) y\(Q\) está disminuyendo a la velocidad instantánea\(5\%\text{.}\) ¿Qué se puede concluir sobre la tasa de cambio de\(F\) en este momento?
Dos partículas se mueven en el plano cartesiano. La partícula A viaja sobre el\(x\) eje comenzando en\((10,0)\) y moviéndose hacia el origen con una velocidad de\(2\) unidades por segundo. La partícula B viaja sobre el\(y\) eje comenzando en\((0,12)\) y moviéndose hacia el origen con una velocidad de\(3\) unidades por segundo. Cuál es la velocidad de cambio de la distancia entre las dos partículas cuando la partícula A alcanza el punto\((4,0)\text{?}\)
Dos partículas\(A\) y\(B\) se colocan en el plano cartesiano en\((0,0)\) y\((3,0)\) respectivamente. Al tiempo 0, ambos empiezan a moverse en\(+y\) dirección. La partícula\(A\) se mueve a 3 unidades por segundo, mientras que\(B\) se mueve a\(2\) unidades por segundo. ¿Qué tan rápido cambia la distancia entre las partículas cuando la partícula\(A\) está a una distancia de\(5\) unidades de\(B\text{.}\)
El barco A está a 400 millas directamente al sur de Hawái y navega hacia el sur a 20 millas/hora. El barco B está a 300 millas directamente al este de Hawái y navega hacia el oeste a 15 millas/hora. ¿A qué ritmo cambia la distancia entre los barcos?
Dos palos altos se plantan verticalmente en el suelo, separados por una distancia de\(30\) cm. Simultáneamente colocamos dos caracoles en la base de cada palo. Entonces los dos caracoles comienzan a subir sus respectivos palos. El primer caracol se mueve con una velocidad de\(25\) cm por minuto, mientras que el segundo caracol se mueve con una velocidad de\(15\) cm por minuto. ¿Cuál es la tasa de cambio de la distancia entre los dos caracoles cuando el primer caracol alcanza\(100\) cm sobre el suelo?
Una escalera de extensión de\(20\) m de largo apoyada contra una pared comienza a colapsar sobre sí misma a una velocidad de\(2\) m/s, mientras que el pie de la escalera permanece a una constante\(5\) m de la pared. ¿Qué tan rápido se mueve la escalera por la pared después de\(3.5\) segundos?
Un abrevadero tiene una sección transversal en forma de trapecio isósceles. El comedero mide 2 metros de largo, 50 cm de alto, 1 metro de ancho en la parte superior y 60 cm de ancho en la parte inferior.
Un cerdo está bebiendo agua del abrevadero a razón de 3 litros por minuto. Cuando la altura del agua es de 25 cm, ¿qué tan rápido disminuye la altura?
Un tanque mide 5 metros de largo y tiene una sección transversal trapezoidal con las dimensiones que se muestran a continuación.
Una manguera está llenando el tanque a una velocidad de un litro por segundo. ¿Qué tan rápido aumenta la altura del agua cuando el agua tiene 10 centímetros de profundidad?
Un cohete está volando, a 2 kilómetros de ti. Tú y el cohete arrancan a la misma altura. La altura del cohete en kilómetros,\(t\) horas después del despegue, viene dada por
\[ h(t)=61750t^2 \nonumber \]
¿Qué tan rápido (en radianes por segundo) gira tu línea de visión para seguir mirando el cohete, un minuto después del despegue?
Un tren de alta velocidad viaja a 2 km/min a lo largo de una vía recta. El tren se aleja de una cámara de cine que se encuentra a 0.5 km de la vía.
- ¿Qué tan rápido aumenta la distancia entre el tren y la cámara cuando están a 1.3 km de distancia?
- Suponiendo que la cámara siempre apunta al tren, ¿qué tan rápido (en radianes por minuto) gira la cámara cuando el tren y la cámara están a 1.3 km de distancia?
Un reloj tiene una manecilla de minutos de 10 cm de largo, y una manecilla de horas de 5 cm de largo. Deja\(D\) ser la distancia entre las puntas de las dos manos. ¿Qué tan rápido está\(D\) disminuyendo a las 4:00?
Encontrar la tasa de cambio del área del anillo\(\{ (x, y) \;:\; r^2 \le x^2 + y^2 \le R^2 \}\text{.}\) (es decir, los puntos dentro del círculo de radio\(R\) pero fuera del círculo de radio\(r\)) si\(R = 3 \;\mathrm{cm}\text{,}\)\(r = 1\;\mathrm{cm}\text{,}\)\(\displaystyle\dfrac{dR}{dt} = 2\;\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}\text{,}\) y\(\displaystyle\dfrac{dr}{dt} = 7\;\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}\text{.}\)
Dos esferas están centradas en un mismo punto. El radio\(R\) de la esfera más grande en el momento\(t\) viene dado por\(R(t)=10+2t\text{,}\) mientras que el radio\(r\) de la esfera más pequeña viene dado por\(r(t)=6t\text{,}\)\(t \ge 0\text{.}\) ¿Qué tan rápido es el volumen entre las esferas (dentro de la esfera grande y fuera de la esfera pequeña) cambiando cuando la esfera más grande tiene un radio dos veces más grande que el más pequeño?
Se unen dos palos juntos en sus extremos, y se pegan los otros extremos en el barro. Un palo mide 150 cm de largo y el otro es de 200 cm.
La estructura comienza teniendo 1.4 metros de altura en su pico, pero los palos se deslizan, y la altura disminuye a una velocidad constante de tres centímetros por minuto. ¿Qué tan rápido cambia el área del triángulo (formada por los dos palos y el suelo nivelado) cuando la altura de la estructura es de 120 cm?
