5.4: Tareas- Introducción a las Ecuaciones Diferenciales

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Describa lo mejor que pueda en este punto con sus propias palabras qué es una ecuación diferencial.
Siguiendo el ejemplo de ganancias del capítulo anterior, si el número de empleados en una empresa está creciendo a un ritmo de\(0.05\) veces el número de empleados, ¿qué es una ecuación diferencial que describe esta situación?
\(E'(t) = 0.05 E(t)\).
ans
Verifique que la función\(f(x) = e^x - x - 1\) resuelva la ecuación diferencial:
\(f'(x) = f(x) + x\)

Vemos
\[\begin{align*} f'(x) & = f(x) + x \\ e^x - 1 & = (e^x - x - 1) + x \\ e^x - 1 & = e^x - 1 \end{align*}\]

según se desee.

ans
Verifique que la función\(f(x) = 2 \sqrt{x}\) satisfaga la ecuación diferencial:
\(f'(x) = \frac{2}{f(x)}.\)

Vemos

según se desee.

ans
Para cada ecuación diferencial, encontrar\(f'(t)\) para el valor dado de\(t\), o estado no hay suficiente información.
1. Supongamos\(f'(t) = 3 f(t) + 5\) y\(f(3) = -1\). Encuentra\(f'(3)\).
  \(2\)
  ans
2. Supongamos\(f'(t) = t + f(t)\), y\(f(7) = 1\). Encuentra\(f'(7)\).
  \(8\)
  ans
3. Supongamos\(f'(t) = \frac{1}{ \sqrt{f(t)} }\) y\(f(0) = 9\). Encuentra\(f'(0)\).
  \(\frac{1}{3}\)
  ans
4. Supongamos\(f'(t) = e^{-f(t)}\) y\(f(0) = 1\). Encuentra\(f'(1)\).
  No hay suficiente información.
  ans
Para cada relación entre el valor de una función y su derivada, anote una ecuación diferencial. Por ejemplo, si dijera “una función está creciendo a una tasa igual a siete veces el valor de la función” escribirías\(f'(t) = 7 f(t)\).
1. Una función está creciendo a una tasa igual al doble del valor de la función.
  \(f'(t) = 2 f(t)\)
  ans
2. Una función está creciendo a una tasa igual a la raíz cuadrada del valor de la función.
  \(f'(t) = \sqrt{f(t)}\)
  ans
3. Una función está creciendo a una tasa igual a\(t\) veces el valor de la función.
  \(f'(t) = t f(t)\)
  ans
4. Una función está acelerando a una velocidad igual a la suma del valor de la función y la rapidez con la que la función está creciendo.
  \(f''(t) = f'(t) + f(t)\).
  ans
Verificar que la solución dada a cada ecuación diferencial sea correcta.
1. Ecuación diferencial\(f'(t) = f(t) + 3\), solución\(f(t) = 3 e^t - 3\).
  
  \[\begin{align*} f'(t) & = f(t) + 3 \\ \frac{d}{dt}(3e^t - 3) & = (3e^t - 3) + 3 \\ 3e^t & = 3e^t \end{align*}\]
  
  ans
2. Ecuación diferencial\(f'(t) = 4\sqrt{f(t)}\), solución\(f(t) = 4 t^2\).
  
  \[\begin{align*} f'(t) & = 4 \sqrt{f(t)} \\ \frac{d}{dt}(4 t^2) & = 4 \sqrt{4 t^2} \\ 8t & = 4(2t) \\ 8t & = 8t. \end{align*}\]
  
  ans
3. Ecuación diferencial\(f'(t) = (f(t))^2\), solución\(f(t) = -t^{-1}\).
  
  \[\begin{align*} f'(t) & = (f(t))^2 \\ \frac{d}{dt} (-t^{-1}) & = (-t^{-1})^2 \\ t^{-2} & = t^{-2} \end{align*}\]
  
  ans
4. Ecuación diferencial\(f'(t) = e^{-f(t)}\), solución\(f(t) = \ln(t)\).
  
  \[\begin{align*} f'(t) & = e^{-f(t)} \\ \frac{d}{dt} \ln(t) & = e^{-\ln(t)} \\ \frac{1}{t} & = \frac{1}{e^{\ln(t)}} \\ \frac{1}{t} & = \frac{1}{t} \end{align*}\]
  
  ans