La tapa circular de un salero tiene radio 8. Hay un recorte para permitir que la sal salga de la tapa, y una puerta que gira alrededor para cubrir el recorte. La puerta es un cuarto de círculo de radio de 7 cm. El recorte tiene la forma de un cuarto de anillo con radio exterior de 6 cm y radio interior de 1 cm. Si el área descubierta del recorte es\(A\) cm\(^2\text{,}\) entonces la sal fluye a\(\frac{1}{5}A\) cm\(^3\) por segundo.
Recordemos: un anillo es el conjunto de puntos dentro de un círculo y fuera de otro, como una rosquilla plana (ver Pregunta 3.2.2.15).
Mientras viertes sal, giras la puerta alrededor de la tapa a una velocidad constante de\(\frac{\pi}{6}\) radianes por segundo, cubriendo cada vez más el recorte. Cuando se cubre exactamente la mitad del recorte, ¿qué tan rápido cambia el flujo de sal?
Una tubería de alcantarillado cilíndrica con radio de 1 metro tiene una puerta rectangular vertical que se desliza frente a ella para bloquear el flujo de agua, como se muestra a continuación. Si el área descubierta de la tubería es\(A\) m\(^2\text{,}\) entonces el flujo de agua a través de la tubería es de metros\(\frac{1}{5}A\) cúbicos por segundo.
La puerta se desliza sobre la tubería, moviéndose verticalmente a una velocidad de 1 centímetro por segundo. ¿Qué tan rápido cambia el flujo de agua cuando la puerta cubre los 25 centímetros superiores de la tubería?
Una copa de martini tiene forma de cono, con diámetro superior de 10 cm y longitud lateral de 10 cm.
Cuando el líquido en el vaso tiene 7 cm de altura, se está evaporando a una velocidad de 5 mL por minuto. ¿Qué tan rápido disminuye la altura del líquido?
Etapa 3
Una boya flotante está anclada al fondo de un río. A medida que fluye el río, la boya se tira en la dirección del flujo hasta que su cuerda de 2 metros se tensa. Un sensor en el anclaje lee el ángulo\(\theta\) entre la cuerda y el lecho del río, como se muestra en el diagrama a continuación. Estos datos se utilizan para medir la profundidad\(D\) del agua en el río, la cual depende del tiempo.
- \(\displaystyle\dfrac{d\theta}{dt}=0.25\;\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{hr}}\text{,}\)¿Si\(\theta = \dfrac{\pi}{4}\) y qué tan rápido está cambiando\(D\) la profundidad del agua?
- Una medición muestra\(\displaystyle\dfrac{d\theta}{dt}=0\text{,}\) pero ¿\(\displaystyle\dfrac{dD}{dt}\neq0\text{.}\)Bajo qué circunstancias ocurre esto?
- Una medición muestra\(\displaystyle\dfrac{d\theta}{dt} \gt 0\text{,}\) pero ¿\(\displaystyle\dfrac{dD}{dt} \lt 0\text{.}\)Bajo qué circunstancias ocurre esto?
Un punto se mueve en el\(xy\) plano -a lo largo del cuadrilátero que se muestra a continuación.
- Cuando el punto está en\((0,-2)\text{,}\) él se mueve hacia la derecha. Un observador estacionado en el origen debe girar a una velocidad de un radián por segundo para seguir mirando directamente al punto. ¿Qué tan rápido se mueve el punto?
- Cuando el punto está en\((0,2)\text{,}\) su\(x\) coordenada está aumentando a una velocidad de una unidad por segundo. ¿Qué tan rápido es su cambio de\(y\) coordenadas? ¿Qué tan rápido se mueve el punto?
Tienes una botella de agua cilíndrica de 20 cm de altura, llena de agua. Su sección transversal es un círculo de radio 5. Lentamente smoosh los lados, por lo que la sección transversal se convierte en una elipse con eje mayor (parte más ancha)\(2a\) y eje menor (parte más delgada)\(2b\text{.}\)
Después de\(t\) segundos de suavizar la botella,\(a=5+t\) cm. El perímetro de la sección transversal no cambia a medida que la botella se deforma. El perímetro de una elipse es en realidad bastante difícil de calcular, pero usaremos una aproximación derivada de Ramanujan y asumiremos que el perímetro\(p\) de nuestra elipse es
\[ p \approx \pi\left[3(a+b)-\sqrt{(a+3b)(3a+b)}\right]. \nonumber \]
El área de una elipse es\(\pi a b\text{.}\)
- Dar una ecuación que\(a\) relacione y\(b\) (y ninguna otra variable).
- Dar una expresión para el volumen de la botella a medida que se está suavizando, en términos de\(a\) y\(b\) (y ninguna otra variable).
- Supongamos que la botella estaba llena cuando su sección transversal era un círculo. ¿Qué tan rápido se derrama el agua cuando\(a\) es el doble de grande que\(b\text{?}\)
Las cantidades\(A\text{,}\)\(B\text{,}\)\(C\text{,}\) y\(D\) todas dependen del tiempo, y están relacionadas por la fórmula
\[ AB=\log\left(C^2+D^2+1\right). \nonumber \]
En\(t=10\text{,}\) el momento se conocen los siguientes valores:
- \(A=0\)
- \(\displaystyle\dfrac{dA}{dt}=2\)unidades por segundo
Qué es\(B\) cuando\(t=10\text{?}\)